“構造輔助圓”在初中數學解題中的靈活運用

在初中數學學習中，構建解題法是解決復雜結合問題較為常見的解題方式，其中，構建輔助圓作為構建解題法的高級形式，通過輔助圓構建簡化例題，將抽象問題直觀化、復雜問題簡單化，提高學生對圓的性質及圓與幾何圖形之間的關系的認知能力的同時，有助于促進學生解題能力提升.為提高學生數學解題能力，本文對“構造輔助圓”在初中數學解題中的靈活運用進行討論與分析，旨在為廣大學者提供幫助及建議.

1輔助圓在求線段長度的幾何問題中的應用

根據圓的定義可以看出，平面內所有到定點的距離等于定長的點組成的圖形為圓.在幾何問題解題中，如果部分點到點的距離始終相等，那么這些點必然在以該定點為圓心、定長為半徑的圓上.通過構造輔助圓的方式解題，有助于提高學生解題效率[1].

例1在四邊形DCBA中，AB//CD， AB= ，求 BD 的長度.

解析以 D，C，B，A 四點構建輔助圓，已知 （構造的輔助圓上另一點取為點 E)，EB 為直徑， ∠EDB=90^° ，在RtΔEDB 中根據勾股定理得出

圓的內接四邊形對角互補，外角等于內對角，若問題中出現四邊形的對角互補或有外角等于內對角的條件時，可構造輔助圓來求解線段長度.通過構造輔助圓，將看似復雜的幾何問題轉化為與圓相關的問題，利用圓的性質和定理，可以巧妙地求出線段的長度.對此，在實際應用中，應根據具體問題的條件和特征，靈活選擇合適的方法構造輔助圓，以此提高學生解題能力.

2輔助圓在求度數的幾何問題中的應用

在求度數的幾何問題中，構造輔助圓的基本思路是利用圓的性質（如圓周角性質、圓心角性質、圓內接四邊形的性質等）將角度的求解轉化為與圓相關的計算.

例2在四邊形ABCD中，已知 AD // BC AB=AC=AD=2.5，CD=3 ，求 BD 的長.

解析 (1)構造輔助圓．以點 A 為圓心， AB 為半徑作圓（記為 ?A^? .由于 AB=AC=AD=2.5 ，因此點 c 和點 D 均在 ?A 上.

（2）利用平行線性質.延長 DA 交 ?A 于點 E 因 AD / BC ，根據平行線間線段比例性質，可推得BE=CD=3

（3）應用圓的性質.連接 BD ，由于 DE 為 ?A 的直徑( E 在 ?A 上，且 A 為圓心)，故 ∠DBE= 90^° 在 RtΔBDE 中： BE=3 （已知）， DE=AD+AE =2.5+2.5=5(AE 為 ?A 半徑，故 AE=AB= 2.5).最后應用勾股定理求得 BD 的長為4.

本題通過構造以 A 為圓心的輔助圓，將分散的邊長條件 (AB=AC=AD ）整合為圓上的點，進而利用“直徑所對的圓周角為直角”的性質，將幾何問題轉化為直角三角形中的邊長計算，體現了輔助圓在簡化問題中的關鍵作用.

3輔助圓在求圖形面積問題中的應用

圖形面積求解作為初中數學中常見例題，傳統解題主要采用數形結合及整體思想，因初中生思維能力有限，解題中數形結合及整體思想運用效率不佳.為提高學生解題效率及幫助學生求解圖形面積問題，可通過構造輔助圓的方式抓住問題核心，以此提高學生解題效率.

例3如圖 1，ΔABC 為等邊三角形， AH⊥ BC于點 H，CF⊥AB 于點 F ，點 D 在 AH 的延長線上，連接 CD ，以 CD 為邊作等邊 ΔCDE ，連接 AE 交CF 于點 G .已知 ·AC=4 ，求 ΔACD 的面積.

解析由已知條件得 CH=2，AC=4 以點 c 為圓心，以 CD 為半徑作輔助圓，可輔助判斷 AH 和CH的關系.

在 RtΔAHC 中， ，在 RtΔCDH 中， ，則

綜合上述分析可以看出，在圖形面積解題中構造圓輔助，可將所求圖形的面積巧妙地轉化為圓的面積一部分，通過與其他圖形組合得出圖形面積，以此提高學生解題效率[2].

4輔助圓在求線段比或面積比問題中的應用

線段比、面積比作為初中數學解題中的難點，學生在解題過程中經常因問題復雜、晦澀難懂而遇到困難.為提高學生解題效率，教師可在求線段比或面積比問題中應用輔助圓，利用圓中眾多的定理來建立線段之間的比例關系，通過比例關系推導，繼而求出線段比或由線段比推導出面積比[3].

例4在 RtΔABC 中， .AC=BC?∠ACB= 90^°，P 是 CB 延長線上的一點， BP:BC=k ，已知0?k?1 ，過點 P 作 AP 的垂線，并過點 B 作AB的垂線，兩垂線相交于點 Q，AP=PQ ，然后連接 AQ .求 ΔABC 與 ΔAPQ 的面積比.

解析要根據題目的已知條件，選擇合適的點為圓心作輔助圓，再對問題進行逐步的求解，得出ΔABC 與 ΔAPQ 的面積比.

基于此，應用輔助圓求解幾何問題，可以提高解題的效率.通過輔助圓的應用，有助于加強學生知識的運用能力，培養其從不同角度分析問題的習慣，

5 結語

從上述分析可以看出，目前初中數學幾何類試題涉及圓、三角形及直線相關的問題，在解題過程中，學生需要具備良好的空間想象能力及邏輯推理能力，以此才能提高自身解題效率.誠然，初中階段學生思維發散能力較差，在解題中極易因內容抽象遇到瓶頸.為有效促進學生思維發散及提高學生解題能力，本文分析了“構造輔助圓”在初中數學解題中的運用，即利用圓的相關性質將試題中的已知條件與求解目標進行有效聯系，使較為復雜的問題變得簡單化，讓學生能夠更加快速準確進行相關問題的求解.因此可以看出，通過掌握“構造輔助圓”的應用方法學生能夠更加靈活地求解幾何問題，全面提升創新思維能力和解決問題的能力.

參考文獻：

[1」吳世琴.“構造輔助圓”在初中數學解題中的靈活運用[J」數理天地(初中版)，2025(1)：68-69.

[2]魏彥姝.“構造輔助圓”在初中數學解題中的靈活運用[J]數理天地(初中版)，2024(24)：43-44.

[3]應文慧.“構造輔助圓”在初中數學解題中的應用研究[J].試題與研究，2024(26)：16-18.

[4]陳霞.“構造輔助圓”在初中數學解題中的靈活運用[J]數理天地(初中版）， 2024(7):34-35

[5]王雪.“構造輔助圓”在初中數學解題中的靈活運用[J].中學數學，2023(18)：73—74.