加強四種能力培養 提高學生數學素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》提出了“三會\"的核心素養目標，并且界定了初中階段的九大核心素養表現：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識和創新意識[1].在這九個核心素養表現中有三個“能力\"指標，分別是抽象能力、運算能力和推理能力，我們不妨稱之為“能力素養”.

能力素養是一個人素養系統的重要組成部分.數學教學應通過培養學生的數學能力達到培養學生的數學核心素養、實現《課標（2022年版）》提出的“總目標”的自的.在初中學段，主要包括四種關鍵數學能力.

1閱讀理解能力

閱讀理解能力是指在閱讀過程中獲取信息，并能利用信息理解、分析直至解決材料中有關問題的能力.在理解“閱讀能力\"時應特別注意“閱讀過程”四個字.

數學閱讀理解能力是在學生經歷數學閱讀的過程中逐漸形成并發展得到的.在數學教學中，我們要結合學習內容適當引導學生開展閱讀活動.學生在閱讀時，能從“材料”中獲取有關數學信息，并根據材料中的“問題\"進行思考、探索、猜想、推理等系列活動，這些活動對于學生多種能力的發展都是有益的.所以，學生通過數學閱讀，不僅提高了閱讀理解能力，而且也有助于發展推理能力、抽象能力等素養.

數學閱讀是一個自學的過程，這個過程主要包括三個環節：

（1）在閱讀材料的基礎上，分析、歸納出其基本規律或基本結構；

（2）充分理解材料中重要的數學概念或句子的含義，在閱讀“材料”的過程中，盡可能多地獲取“材料”中含有的信息，并且能捕捉、推斷閱讀材料中的隱含信息；

（3）在分析的基礎上，準確找到材料的“主題”，由此“歸納—概括”出中心要點.

學生的數學閱讀理解能力伴隨著閱讀量的增加，也處在不斷的變化、提高的過程之中.一個人的閱讀理解能力是他將來繼續學習或工作的基礎“素養”因此，在數學教學中，應根據具體的學習內容，適當設置一些供學生閱讀的材料，以發展學生的數學閱讀理解能力.

案例1遞減數問題（重慶 2023 年中考題的改編）

一個各數位上的數字不為0且互不相等的四位數abcd，如果滿足 ，則稱這個四位數為“遞減數”.例如：四位數4129是“遞減數”；而5324不是“遞減數”.

（1）如果四位數 是一個“遞減數”，請求出這個數；

（2）如果一個“遞減數”的前三個數字組成的三位數abc與后三個數字組成的三位數bcd的和能被9整除，求滿足條件的數的最大值.

簡解：（1）因為 31+12=43 ，所以 10a+3=43 ，解得 a=4 ，因此這個數是4312.

（2）由題意可知， 10a+b-（10b+c）=10c+d ，所以 10a-9b-11c=d .因為一個“遞減數”的前三個數字組成的三位數 abc 與后三個數字組成的三位數bcd的和為 100a+10b+c+100b+10c+d=100a+10b+ c+100b+10c+10a-9b-11c=110a+101b=99× （a+b）+11a+2b. 又因為前三個數字組成的三位數 與后三個數字組成的三位數bcd的和能被9整除，所以得到 是整數.結合題意，可確定出當 a=8 時， .b=1，c=6，d=5. 所以符合題目條件的數的最大值為8165.

設計意圖：本題給出了“遞減數”的定義，考查學生對這個定義的理解和應用情況，要求根據“遞減數”的意義解答兩個問題.

對于第（1）問，學生通過閱讀，明確“遞減數”的意義并構造方程是解答的關鍵.學生在解答第（2）問時，有兩個地方應特別注意：一是通過閱讀，在理解題意的基礎上建立方程 10a+b-（10b+c）=10c+d ；二 （204是根據題意得到 是整數.這兩個地方既是學生容易出錯的地方，也是解決問題的關鍵所在.

學生的閱讀理解能力是其數學素養的標志之一，閱讀理解能力的“強弱\"決定著他們學習質量的高低.在數學教學中，結合具體知識點，適當補充一些閱讀材料，讓學生進行閱讀學習.學生通過閱讀，能不斷提高自己的閱讀理解能力、運算能力以及推理能力，同時還能養成勤于觀察、思考、討論的良好學習習慣和品質.這些良好的“數學品質\"都是學生數學核心素養的重要組成部分，對學生一生的發展都起著重要作用.

2運算能力

《課標（2022年版）》把“運算能力\"作為數學核心素養的重要表現之一，并且強調指出，運算能力主要是指能夠根據法則和運算律進行正確運算的能力[1].這種能力表現在尋求合理簡捷的方法、途徑并據此得到運算結果兩個方面.學生的運算能力有“強”“弱”之分，能力“強”的學生不僅表現在運算速度快且準確，還表現在他們能理解運算方法與算理之間的關系.

學生數學運算能力的形成與提高離不開過程，這里的過程主要指學習數學知識（含數學概念、公式、法則、運算律）和應用數學知識解決有關問題的過程.

