一致性視角下乘法運(yùn)算復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)踐

運(yùn)算是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，小學(xué)階段的運(yùn)算主要包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的運(yùn)算?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生“感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)”?；谶\(yùn)算一致性，筆者將小學(xué)階段“數(shù)與運(yùn)算\"的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行整合、重組，形成四節(jié)復(fù)習(xí)課，分別是“數(shù)的再認(rèn)識(shí)與一致性\"“再探加、減法運(yùn)算”“再探乘法運(yùn)算\"和“再探除法運(yùn)算”，將其放在小學(xué)六年級(jí)進(jìn)行教學(xué)。本文以其中的“再探乘法運(yùn)算”一課為例展開教學(xué)實(shí)踐，幫助學(xué)生感悟運(yùn)算一致性，形成完整的知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

一、感悟運(yùn)算一致性的必要性

小學(xué)階段，學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平處于由前運(yùn)算階段向具體運(yùn)算階段過渡的過程中。特別是對(duì)于第一學(xué)段的學(xué)生來說，他們的認(rèn)知發(fā)展水平更多處于前運(yùn)算階段，思維仍然受到直觀表象的影響，抽象思維能力弱。因此，小學(xué)階段“數(shù)與運(yùn)算\"的教學(xué)總是與現(xiàn)實(shí)背景密不可分，教材內(nèi)容和教學(xué)過程也尤為重視數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算的實(shí)際意義。這導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)與運(yùn)算的認(rèn)知往往是具體的，對(duì)于算法的理解是獨(dú)立的。

此外，考慮到小學(xué)階段學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，現(xiàn)有小學(xué)教材對(duì)“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容的編排呈螺旋式上升的結(jié)構(gòu)分布在各個(gè)年級(jí)。以人教版教材為例，整數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算橫跨一至四年級(jí)，分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算橫跨三至六年級(jí)，小數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算橫跨三至五年級(jí)，學(xué)生學(xué)習(xí)的時(shí)間跨度大。同時(shí)，在具體學(xué)習(xí)內(nèi)容的編排上，存在知識(shí)內(nèi)容重復(fù)交錯(cuò)的現(xiàn)象。一方面，分?jǐn)?shù)與小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)和簡(jiǎn)單加減運(yùn)算在三年級(jí)及之后的四、五年級(jí)重復(fù)出現(xiàn)。另一方面，數(shù)的認(rèn)識(shí)的學(xué)習(xí)順序和數(shù)的意義與性質(zhì)、數(shù)的運(yùn)算的學(xué)習(xí)順序不一致，前者為先分?jǐn)?shù)后小數(shù)，后者為先小數(shù)后分?jǐn)?shù)。在實(shí)際教學(xué)中，同一個(gè)班級(jí)在不同年級(jí)時(shí)常由不同教師任教，教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解往往也呈現(xiàn)出碎片化特征，不同教師難以形成連貫一致的教學(xué)。因此，學(xué)生很難在新舊兩種數(shù)或運(yùn)算間建立聯(lián)系，每次學(xué)習(xí)新的數(shù)或者運(yùn)算都要重新開始搭建認(rèn)知框架，這導(dǎo)致他們的數(shù)學(xué)思維難以形成連續(xù)性的發(fā)展。

事實(shí)上，數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)唯有抓住運(yùn)算的本質(zhì)，以運(yùn)算一致性為主線，貫通整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的運(yùn)算教學(xué)，打破不同學(xué)段、不同教師教學(xué)之間的壁壘，才能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到運(yùn)算知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建完整的知識(shí)體系，從而更好地理解新運(yùn)算的算理與算法，提升運(yùn)算能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的螺旋式上升。

二、乘法運(yùn)算復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)踐

所謂運(yùn)算一致性，從字面上來看，就是指進(jìn)行任何數(shù)學(xué)運(yùn)算，都遵循統(tǒng)一的運(yùn)算規(guī)則和運(yùn)算順序，使運(yùn)算結(jié)果符合數(shù)學(xué)邏輯。具體可以從運(yùn)算意義、運(yùn)算算法、運(yùn)算算理三個(gè)方面來理解。從運(yùn)算意義的角度，加、減、乘、除四則運(yùn)算具有一致性，所有運(yùn)算都是由加法推演出來的。從運(yùn)算算法的角度，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)運(yùn)算都可以還原、拆解為二十以內(nèi)的加法和表內(nèi)乘法。從運(yùn)算算理的角度，所有運(yùn)算都是計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位運(yùn)算、計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)運(yùn)算，本質(zhì)上是在解決“有多少個(gè)計(jì)數(shù)單位\"的問題。

小學(xué)階段，感悟運(yùn)算一致性的核心主要體現(xiàn)在算理和算法兩個(gè)方面?；诖耍Y(jié)合前述對(duì)“數(shù)與運(yùn)算\"學(xué)習(xí)問題的分析，可按如下順序展開乘法運(yùn)算復(fù)習(xí)課“再探乘法運(yùn)算\"的教學(xué)。

