基于認知規律的初中數學變式教學研究

1引言

初中數學教師在幾何部分的教學上，向來注重培養學生對圖形的理解和邏輯推理的練習.但有些課堂停留在模型理論的講解與機械練習上，當學生被動記憶各種結論時，他們難以敏銳地發現幾何圖形的變化，無法抓住圖形中的本質條件，從而不能靈活應用所學知識.若能引入經典案例與分層次變式，學生便能在不同背景中發現圖形的本質特點，也會逐步提高幾何直觀能力與邏輯推理能力.“將軍飲馬”問題來自對現實生活中最短路徑問題的抽象，在初中數學中常借助軸對稱與線段最短定理解決此類題型，這一專題已成為培養學生創造性解題思路的有效途徑.只有當教師在教學設計前關注學生已有知識并把握他們的認知水平時，方能通過適度變式激發學生更深層次的探究欲望.倘若課堂僅展示結論，學生也許會覺得數學過分神秘，但不知道如何從問題情境過渡到核心解法，這影響他們將所學知識遷移到其他最短路徑的題目上.教師若能巧妙編排一系列相關題組，學生便會在類比與對照中逐漸習得更寬泛的解題思路，也會對后續學習奠定更牢固的基礎[1].

2基于認知規律的初中數學變式教學價值

2. 1 從直觀理解到抽象思維

初中階段的學生對幾何事物多半有直觀感知，但難以輕易完成抽象概括.教學若只采用單一題目示范，學生可能一時明白做法，卻難以形成系統認知，當問題情境在不同角度上變換或延伸時，他們便在解題時感到無所適從.只有當教師設計多樣變式，并結合學生心智特點引導他們對比相似與差異處時，才能使學生在反復思考中構建穩固的幾何框架.很多人對“將軍飲馬”問題感到新奇，是因為其將現實場景與數學性質巧妙融合，但如果缺少相應的探索環節，學生就只看見結果而忽視過程，那么幾何方法的靈活運用也就無從說起.讓他們主動將日常經驗與圖形推理相連接，有助于推進直觀感受往更高層次的理解邁進，以避免在應用題中出現機械套用.

2.2激發學習動機與遷移效應

初中階段的學生對幾何學習有很大的興趣和好奇心，但若解題方法過于單調，他們就會失去持久探究的耐心.當“將軍飲馬”問題帶來有趣情境時，學生容易產生主動求解的熱情.只有當教學設計將變式拓展貫穿于多個知識點，并將平面幾何與生活實例交織，方能將這份熱情延續到后續任務中[2].因路徑最短問題引發的討論，不僅局限于軸對稱，勾股定理與線段中垂線性質也會在不同類型的變式中應用.學生在反復運用這些定理時日漸熟練，解題思路的通用性也會逐步體現，從而獲得正向反饋.對部分解題能力相對薄弱的學生而言，在多輪練習中累積成就感至關重要.他們發現自己并非只能被動接受知識，而是能夠通過操作與思考找到最短路徑的關鍵，這能大大激發學生的學習動機，對后續幾何學習產生促進作用.

3基于認知規律的初中數學變式教學原則

3.1 層次銜接與循序安排

在初中數學教學中，過于急促的變式跳躍會打亂學生對問題本質的把握思路.有些教師為追求“多題多做”，讓課堂像走馬觀花，導致學生浮于表面，難以錨定每題間的內在關聯.只有當教學者在起點環節聚焦學生已有認知，并以漸進方式揭示兩點之間線段最短時，才能確保變式過程真正沉淀到思維層面.先從簡單的平面中“兩點之間，線段最短”引導到“兩個點在一條直線的同一側時，在該直線上存在一點，使得這兩個點到該點的距離和最短”，再引導到帶有勾股定理或線段中垂線的情形，這樣學生對變式的跨度會有較為清晰的認識.當每一次延展都與已有知識產生交點，學生就不會覺得陌生，他們會在類比中發現規律，并提升理解深度.這種變式學習就像給學生鋪就了三級臺階，使其能拾級而上.