在《課標（2022年版）》界定的絕大部分“課程內容\"的學習中，都離不開數學運算.“數與代數”內容就是用運算“維系”的；“圖形與幾何”中線段的長短，角的大小，圖形的周長、面積，圖形的全等、相似，圖形的坐標表示等都涉及運算；在“統計與概率”領域中，學生在收集數據，根據數據進行分析、預測，利用頻率估算概率的大小以及準確求出概率的過程都與數學運算密不可分.

我們知道，數學知識主要包括數學概念、數學命題以及數學論證，數學運算始終貫穿于這三大部分內容的學習過程中.

“數學的應用滲透到現代社會的各個方面\"]，我們的生活中一刻也離不開數學，《課標（2022年版）》提出的“三會”目標離開了“數學運算”是無法實現的.正因為如此，《課標（2022年版）》才把運算能力作為數學核心素養的重要組成部分來要求，這要求我們在數學教學的全過程中都要強化對學生運算能力的培養[2].

從案例1第（2）問的解答過程來看，學生通過閱讀理解題意是關鍵，能進行數學運算也是非常重要的因素.

案例2二次函數中的問題（福建 2023中考題節選）

已知拋物線 y=ax²+bx+3 交 x 軸于 A（1，0） ，B（3，0） 兩點， M 為拋物線的頂點， ?_C，D 為拋物線上不與 A，B 重合的相異兩點，記 AB 中點為 E ，直線 AD .BC的交點為 P

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若 ，且 mlt;2 ，求證： c _D，E 三點共線.

（1）解析：根據拋物線 y=ax²+bx+3 經過點A（1，0），B（3，0） ，利用待定系數法構建方程組 解得{a=1， 由此得到拋物線的函， ，數表達式為 y=x²-4x+3

（2）證明：設直線 CE 的函數表達式為 y=kx+n L k≠0） .因為 ∣AB 中點為 E ，所以點 E 的坐標為（2，0）.

把點 E（2，0），C（4，3） 的坐標分別代入 y=kx+ n ，得到方程組 2’故直線CE對應的函數表達式為

由于點 在拋物線 y=x²-4x+3 上，因此把點 的坐標代入可得 m²-4m+3= ，解得 或 根據mlt;2得m= 2，所以 進一步可判斷 D 在直線 CE 上，即Φ_C，D，E 三點共線.

設計意圖：本題以“二次函數”為載體，考查學生對一次函數和二次函數的圖象與性質、二元一次方程組、一元二次方程等基礎知識的理解和應用情況.本題第一問屬于“常規”的計算問題，第二問屬于“代數推理”問題.解題的關鍵是靈活運用所學知識.從解答過程看，這兩問都是以“計算”為主.通過本題可考查學生的運算能力、推理能力等素養.學生在平常練習中經常做類似的題目，有助于培養和提高他們的數學運算能力.當然這也是提高學生數學核心素養的重要途徑.

《課標（2022年版）》在初中學段共提出了157條課程內容，數學教材是課標的具體化“材料”，學生是通過學習這個“材料\"完成課程內容的，也是通過學習這個“材料\"實現《課標（2022年版）》提出的“課程總目標”的.學生學習這些課程內容的過程幾乎都與運算相關，這樣的過程有益于學生運算能力的發展與提高.

3抽象能力

《課標（2022年版）》指出，抽象能力主要是指通過對現實世界中數量關系與空間形式的抽象，得到數學的研究對象，形成數學概念、性質、法則和方法的能力[1].

在數學概念、性質、法則和方法等“知識\"的教學中，教師應認真研讀教材內容，分析學生的學習實情，結合所學知識的特點，設計系列問題.學生在“問題情境\"中通過思考、探索、概括等活動學習知識時，必將經歷“數學抽象\"的過程，這是學生抽象能力得到培養和提高不可或缺的過程.

案例3一元二次方程概念的建立過程

一元二次方程是學生在初中階段學習的重要方程，為了以此為“載體”培養學生數學抽象能力，有的老師設計了下面的系列問題：

【問題情境】

（1）ABCD是一個矩形硬紙板，已知長為 40cm ，寬為 30cm 首先在四個直角 A，B，C，D 處分別剪去一個同樣大小的小正方形（圖1），然后把紙板的四邊沿虛線折起，即可做成一個無蓋紙盒.假設無蓋紙盒的底面積為 600cm² ，剪去小正方形的邊長為 acm ，則可列方程為

（2）一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字小3，這個兩位數比個位上的數字與十位上的數字之積的3倍小10.如果設個位數字為 x ，那么可列方程為_

（3）《九章算術》中有一題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三.乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會.問：甲乙行幾何？”

大意為：“甲乙兩人同時從同一地點出發，甲的速度是7，乙的速度是3.乙向東行走，甲向南走了10步后向東北行走，與乙相遇.問：相遇時，甲，乙分別走了多少步？”

