巧用將軍飲馬模型解決最短路徑問題

數學解題并非空穴來風，往往需要相關數學模型的“助力”，比如一類最短路徑問題，它的“依靠”就是將軍飲馬模型.那么何為將軍飲馬？傳說在很久以前的古羅馬時代，亞歷山大城居住著一位名叫海倫的學者，他不僅精通物理，還十分擅長數學.有一天，有位羅馬將軍專程去請教他一個令人百思不得其解的問題：

如圖1所示，一位將軍準備從宿營地 A 處騎馬出發，先趕到河邊讓馬飲水，然后再速去河岸同側的另一個宿營地 B 處，請問將軍應該怎樣選擇路徑才能使路程最短？

.B軍營

這個問題的答案并不難，據說海倫略加思索就解決了它.

如圖2，首先作 A 點關于直線 l 的對稱點 A^′ ，然后連接 A^′B ，設 A^′B 與直線 ξ_l 的交點為 P ，連接 AP 與 BP .此時 PA+PB 的長度最小，且 PA+PB= PA^′+PB=A^′B. （20

所謂兩定一動型，就是將軍飲馬的原型，在這個問題中兩個定點 A 和 B 位于某直線 ξ_l 的同側（如圖2），動點 P 位于直線 ξ_l 上，要求 PA+PB 的最小值.

例1如圖3，正方形ABCD中， AD=12 ，點 P 在 AC 上，點 E 是 AD 的中點，則 PE+PD 的最小值是（ ）

（A）16. （B） . （C）12. （D）

分析由于點 B 與 D 關于 AC 對稱，所以連接BE ，設 BE 與 AC 交于點 P ，連接 PD ，此時 PE+ PD=PE+PB=BE 最小，在 RtΔABE 中，利用勾股定理即可得出結果.

解如圖4，連接 BE ，設 BE 與 AC 交于點 P 連接 PD

因為四邊形ABCD是正方形，所以點 B 與點 D 關于 AC 對稱，所以 PD=PB ，所以 PE+PD=PE+PB=BE

即 P 為 AC 與 BE 的交點時， PE+PD 最小，即為 BE 的長度.

在 RtΔABE 中， ∠BAE=90^°，AB=AD=12 （2

所以 故選B.

變式 如圖5，點 A，B 在反比例函數 的圖像上，點 A 的坐標為 （1，m） ，點 B 的坐標為（3，2）， y 軸上有一動點 P ，連接 PA?PB ，則 PA+ PB 的最小值為（ ）

（2號 ： （B）5. （C）3√3.

分析 先利用待定系數法求出反比例函數的解析式，從而可得點A的坐標，再作點 A 關于 y 軸的對稱點 c ，連接 PC，BC ，可得 PC=PA 和點 c 的坐標，然后根據兩點之間線段最短可得當點 B，P，C 共線時， PC+PB 的值最小，最小值為 BC 的長.

解將點 B（3，2） 代入反比例函數 得：k=3×2=6 ，所以反比例函數的解析式為

將點 A（1，m） 代人 得： ，所以 A（1，6） ，如圖6，作點 A 關于 y 軸的對稱點 c 連接 PC，BC 則 C（-1，6） 二 PC=PA ，所以 PA+PB=PC+PB 由兩點之間線段最短可知，當點 B，P，C 共線時， PC+PB 的值最小，

最小值為 ，即 PA+PB 的最小值為 ，故選D.