特殊平行四邊形中線段長最值問題舉隅

我國頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，要掌握基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短；理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關(guān)系；探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理；理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系1；等等.以下擬從三個(gè)方面探究特殊平行四邊形，在特定條件下最小值問題的求解方法.

1矩形中線段長的最小值

1.1矩形中動(dòng)點(diǎn)及折疊背景下求線段長的最小值

題型特征描述：在矩形的邊或?qū)蔷€上，存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)沿著某條線段所在直線折疊矩形的某一部分，從而生成新的圖形和線段間的數(shù)量與位置關(guān)系，要求確定這些點(diǎn)運(yùn)動(dòng)及折疊過程中某一線段長度的最小值.

解題一般思路：

（1）運(yùn)用矩形的性質(zhì)：矩形的對(duì)邊平行且相等、四個(gè)角都是直角、對(duì)角線相等且互相平分，運(yùn)用這些性質(zhì)建立邊與邊、角與角之間的關(guān)系，聯(lián)系直角構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理計(jì)算線段的長度.

（2）借助折疊性質(zhì)：折疊后圖形中的對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等；折痕是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的垂直平分線；折痕可看作折疊前的原線段和折疊后與原線段重合的線段組成角的平分線；依據(jù)折疊的性質(zhì)可把折疊前的線段長度和角的度數(shù)轉(zhuǎn)移到折疊后的圖形中，從而為求解提供更多的位置和數(shù)量關(guān)系.

例1如圖1，在矩形紙片ABCD中， AB=10 .AD=24 ，點(diǎn) E 是 AD 上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) E 不與點(diǎn) A，D 重合），將紙片沿 BE 折疊，則 DA^′ 的最小值為

解析：如圖2，連接 BD ，當(dāng)點(diǎn) A^′ 落在 BD 上時(shí)，DA^′ 最短.在 RtΔABD 中 .AB=10，AD=24 ，由勾股定理得 因?yàn)锽A^′=AB=10 ，所以 DA^′=BD-BA^′=26-10=16

故答案為：16.

點(diǎn)撥：運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把求最小值問題轉(zhuǎn)化成求線段差的問題；在直角三角形中利用勾股定理先求得矩形對(duì)角線BD的長度，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到 BA^′ 的長度，進(jìn)而可求得答案.折疊問題的求解方法一般是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理求解.

1.2矩形中線段和的最小值

題型特征描述：已知矩形中的一些點(diǎn)、線的位置或位置關(guān)系，要求確定兩條或多條線段和的最小值，如線段的端點(diǎn)是矩形的頂點(diǎn)、邊上的動(dòng)點(diǎn)或矩形內(nèi)部滿足特定條件的動(dòng)點(diǎn)等.

解題一般思路：

（1）根據(jù)幾何變化： ① 軸對(duì)稱變換.若存在動(dòng)點(diǎn)在矩形的邊上運(yùn)動(dòng)，可作定點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，將兩條線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)已知點(diǎn)在同一直線上時(shí)線段和取最小值；② 平移變換.對(duì)于兩條或多條線段，利用平移將它們“拼接”成可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”的形式確定線段和的最小值.

（2）利用輔助圓的性質(zhì)或勾股定理：利用矩形的四個(gè)角都是直角這一特殊條件，構(gòu)造動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圓形軌跡或可利用直角三角形，進(jìn)而計(jì)算線段和的最小值.

例2如圖3所示，在矩形ACDF中， AF=8，AC=12 ，點(diǎn)B，E 分別是 AC，F(xiàn)D 上的動(dòng)點(diǎn)，BE//CD ，試求 FB+EC 的最小值.

解析：如圖4，延長 AF 至點(diǎn)G ，使 FG=BE .因?yàn)?FG=BE ，F(xiàn)G//BE ，所以四邊形BEGF是平行四邊形，所以 FG=BE= AF=8. 因?yàn)锳CDF是矩形，所以 ∠A=90^° .在 RtΔACG 中，AG=8，AC=12 ，根據(jù)勾股定理可得到

所以 FB+EC 的最小值為20.故答案為：20.

點(diǎn)撥：運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想通過構(gòu)造平行四邊形，把BF和 EC 轉(zhuǎn)化到同一條線段上，是求解的基礎(chǔ)；根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短這一基本事實(shí)，確定線段 GC 的長就是所求線段和的最小值是求解的紐帶；巧用矩形的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，通過勾股定理求出線段 GC 的長是關(guān)鍵.

