中考解直角三角形試題“堵點”分析及教學應對

1切線判定與相似三角形推理的瓶頸

（2024年江蘇省淮安市中考數學試卷第25題）如圖1，在 ΔABC 中， BA=BC ，以AB 為直徑作 ?O 交 AC 于點D ，過點 D 作 DE⊥BC ，垂足為點 E ，延長 DE 交 AB 的延長線于點 F ：

（1）求證： DF 為 ?O 的切線；

（2）若 BE=1，BF=3 ，求 sinC 的值.

2輔助線構造及全等三角形推導的困境

（2024年四川省達州市中考數學試卷第23題）如圖 2，BD 是 ?O 的直徑，四邊形 ABCD 內接于 ?O 連接 AC ，且 AB=AC ，以 AD 為邊作 ∠DAF=∠ACD 交 BD 的延長線于點 F ：

（1）求證： AF 是 ?O 的切線；

（2）過點 A 作 AE⊥BD 交 BD 于點 E ，若 CD= 3DE ，求 cos∠ABC 的值.

1.1堵點一：切線判定的理解與應用不足 2.1堵點一：輔助線的構造能力薄弱

許多學生對圓的切線判定條件不熟悉，特別是在復雜圖形中，難以判斷 DF 是否為 ?O 的切線.雖然可通過證明 DF⊥OD 來判定切線，但學生在書寫證明時常會遺漏關鍵步驟，如連接 OD 和 BD ，并忽視“切線垂直于切點與圓心連線\"的概念.教學中應加強對圓的切線性質的總結與實際應用，引導學生在解題時從圖形特征出發，靈活應用圓的幾何性質.

1.2堵點二：三角形相似性判斷存在障礙

學生在處理 ΔODFΔBEF 時，常常難以識別相似三角形的條件.部分學生在推理過程中，未能準確運用角度相等和對應邊成比例的條件，導致推理混亂.相似三角形的識別和證明是初中幾何中的難點，需通過多種形式的練習強化學生對相似三角形條件的理解及靈活運用，尤其是在帶有輔助線和較復雜圖形的情況下，要幫助學生形成清晰的推理思路，

1.3堵點三：運用勾股定理和三角函數計算時的障礙

對于部分學生而言，勾股定理與三角函數的結合計算是一個難點，特別是涉及 EF，OD，DE 的計算時，學生容易在推導過程中出錯.同時，由于需要求出sinC，而 sinC 等于 sinA ，一些學生沒有及時從三角形對稱性出發，導致計算結果錯誤.教學中需要進一步強調三角函數與幾何圖形的聯系，幫助學生通過清晰的計算步驟掌握解直角三角形的方法，避免在后續步驟中出錯.

許多學生在解答此題時難以有效構造輔助線，特別是在延長線、平行線和相交線的構造上出現困惑.題目涉及復雜的幾何關系，如延長 CD 交 AF 于點 H ，延長 AO 交BC于點 G 等構造步驟，學生容易在處理這些輔助線時出現混淆或遺漏，進而無法完成后續的證明.教學中需通過多次幾何作圖訓練，加強學生對輔助線構造的理解，幫助其建立解題思路，特別是提升通過輔助線構造出全等三角形及相似關系的能力.

2.2堵點二：全等三角形判定與推導中的困難

學生在判斷全等三角形（如 ΔABE?ΔACH 時，往往難以正確使用全等三角形的判定條件，尤其是在復雜的圖形中應用AAS、HL等判定條件時，推理過程常常不夠清晰.有些學生可能能正確判定三角形全等，卻不能靈活運用全等三角形的性質推導出長度或角度的關系.教學中應注重全等三角形判定條件的系統復習，并結合不同幾何情境訓練學生的推導能力.

2.3堵點三：勾股定理與三角函數計算的混淆

在涉及勾股定理的計算時，部分學生在求解 AE ，AD ，DE等長度關系時出現困難，特別是在多個變量和等式轉化時容易出現運算失誤.此外，學生在使用余弦定義時，對角度與邊長關系的理解不夠透徹，尤其是在通過三角函數求解 cos∠ABC 時，由于幾何關系復雜，學生容易將已知條件與求解目標混淆.教學中需要加強學生對勾股定理與三角函數的系統化理解，并通過分步推導引導學生處理復雜的幾何問題.