（一）問題導(dǎo)入，引發(fā)思考

為找到學(xué)生的真實(shí)困惑，教師在課前對(duì)學(xué)生進(jìn)行了關(guān)于乘法運(yùn)算的訪談。在訪談中，有學(xué)生提出：“我們分別學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)三種乘法的算法，但這三種算法我有時(shí)候會(huì)記錯(cuò)。有沒有一種簡(jiǎn)潔的方法能把它們都記??？\"還有的學(xué)生結(jié)合之前學(xué)習(xí)的加減法運(yùn)算的一致性，提出“整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的乘法之間有沒有共通的結(jié)論？”的問題。接著，教師以學(xué)生提出的這些問題為切入點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生的聯(lián)想，喚起學(xué)生之前探究加減法運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，點(diǎn)明本節(jié)課是以計(jì)數(shù)單位的視角對(duì)乘法運(yùn)算進(jìn)行的又一次探究，讓學(xué)生帶著問題展開學(xué)習(xí)。

（二）探究乘法算理一致性，再認(rèn)識(shí)算法

1.感悟整數(shù)乘法算理

教師出示一道簡(jiǎn)單口算題 30×80 ，讓學(xué)生快速說出算法，并用算式表達(dá)算法背后的算理。

學(xué)生經(jīng)過思考，寫出 30×80 的運(yùn)算過程（如圖1），并解釋其中的算理：30由3個(gè)十組成，可表示為 3×10;80 由8個(gè)十組成，可表示為 8×10 。利用乘法交換律和乘法結(jié)合律，將 10×10 這兩個(gè)計(jì)數(shù)單位相乘，產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位100；將 3×8 這兩個(gè)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘，得到新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。兩者相乘得到的積為24個(gè)百，也就是 24×100 ，等于 2400 。

教師接著出示算式 30×800 和 25×30 ，讓學(xué)生按照同樣的方式開展自主練習(xí)，體會(huì)計(jì)算背后的算理。通過與 30×80 運(yùn)算過程的對(duì)比分析，師生共同歸納出整數(shù)乘法的算理：（個(gè)數(shù) × 個(gè)數(shù)） × （計(jì)數(shù)單位 × 計(jì)數(shù)單位） 積。

在這一教學(xué)環(huán)節(jié)，利用簡(jiǎn)單口算例題引導(dǎo)學(xué)生探索整數(shù)乘法的算理，便于學(xué)生抽象出形式化的算理。利用三個(gè)不同的算理表達(dá)式，讓學(xué)生經(jīng)歷整數(shù)乘法算理的探究以及推理過程，自主歸納整數(shù)乘法的算理，有助于學(xué)生強(qiáng)化對(duì)整數(shù)乘法算理的理解。

2.類比遷移，自主探究小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法算理

教師繼續(xù)組織學(xué)生探究小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的算理。教師出示活動(dòng)要求：（1）從 0.02中選擇兩個(gè)數(shù)，組成乘法算式寫在學(xué)習(xí)單上。（2）寫出算理，思考并驗(yàn)證小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法是否具有相同的結(jié)論。

學(xué)生自主舉例情況如圖2所示。

此時(shí)，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧課前提出的問題，得出結(jié)論：小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法的算理與整數(shù)乘法的算理是一致的。

在以上教學(xué)環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生類比遷移整數(shù)乘法的研究思路，自主舉例，探究小數(shù)乘法及分?jǐn)?shù)乘法的算理，充分發(fā)揮了學(xué)生的課堂主體作用，培養(yǎng)了學(xué)生類比遷移、獨(dú)立解決問題的能力。此外，通過讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察對(duì)比一提出猜想一驗(yàn)證說理一歸納總結(jié)\"的數(shù)學(xué)探究一般過程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

3.再認(rèn)識(shí)算法，一一對(duì)應(yīng)加深理解

在完成上述算理的探究后，教師再次引導(dǎo)學(xué)生回顧整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的算法：在小數(shù)乘法中，按照整數(shù)計(jì)算是在計(jì)算計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，確定小數(shù)點(diǎn)的位置是在確定新的計(jì)數(shù)單位。在分?jǐn)?shù)乘法中，分子乘分子是在計(jì)算計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)；分母乘分母是在確定新的計(jì)數(shù)單位。這為接下來用算理解釋算法作了知識(shí)上的鋪墊，避免學(xué)生產(chǎn)生“本節(jié)課我新學(xué)習(xí)了一個(gè)公式”的想法，從而糾正他們將對(duì)算理的理解誤認(rèn)為是機(jī)械化公式套用的偏差。

這一過程在已歸納出算理的基礎(chǔ)上帶領(lǐng)學(xué)生再次回顧算法，讓學(xué)生將本節(jié)課探究得到的結(jié)論與之前學(xué)習(xí)過的算法建立聯(lián)系，從而深入明晰算法背后的原理，感悟“算理決定算法”，同時(shí)也使學(xué)生直觀體會(huì)到化繁為簡(jiǎn)的過程，感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，獲得解決問題的成就感。