2正方形中線段和的最小值

題型特征描述：在正方形中，存在幾條線段，要求幾條線段長度之和的最小值，線段的端點(diǎn)涉及正方形的頂點(diǎn)、邊上的動(dòng)點(diǎn)等，這類問題往往與正方形的對(duì)稱性、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)相關(guān).

解題一般思路：

（1）利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化線段：利用圖形的對(duì)稱性，找出合適的對(duì)稱軸，如以正方形某條對(duì)角線所在直線、某條邊的垂直平分線等作為對(duì)稱軸，將其中一條或幾條線段進(jìn)行對(duì)稱變換，使分散的線段集中到一條直線上.

（2）運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短：通過對(duì)稱變換，將求幾條線段和的最小值問題轉(zhuǎn)化成求兩點(diǎn)之間的線段長度問題.

（3）計(jì)算線段長度：如正方形的邊長已知，可利用勾股定理計(jì)算出線段的最小值.

例3如圖5，正方形ABCD的邊長為 8，N 為 AB 邊上的一點(diǎn)， 為 AD 邊的中點(diǎn)，P 為 BD 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求 PM+ PN 的最小值.

解析：如圖6，作點(diǎn) M 關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn) M^′ ，連接 M^′N ，交BD 于點(diǎn) P^′ ，連接 MP^′ ，過點(diǎn) M^′ 作M^′E⊥AB 于點(diǎn) E 在 RtΔM^′NE 中，易知 M^′E=AD=8 ， NE=

2，所以 所以PM+PN 的最小值為

點(diǎn)撥：運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造將軍飲馬模型，把求線段和最小值的問題，轉(zhuǎn)化為利用勾股定理求線段長的問題，其理論依據(jù)是“兩點(diǎn)之間線段最短”

3菱形中線段和的最小值

題型特征描述：在菱形中，給出一些點(diǎn)的位置，要求兩條或多條線段和的最小值，這類問題常常與菱形的對(duì)稱性相關(guān)，通過對(duì)線段位置的轉(zhuǎn)化，利用“兩點(diǎn)之間線段最短\"這一定理求解.

解題一般思路：

（1）利用菱形的對(duì)稱性：菱形的對(duì)角線互相垂直平分，菱形的對(duì)角線所在的直線是菱形的對(duì)稱軸，例如在菱形ABCD中，頂點(diǎn) B 關(guān)于對(duì)角線 AC 的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn) D ：

（2）應(yīng)用基本定理求解：根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，求線段和的最小值.

例4如圖7，點(diǎn) A，B ，Ψ_C，D 是菱形 ABCD 的頂點(diǎn)，它們都在坐標(biāo)軸上，已知∠BCD=120^° ，點(diǎn) ！點(diǎn) M 是 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) N 是OB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 NA+ NM的最小值為（ ）.

（204 C.5 D.3

解析：因?yàn)? ，所以 .因?yàn)椤螧CD=120^° ，所以 ∠ABC= 60^° .又因?yàn)?AB=BC ，所以ΔABC 是等邊三角形，則有 因?yàn)?M 是

AB 的中點(diǎn)，可知它關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) M^′ 是 BC 的中點(diǎn)，所以 連接 A^′M ，如圖8，在 RtΔAM^′C 中，由勾股定理得 .故選：D.

點(diǎn)撥：如圖9，求線段長度和PM+QM 的最小值，已知的兩點(diǎn)P，Q ，都在動(dòng)點(diǎn) M 所在直線 ? 的同一側(cè)，一般把動(dòng)點(diǎn)所在的直線l作為對(duì)稱軸，作點(diǎn) P （或點(diǎn) Q ）的對(duì)稱點(diǎn) P^′ （或 Q^′ ），再把另一點(diǎn) Q （或點(diǎn) P ）與這個(gè)對(duì)稱點(diǎn) P^′ （或 Q^′ ）相連接，連線與直線l的交點(diǎn) M^′ 即為所求動(dòng)點(diǎn) M ，所連線段 P^′Q（PQ^′） 的長即為所求線段長度和 PM+QM 的最小值.

特殊四邊形中最小值問題求解的難點(diǎn)在于輔助線的添加[2]，要想構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助求解的平行四邊形或直角三角形，必須要對(duì)矩形、菱形、正方形的判定和性質(zhì)爛熟于心，要對(duì)直角三角形邊角關(guān)系了如指掌，對(duì)構(gòu)造圖形的性質(zhì)有充分的把握，具備突破該類問題的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，從而可以學(xué)一道通一類，事半功倍，爭取舉一反三，觸類旁通；否則難以走出這類問題的泥沼.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）S.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]邵新虎.利用幾何畫板探究數(shù)學(xué)解題模型[M.北京：北京師范大學(xué)出版社，2019.