3.2 強調類比與知識建構

幾何知識的學習重在讓學生能夠聯系舊知識建構新知識，從而形成自己的知識體系，形成正確的學習技能.學生的學習效果不僅受教師的理論引導，也受到學生自身生活體驗的影響.因此，教師在教學中應該積極聯系與學生生活密切相關的情境，結合他們已經掌握的內容，抓住問題的關鍵點，在幾何圖形中作出必要標記.只有當教師在課堂中創設動手環節，并讓學生親自對比多條路線的長短時，方能開啟主動思考的大門[3].若單純讓學生記住\"對稱后線段最短”，許多同學會感到概念抽象，因此，給學生創設從家到學校的路徑如何最近這一情境，能使學生的思路更加清晰，學習成效會更好.由此衍生的討論也會更豐富，能夠帶動學生對后續變式的創造性探索.

4“將軍飲馬”問題變式教學的實踐策略

4.1情境引入，激發動力一讓學生體會線段最短原理

“將軍飲馬”問題的關鍵是將位于直線同側的兩個點轉化到直線異側，并引導學生理解為何對稱后的兩個線段的和最小.認知規律表明，初中生往往先依靠感性判斷去猜測最短路徑，隨后在教師或教材的啟發下過渡到理性層面的對稱論證.只有當教師基于學生已經掌握“兩點之間線段最短”，并將軸對稱與中垂線的性質詳細展開時，才能讓他們充分領會最短路徑的實質.對稱一旦被引入，問題空間往往會呈現更直觀的結構，學生在觀察對稱后的河岸與飲馬地點之間的連線時，就能體會到原問題變形背后的簡潔思路.此時，教師可繼續銜接到三角形三邊關系，以便強化“兩點間任意折線路徑的長度必大于直線距離”這一結論.分段揭示與對稱鋪陳并非只針對一個單例，而是要讓學生在隨后的相關問題中自行類比.對稱方法并不限于水平方向，也可能涉及斜向或垂線方式，如此一來，他們在后續變式里會更自覺地運用對稱思維.

在具體實踐中，教師首先讓學生想象將軍要把馬牽到對岸飲水，河面寬度與將軍位置都可視作已知.學生最初只能憑直覺在圖紙上隨意畫路線，有人猜測先到河邊再折向飲馬地點，也有人覺得可以走斜線節省距離.這時，教師并未立即給出答案，而是引導他們思考是否能借助軸對稱的方法把河對岸“翻折”到將軍一側.學生親手在紙上畫出折疊圖后，測量得知最短路徑其實是對折后兩點之間的線段，很多人驚訝于這種轉化的簡潔性，也意識到直接在原圖上尋找最短路徑可能既費力又無頭緒.當對稱與線段最短定理聯系起來時，學生對勾股定理或三角形多邊關系的理解也有新突破，他們會發問“如果起點換了位置會怎樣？”“若河道呈彎曲形狀還能用對稱么？”，教師趁勢說明對稱思路依舊可應用，但需要相應調整折疊線，這為后續的延展與綜合探索奠定了基礎.

4.2發散引導，聯動勾股一讓學生體會多 重幾何元素的融匯

最短路徑的判定在不少題型中與勾股定理緊密相連，若學生尚未意識到勾股定理對于測量線段長度的特殊價值，他們就可能只知道“對稱能帶來一條線”，卻無法在更廣泛的幾何情境里靈活調用這一知識，而發散引導正是為了激發學生嘗試把三角形的邊長關系與最短路徑判定結合起來.發散引導要配合學生心理發展，從易到難逐步升級題目，同時嵌入讓他們自己測量、比較與推理的環節，這樣才能讓勾股定理不再只是書本中的公式，而成為他們判斷最短路線的慣用工具.