3俯角應用與幾何關系推導中的障礙

（2024年江蘇省鹽城市中考數學試卷第15題）如圖3，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升至距地面 30m 的點 P 處，測得教學樓底端點A 的俯角為 37^° ，再將無人機沿教學樓方向水平飛行 26.6m 至點 Q 處，測得教學樓頂端點 B 的俯角為 45^° ，則教學樓 AB 的高度約為m.（精確到 1m ，參考數據：sin 37^°≈0.60 cos 37^°≈0.80 ，tan 37^°≈0.75.） 1

3.1堵點一：俯角與實際距離的轉化難度

學生在解答俯角問題時，常常難以將俯角與實際距離（高度或水平距離）之間的幾何關系轉化為直角三角形的邊長計算.本題中，學生需要通過俯角 37^° 和45^° 分別求解 PH 和 QH（H） 為直線 AB 與 PQ 的交點），但由于俯角與三角函數值的對應關系不夠熟悉，部分學生容易出現計算混亂或錯誤.教學中應加強對俯角與三角函數關系的理解，通過實例讓學生掌握俯角問題的轉化技巧.

3.2堵點二：直角三角形的構造與計算步驟不清晰

學生在延長 AB 與 PQ 相交后構造的 RtΔPHA 和 RtΔQHB 中，往往對幾何圖形中的邊長和角度關系把握不準確，特別是對 PH，QH 和 AB 的求解步驟缺乏邏輯性.部分學生難以根據題目條件將已知角度和距離代入三角函數公式進行計算，特別是從 PH 到QH 的推導過程中，常常忽略幾何圖形中隱藏的等量關系（如 QH=BH ）.教學中應通過分步演示引導學生厘清解題步驟，尤其是在復雜幾何圖形的分解與推導上，幫助學生建立清晰的思路，

3.3堵點三：代入三角函數計算中的數值錯誤

部分學生在解題時能正確構造出三角形并代入公式，但在計算具體的數值時，容易混淆三角函數值或出錯.例如， sin37^° ，cos 37^° 和 tan37^° 的使用常常被混淆，導致求解 PH 或 AB 時計算結果不準確.教學中應注重基礎三角函數值的記憶與運用，鼓勵學生通過反復練習，提升在實際應用中的計算準確性.

4解直角三角形試題“堵點\"教學應對

4.1強化俯角和仰角的幾何意義，提升三角函數在實際問題中的應用能力

針對學生在解直角三角形中俯角、仰角與實際幾何關系轉化的困難，教學時應注重深人講解俯角和仰角的幾何意義，結合實際場景進行訓練[1].在課堂教學中，教師可以通過引入不同的實際測量情境，如測量建筑物高度、觀察物體的視角等，幫助學生理解如何將俯角和仰角轉換為直角三角形的邊角關系.同時，教師需逐步引導學生將三角函數與俯角的對應關系公式化，明確正切、正弦和余弦各自對應的邊長關系，做到熟練運用.在解題時，可分步引導學生如何從已知條件（如角度和水平距離）推導出未知邊長，厘清解題步驟.通過實際問題的反復練習，學生能逐漸形成從幾何圖形出發合理使用三角函數進行求解的能力，有效突破俯角和仰角問題中的“堵點”.

4.2注重輔助線構造與全等三角形判定的教學，提升幾何圖形分析能力

針對學生在幾何圖形構造、輔助線應用及全等三角形判定上的困難，教師在教學中應加強對輔助線構造思路的引導與訓練.對于較為復雜的幾何問題，教師可引導學生通過增加輔助線構造全等三角形或相似三角形，從而簡化解題過程.例如，針對上述試題中的延長線、垂線和平行線構造，教師可以通過逐步演示如何在圖形中構造有助于證明的輔助線，幫助學生體會輔助線在幾何證明中的重要性.此外，應通過多種幾何情境中的全等與相似三角形訓練，強化學生對判定條件的熟悉程度，避免學生因漏判或錯判全等三角形而影響解題.通過課堂演練，學生將逐步掌握如何在解題過程中靈活構造輔助線和判斷全等三角形，解決復雜圖形推理中的“堵點”

4.3加強勾股定理與三角函數綜合計算的準確性訓練，強化步驟推導

針對學生在勾股定理與三角函數計算中的錯誤，教學中應注重引導學生分步推導計算過程，并強化計算準確性訓練.首先，教師可以通過板書和演示，逐步展示如何將已知條件代入三角函數公式，特別是在涉及復雜的幾何圖形時，幫助學生厘清不同邊長、角度與三角函數之間的關系.其次，對于涉及多個直角三角形的幾何問題，教師應幫助學生從局部到整體，分解問題，逐一計算各個三角形的邊長和角度，確保每一步推導都準確無誤.通過逐步訓練，學生能形成清晰的解題思路，并熟練掌握勾股定理與三角函數在復雜幾何問題中的綜合應用，減少因計算錯誤導致的失分現象.教學中應鼓勵學生多做數值代人與驗證，培養嚴謹的計算習慣，提高運算準確率.

參考文獻：

[1]邵旋.構造直角三角形破解中考壓軸題—2023年深圳中考數學第15題解法探究[J].數學之友，2023，37（16）：93-95.