設甲，乙兩人相遇所用的時間為t，此時甲走的路程是 ，乙走的路程是 ；于是我們可建立方程

設計意圖：《課標（2022年版）》要求學生“能根據現實情境理解方程的意義”，同時經歷一元二次方程的產生過程.根據這一要求，我們設計了上面的系列問題情境，該情境含有三個問題.學生通過閱讀、思考問題（1）和問題（2），容易得到方程 （30-2a）（40-2a）= 600和 x+10（x+3）=3x（x+3）-10. 對于問題（3），采用的是間接“設元法”，如果設甲、乙兩人相遇時用的時間為 Ψ_t ，那么只要求出相遇時用的時間 χ_t ，就能進一步求出甲、乙二人各自行走的路程.學生根據“勾股定理”不難得到方程 （3t）²+10²=（7t-10）² ：

學生通過解答問題（1）和（3），不僅感受到“數學與生活密切相關”，還能感悟到數形結合以及相互轉化的數學思想，同時由于問題（3）取自我國古代數學名著，所以本題還能讓學生“感受”到數學史的價值，增強學生的愛國心.

【抽象概括】

（4）觀察下面三個方程，說出它們的特點①a²-35a-150=0 ； ②3x²-2x-40=0 ③2t²-7t=0 （5）上述三個方程的本質特征是什么？

設計意圖：我們知道，“抽象是從許多事物中舍棄個別的、非本質屬性的，得到共同的、本質屬性的思維過程，是形成概念的必要手段”培養學生數學抽象能力的途徑有多種，經歷數學知識的形成過程就是行之有效的途徑.為培養學生的抽象能力，我們設計了抽象概括這個環節，

對于問題（4），學生可能能說出三個方程的諸多屬性.這些屬性既有本質的屬性，也有非本質的屬性.為了歸納、概括出一元二次方程的概念，我們只關注這些屬性中的本質屬性.這就是設計問題（5）的目的所在，教學時教師應舍得在這里下功夫，給學生充足的時間進行歸納、概括與討論.學生概括本質屬性時需要具備一定的抽象能力，這樣也進一步提高了抽象能力.在學生抽象出方程的本質屬性后，教師及時給出一元二次方程的概念.

數學抽象是從數量關系和空間形式上揭示數學對象的本質和規律的一種數學研究方法[3.在數學教學中，我們要結合具體知識的學習，培養學生透過表面現象“看到\"事物“本質\"的能力，這種“去偽存真”的功夫是在學生經歷抽象的過程中逐漸形成的.

4推理能力

《課標（2022年版）》指出：“推理能力主要是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論的能力.\"推理能力的形成、發展與學生的學習過程密不可分.

《課標（2022年版）》界定的“數與代數”“圖形與幾何\"“統計與概率”三個領域的課程內容都是培養學生推理能力的“載體”[4].這就要求我們在引導學生學習這三個領域的課程內容以及綜合利用這三個領域的知識開展“綜合與實踐”活動時，都要“適時適度”地培養學生的推理能力.

從案例1和案例2的解答過程看，都用到了推理能力，這樣的題自對學生推理能力的形成與發展都具有積極的意義.

案例4究竟錄取誰

某校學生會要在小亮和小瑩兩位同學中選擇一人擔任文藝部干事.為了公正公平，學校對二人進行了量化測試.測試從“文化水平、藝術水平、組織能力”三個方面進行，測試（單項滿分100分）結果如表1所示.

（1）如果用三個方面成績的平均數作為選拔條件，你認為該錄取誰？

（2）如果把“文化水平、藝術水平、組織能力”三個方面的成績分別按照 20%，20%，60% 的比例計人綜合成績，根據綜合成績該選拔誰？

設計意圖：主要考查學生對算術平均數和加權平均數概念的理解情況以及應用這些知識解決問題的能力.

學生通過閱讀，容易給出下面的解答：

（1）小亮的平均成績為""（分）；小瑩的平均成績為""分）.

因為小瑩的平均成績高于小亮的平均成績，所以應該錄取小瑩.

（2）小亮的綜合成績為 80×20%+88×20%+ 84×60%=84 （分）；小瑩的綜合成績為 83×20%+ 95×20%+77×60%=81.80 （分）.

因為小亮的綜合成績高于小瑩的綜合成績，所以應該錄取小亮.

從解答過程看，這兩個小題的解答過程都含有推理過程，這種統計推理能力也屬于推理能力的范疇.

我們通過四個具體案例闡述了在初中數學教學中，應在知識學習過程中加強對學生閱讀理解能力、運算能力、抽象能力、推理能力的培養；在應用所學知識解決問題的過程中進一步發展這些能力，從而不斷提高和發展學生的核心素養.

參考文獻：

[1中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：7.

[2]李樹臣，李麗娜.深入開展探索活動不斷提升核心素養——安徽省2023年中考第23題教學研究[J.中數數學雜志，2023（10）：45-48.

[3]張金良.解密數學抽象探索教學策略[J].數學通報，2019（8）：23-26，66.

[4]李樹臣.立足三個過程培養推理能力[J].中數數學雜志，2024（8）：1-5.Z