（三）自主規(guī)劃，個(gè)性化提升運(yùn)算能力

1.分析他人錯(cuò)例，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

在學(xué)生明白了乘法運(yùn)算背后的道理之后，教師組織學(xué)生回顧他們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)中犯的一些錯(cuò)誤（如圖3），讓學(xué)生利用今天探究得到的乘法算理分析錯(cuò)因。

學(xué)生結(jié)合本課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)指出：錯(cuò)例1中，第二步積的數(shù)位位置錯(cuò)誤。在計(jì)算第二步的積時(shí)，數(shù)字2表示2個(gè)十，所以實(shí)際上進(jìn)行的運(yùn)算應(yīng)是 16× 20=320 。也就是說，32表示的是32個(gè)十。需要將3與百位對(duì)齊，2與十位對(duì)齊，個(gè)位上的0則依照習(xí)慣省略不寫，這樣才能表示正確的乘積。錯(cuò)例2中，計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的計(jì)算沒有出錯(cuò)，但是小數(shù)點(diǎn)的位置出錯(cuò)了，也就是新的計(jì)數(shù)單位算錯(cuò)了。兩個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位都是0.1，得到的新的計(jì)數(shù)單位就是 0.1× 0.1=0.01 。因此積應(yīng)該是一個(gè)兩位小數(shù)，即7.35。

在此基礎(chǔ)上，教師再讓學(xué)生提出一些提高運(yùn)算正確率的建議。學(xué)生由此提出：應(yīng)該從計(jì)數(shù)單位的視角，利用算理再次檢查自己的計(jì)算過程。

2.制訂并實(shí)施個(gè)性化運(yùn)算能力提升計(jì)劃

在這一環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生從以下四個(gè)方面反思自己的運(yùn)算，并在學(xué)習(xí)單上制訂自己的運(yùn)算能力提升計(jì)劃。

（1）我在運(yùn)算中常出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤？

（2）我應(yīng)該重點(diǎn)練習(xí)哪些運(yùn)算？

（3）練習(xí)時(shí)我要注意養(yǎng)成哪些習(xí)慣？

（4）我計(jì)劃達(dá)成怎樣的目標(biāo)？

接著，教師利用運(yùn)算小程序，讓學(xué)生根據(jù)自己制訂的計(jì)劃，選擇知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行練習(xí)。借助教師端，教師可及時(shí)查著學(xué)生的練習(xí)情況與即時(shí)性數(shù)據(jù)反饋，并與學(xué)生交流是否達(dá)成預(yù)設(shè)目標(biāo)，由此實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)教學(xué)及個(gè)性化的運(yùn)算能力提升。學(xué)生也能在這一過程中，學(xué)會(huì)分析問題，學(xué)會(huì)思考。

（四）回顧收獲

課末，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧、反思這節(jié)課學(xué)到了什么。學(xué)生有的了解了乘法的運(yùn)算算理是一致的，都可以用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)、計(jì)數(shù)單位乘計(jì)數(shù)單位來概括。有的知道了更多可用的方法來檢驗(yàn)自己的計(jì)算是否正確，學(xué)會(huì)從算理的角度分析計(jì)算。有的發(fā)現(xiàn)不管是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，不同的知識(shí)之間都存在聯(lián)系。還有的疑惑：除法運(yùn)算是不是也存在和加法、減法、乘法運(yùn)算相同的道理？通過這樣的思辨討論，學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問題，感悟到知識(shí)之間普遍存在聯(lián)系，并引發(fā)了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好奇心和求知欲，形成質(zhì)疑問難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神。

三、運(yùn)算一致性的教學(xué)思考

這節(jié)課以數(shù)的運(yùn)算為載體，以運(yùn)算一致性為主線展開教學(xué)。通過對(duì)教學(xué)過程的反思可以發(fā)現(xiàn)，在六年級(jí)的復(fù)習(xí)課中開展運(yùn)算一致性教學(xué)具有較高的可行性，但還需要進(jìn)一步加以探究。

首先，運(yùn)算一致性需要以合適的方式貫穿在數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)中。從本課的實(shí)踐探索中可以看到，學(xué)生已經(jīng)掌握了小學(xué)階段的所有運(yùn)算，他們的認(rèn)知發(fā)展水平更高，具備了一定的抽象意識(shí)基礎(chǔ)，能夠在探究過程中發(fā)現(xiàn)、理解并歸納運(yùn)算一致性。

其次，在小學(xué)階段，學(xué)生已經(jīng)初步經(jīng)歷了對(duì)數(shù)與運(yùn)算一致性的感悟?qū)W習(xí)，他們的認(rèn)知起點(diǎn)發(fā)生了變化。而在小學(xué)以后的學(xué)習(xí)中，他們還會(huì)逐步經(jīng)歷由數(shù)到式再到方程乃至函數(shù)的學(xué)習(xí)歷程。因此，教師需要思考如何讓學(xué)生從已經(jīng)認(rèn)識(shí)的正有理數(shù)與運(yùn)算的一致性起點(diǎn)出發(fā)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)在有理數(shù)整體上數(shù)與運(yùn)算的一致性。

（1.北京市東直門中學(xué)附屬雍和宮小學(xué)2.北京市東直門中學(xué)）