巧作輔助線，提升解題能力

構造全等三角形解決綜合問題，掌握輔助線的構造技巧，不僅限于全等三角形的應用，還能有效提升學生的綜合幾何能力，畢竟輔助線的構造方法靈活多變，依據不同的圖形條件和需求，所采取的構造策略往往各不相同.這些策略能夠幫助我們迅速找到解決問題的突破口.接下來，我們將通過一個具體的例子，深入剖析在復雜幾何問題中如何構造全等三角形，并探討其在幾何解題中的實際應用，

1截取線段構造法

構造全等三角形的綜合問題中，圖形的旋轉問題屢見不鮮.解決這類問題時，關鍵在于理解旋轉圖形的特性，即旋轉后圖形的某些線段長度和角度保持不變.為了有效利用這一特性，我們經常會借助三角形全等的判定定理或相關性質.在實際操作中，有時需要對圖形中的某條線段進行適當截取或延長，并在圖形中巧妙添加輔助線，從而構造一個新的三角形.這一構造過程，是為了能夠根據題目給出的條件，證明新構造的三角形與原圖中某個三角形全等.一旦建立了這種全等關系，我們就可以利用全等三角形的性質，解決題目所提出的各種綜合問題.這種方法不僅加深了我們對圖形旋轉性質的理解，也鍛煉了我們運用三角形全等知識解決實際問題的能力.

例1（2024·江蘇省鎮江市初三檢測）已知 ∠MAN=α （ 0^°lt; αlt;45^°; ，點 B，C 分別在射線 AN .AM 上，將線段 BC 繞點 B 順時針旋轉 180^°-2α 得到線段 BD ，過點D 作AN的垂線交射線 AM 于點E .如圖1，當點 D 在 ∠MAN 內部時，作 DF//AN ，交射線 AM 于點 F ，用等式表示線段 EF 與 AC 的數量關系，并證明.

解析：線段 EF 與 AC 的數量關系為 EF=2AC 在射線 AM 上取點 H ，使得 BH=BA ，連接BH，DH ，取 EF 的中點 G ，連接 DG ，如圖2.

因為 BH=BA ，所以 ∠BAH=∠BHA=α ，所以∠ABH=180^°-2α=∠CBD ，所以∠ABC=∠HBD .又因為 BC= BD ，所以 ΔABC?ΔHBD ，所以AC=DH . ∠BHD=∠A=α ，所以 ∠FHD=∠BHA+∠BHD= 2α .因為 DF//AN ，所以 ∠EFD= ∠A=α - ∠EDF=∠N=90^°. 又因為 G 是 EF 的中點，所以 GF=GD，EF=2GD ，所以 ∠GFD=∠GDF= α ，所以 ∠HGD=2α ，所以 ∠HGD=∠FHD ，所以DG=DH .又因為 AC=DH ，所以 DG=AC ，所以可得 EF=2AC ：

評析：本題考查旋轉的性質、全等三角形的判定與性質.熟練掌握全等三角形的判定與性質，并理解旋轉的性質是解題的核心.

2角平分線構造法

有關利用角平分線定義或性質來證明三角形全等的問題，要注意題目中給出的關鍵信息，然后利用角平分線性質、對角互補、線段相等等，將這些信息轉化為構造證明三角形全等中的對應角度或邊長問題，有些題目也可能需要通過作輔助線的方式來進行，如根據性質向角的兩邊作垂線，以及利用軸對稱構造全等，將復雜的數學問題轉化為簡單的模型問題.

例2 （2024·江蘇省常州市初三檢測）平面直角坐標系中，O是坐標原點，直線 x+8分別交x 軸、 軸于 A，B 兩點，點 c 在 y 軸上， AC 平分∠OAB ：

（1）如圖3，求點 c 的坐標；

（2）如圖4，點 M 在線段 OC 上，過點 M 作ME ⊥

OC 交 AC 于點 E ，過點 E 作 EF//y 軸交 _AB 于點 F ，已知點 M 的坐標為 （0，t） ，設 EF 的長為 d ，求 d 與 Ψ_t 的函數關系式（不要求寫出 χ_t 的取值范圍）；

（3）如圖5，在（2）的條件下，連接 FC 并延長交 x 軸于點 N ，過點 N 作 NH⊥AC 交AC 的延長線于點 H ，連接BH，OH ，若 ∠OBH-∠OAC= 45^° ，求點 H 的坐標和 的值.