教師可以先讓學生測量“將軍位置到河邊一點”與\"河邊一點到飲馬位置”兩段的和長，并將其與對稱后那條線段長度作比較，大家很快發現和長明顯大于那條線段的長度.若學生疑惑其中的差異，就可以使用勾股定理來計算這些線段，并比對數值差距.有人提出若換成其他起點，是否會出現折疊線與勾股間的更復雜聯系.教師便據此布置延展題，讓他們在課后畫出多個不同長度與角度的起點坐標，嘗試用勾股定理計算.當他們把各種數據排列出來后，會更直觀地發現，“折疊”路徑往往能壓縮距離，因為三角形的兩邊之和始終大于第三邊，且路徑轉彎增加了額外長度.他們在此過程中還會對勾股定理的適用范圍產生新的理解，包括什么時候用直角三角形判斷，以及什么時候還要考慮進一步的幾何變換，這正是數學思維在多重元素融匯后的生動展現.

4.3綜合訓練，迭代深化一讓學生習得遷移與問題建模

“將軍飲馬”問題的變式教學在初中不同階段有不同的側重點，這一題型可以結合不同的題目背景考查，而其中蘊含的道理是貫穿始終的.若想持續發揮其作用，就不能只做一次演示，還應在后續知識單元里反復提及并創新場景.例如，初期“將軍飲馬”可以將兩個線段和最小與勾股定理結合起來，也可以將問題放在三角形中；當學生學習了平移旋轉后，就可以將之與圖形變換結合；在學習平行四邊形與特殊的平行四邊形后，可以將之與四邊形的性質相結合；最后還可以用一次函數圖象為背景解題.甚至在學習二次根式時，將二次根式與“將軍飲馬”完美結合，能進一步培養學生數形結合思想.認知規律提示，只有當學生在多輪迭代中不斷碰見相似問題，并且嘗試將已有結論與新的條件對照時，才能把零散的技巧整合為系統的幾何素養.問題建模也是重要環節，許多真實場景并非簡單的平面直線，學生要學會抽象關鍵要素，忽略多余信息，再圍繞最短路線設計方案.這類訓練能引導他們把思維從課本推向更廣闊的實際應用中，也能讓數學知識在更復雜情境中得到拓展.

教師在構思“將軍飲馬”教學設計時，可以適當提高難度，如在三角形中求兩個線段和最小時，設置對稱軸是未知的，需要學生自己構造全等三角形轉化線段的位置后，才能運用模型.這樣一來就設置了障礙，需要學生先跳一跳再上臺階，這一連串問題促進學生把之前學到的多種方法交織運用.若有人在建模過程中遺漏了部分條件，教師應引導他們回顧“問題抽象化”的要領，并鼓勵小組間相互討論修正.當他們最終找出合理的最短路徑后，會更加深刻地體會“將軍飲馬”不只是單題，而是一條通往廣義最短路徑的起點.學生由此學會在不同幾何情境中靈活運用該方法，也能在構建與驗證中加深對數學原理的掌握，對他們的后續學習與思維發展具有不可替代的意義.

5結語

變式教學的核心在于讓學生在不同角度反復觸碰同一內核，對“將軍飲馬”這一問題的深人研究恰好體現了這種思路.若課堂僅局限于結論呈現與一次性示范，學生恐怕難以在后續幾何問題中繼續遷移所學知識.只有教師從學生認知規律出發，并在每個知識節點安插對應的變式與活動時，才能讓他們在逐層遞進中獲得幾何思維的多重升華.最短路徑并非孤立技巧，其背后涵蓋軸對稱、三角形三邊與勾股定理的有機融合，這些知識點若能在循環往復的練習中逐步深化，學生就會發現數學的邏輯之美，他們不僅能明晰“將軍飲馬”的由來，更能把握更寬闊的變式遷移通路，使這道經典題的意義遠超眼前，激發他們對數學的熱愛與持續探究的動力，

參考文獻：

[1」倪軍.思維導圖在初中數學教學中的應用研究——評《初中數學教學研究》[J.教育理論與實踐，2024，44（5）：2.

[2]唐曉瑛.具身認知視域下優化初中數學課堂教學策略[J].華夏教師，2024（4）：105-108.

[3]馬艷.基于高階數學思維培養的數學例題教學優化路徑——以北師大版初中數學教材例題為例[J].數學通報，2023，62（12）：6—10+23.