解析：（1）如圖6，過點 c 作 CP⊥

AB 于點 P .因為 AO⊥BO，AC 平分

∠OAB ，所以 CO=CP ，所以

（204號易得點 A（6，0），B（0，8） ，

所以 ，所以

，所以 OC=3，BC=5 ，所以點

，（2）設直線 AC 為 y=kx+b ，所以 解得 2所以直線AC為y= x+3.因為ME⊥α ，點 M 的坐標為 （0，t） ，由 ，可解得 x= 6-2t ，所以點 E（6-2t，t） .因為點 F 在 AB 上，直線 AB 為 x+8，EF//y軸，可得y= 3t，所以點F（ ，所以 d=

（3）如圖7，過點 H 作 HR⊥x 軸于點 R ，延長 NH 交 軸于點 Q ，則 ∠OBH- ∠BQH=∠BHQ.

因為 NH⊥AC ，所以∠CHQ=90^°=∠AOC .因為∠HCQ=∠OCA ，所以可得∠BQH=∠OAC ，所以∠OBH-∠OAC=∠BHQ. 因為 ∠OBH-∠OAC= 45^° ，所以 ∠BHQ=45^°=∠BHA .因為 AC 平分∠BAO ，所以 ∠OAC=∠BAC ，所以 ∠BAH= ∠BQH 又 BH=BH ，所以 ΔBHQ?ΔBHA ，所以QB=AB=10 ，所以 OQ=8+10=18. 因為 ∠BQH=

∠OAC ，所以 tan∠BQH=tan∠OAC ，所以

即 ，所以 ON=9 ，所以點 N（-9，0） 0

設直線 NQ 為 y=ex+18 ，所以 -9e+18=0 ，解得 e=

2，所以直線NQ的解析式為 y=2x+18 ，于是聯立

，解得 所以點 H（-6，6） .因

為點 N（-9，0）_?C（0，3） ，同理可得直線 NC 為 y=

3x+3，聯立 解得 即點 F（3，4）

又因為點 ，所以 6-2t=3 ，解得 A

經檢驗符合題意.

所以，點 H 的坐標為 （-6，6），t 的值為

評析：本題考查全等三角形的判定與性質、一次函數的應用、勾股定理的應用、角平分線的性質、銳角三角函數的應用.第（1）問過點 c 作 CP⊥AB 于點 P ，不難求得 AB=10 ；第（2）問，設出點 E（6-2t，t） ， ，再進一步可得答案;第（3）問過點 H 作 HR⊥x 軸于點 R ，延長 NH 交 y 軸于點 Q ，然后證明 ΔBHQ?ΔBHA ，得到直線 NQ ，根據函數交點的含義建立方程組求解出點 H（-6，6） ，同理求得直線NC ，求解出點 F 的坐標，可得 Ψ_tΨ_Ψ 的值.

輔助線法在構造全等三角形解決綜合問題中的應用確實多種多樣，其靈活性使得它成為解決幾何問題的有力工具.在這類問題中，學生需要深人理解題意，準確把握題目中圖形的線段、點及內部圖形之間的復雜聯系，善于利用圖形的特征，并巧妙借助輔助線構造出全等三角形，并且根據輔助線的不同作法，為我們提供新的視角和思路，幫助我們發現原本難以察覺的幾何關系.同時，學生需要具備敏銳的觀察力和豐富的幾何直覺，能夠迅速識別出圖形中的關鍵元素，并想象出如何通過輔助線將它們連接起來，然后通過構造全等三角形，利用全等的性質來推導出題目所需的結論，從而找到解決問題的突破口.因此，在教學過程中，應著重培養學生的幾何思維能力和輔助線運用技巧，幫助他們熟練掌握各種輔助線的構造方法，并學會根據題目的具體需求靈活選擇和應用這些方法，讓學生在面對復雜的幾何問題時，能迅速找到解決問題的關鍵，高效作答.