一致性視角下乘法運算復習課的教學實踐

運算是數學教學的重要內容，小學階段的運算主要包括整數、分數、小數的運算。《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，數與運算的教學應讓學生“感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識”。基于運算一致性，筆者將小學階段“數與運算\"的學習內容進行整合、重組，形成四節復習課，分別是“數的再認識與一致性\"“再探加、減法運算”“再探乘法運算\"和“再探除法運算”，將其放在小學六年級進行教學。本文以其中的“再探乘法運算”一課為例展開教學實踐，幫助學生感悟運算一致性，形成完整的知識體系，實現數學思維的發展。

一、感悟運算一致性的必要性

小學階段，學生的認知發展水平處于由前運算階段向具體運算階段過渡的過程中。特別是對于第一學段的學生來說，他們的認知發展水平更多處于前運算階段，思維仍然受到直觀表象的影響，抽象思維能力弱。因此，小學階段“數與運算\"的教學總是與現實背景密不可分，教材內容和教學過程也尤為重視數的認識與運算的實際意義。這導致學生對數與運算的認知往往是具體的，對于算法的理解是獨立的。

此外，考慮到小學階段學生的認知發展規律，現有小學教材對“數與運算”內容的編排呈螺旋式上升的結構分布在各個年級。以人教版教材為例，整數的認識與運算橫跨一至四年級，分數的認識與運算橫跨三至六年級，小數的認識與運算橫跨三至五年級，學生學習的時間跨度大。同時，在具體學習內容的編排上，存在知識內容重復交錯的現象。一方面，分數與小數的初步認識和簡單加減運算在三年級及之后的四、五年級重復出現。另一方面，數的認識的學習順序和數的意義與性質、數的運算的學習順序不一致，前者為先分數后小數，后者為先小數后分數。在實際教學中，同一個班級在不同年級時常由不同教師任教，教師對教學內容的理解往往也呈現出碎片化特征，不同教師難以形成連貫一致的教學。因此，學生很難在新舊兩種數或運算間建立聯系，每次學習新的數或者運算都要重新開始搭建認知框架，這導致他們的數學思維難以形成連續性的發展。

事實上，數與運算的教學唯有抓住運算的本質，以運算一致性為主線，貫通整數、分數、小數的運算教學，打破不同學段、不同教師教學之間的壁壘，才能使學生認識到運算知識之間的聯系，構建完整的知識體系，從而更好地理解新運算的算理與算法，提升運算能力，實現數學思維的螺旋式上升。

二、乘法運算復習課的教學實踐

所謂運算一致性，從字面上來看，就是指進行任何數學運算，都遵循統一的運算規則和運算順序，使運算結果符合數學邏輯。具體可以從運算意義、運算算法、運算算理三個方面來理解。從運算意義的角度，加、減、乘、除四則運算具有一致性，所有運算都是由加法推演出來的。從運算算法的角度，整數、分數、小數運算都可以還原、拆解為二十以內的加法和表內乘法。從運算算理的角度，所有運算都是計數單位與計數單位運算、計數單位的個數與計數單位的個數運算，本質上是在解決“有多少個計數單位\"的問題。

小學階段，感悟運算一致性的核心主要體現在算理和算法兩個方面。基于此，結合前述對“數與運算\"學習問題的分析，可按如下順序展開乘法運算復習課“再探乘法運算\"的教學。

（一）問題導入，引發思考

為找到學生的真實困惑，教師在課前對學生進行了關于乘法運算的訪談。在訪談中，有學生提出：“我們分別學習了整數、小數、分數三種乘法的算法，但這三種算法我有時候會記錯。有沒有一種簡潔的方法能把它們都記住？\"還有的學生結合之前學習的加減法運算的一致性，提出“整數、小數、分數的乘法之間有沒有共通的結論？”的問題。接著，教師以學生提出的這些問題為切入點，引發學生的聯想，喚起學生之前探究加減法運算的經驗，點明本節課是以計數單位的視角對乘法運算進行的又一次探究，讓學生帶著問題展開學習。

（二）探究乘法算理一致性，再認識算法

1.感悟整數乘法算理

教師出示一道簡單口算題 30×80 ，讓學生快速說出算法，并用算式表達算法背后的算理。

學生經過思考，寫出 30×80 的運算過程（如圖1），并解釋其中的算理：30由3個十組成，可表示為 3×10;80 由8個十組成，可表示為 8×10 。利用乘法交換律和乘法結合律，將 10×10 這兩個計數單位相乘，產生新的計數單位100；將 3×8 這兩個計數單位的個數相乘，得到新的計數單位的個數。兩者相乘得到的積為24個百，也就是 24×100 ，等于 2400 。

教師接著出示算式 30×800 和 25×30 ，讓學生按照同樣的方式開展自主練習，體會計算背后的算理。通過與 30×80 運算過程的對比分析，師生共同歸納出整數乘法的算理：（個數 × 個數） × （計數單位 × 計數單位） 積。

在這一教學環節，利用簡單口算例題引導學生探索整數乘法的算理，便于學生抽象出形式化的算理。利用三個不同的算理表達式，讓學生經歷整數乘法算理的探究以及推理過程，自主歸納整數乘法的算理，有助于學生強化對整數乘法算理的理解。

2.類比遷移，自主探究小數乘法、分數乘法算理

教師繼續組織學生探究小數、分數乘法的算理。教師出示活動要求：（1）從 0.02中選擇兩個數，組成乘法算式寫在學習單上。（2）寫出算理，思考并驗證小數、分數乘法是否具有相同的結論。

學生自主舉例情況如圖2所示。

此時，教師帶領學生回顧課前提出的問題，得出結論：小數乘法、分數乘法的算理與整數乘法的算理是一致的。

在以上教學環節，教師讓學生類比遷移整數乘法的研究思路，自主舉例，探究小數乘法及分數乘法的算理，充分發揮了學生的課堂主體作用，培養了學生類比遷移、獨立解決問題的能力。此外，通過讓學生經歷“觀察對比一提出猜想一驗證說理一歸納總結\"的數學探究一般過程，幫助學生積累數學學習經驗。

3.再認識算法，一一對應加深理解

在完成上述算理的探究后，教師再次引導學生回顧整數、小數、分數乘法的算法：在小數乘法中，按照整數計算是在計算計數單位的個數，確定小數點的位置是在確定新的計數單位。在分數乘法中，分子乘分子是在計算計數單位的個數；分母乘分母是在確定新的計數單位。這為接下來用算理解釋算法作了知識上的鋪墊，避免學生產生“本節課我新學習了一個公式”的想法，從而糾正他們將對算理的理解誤認為是機械化公式套用的偏差。

這一過程在已歸納出算理的基礎上帶領學生再次回顧算法，讓學生將本節課探究得到的結論與之前學習過的算法建立聯系，從而深入明晰算法背后的原理，感悟“算理決定算法”，同時也使學生直觀體會到化繁為簡的過程，感受數學的簡潔美，獲得解決問題的成就感。

（三）自主規劃，個性化提升運算能力

1.分析他人錯例，積累學習經驗

在學生明白了乘法運算背后的道理之后，教師組織學生回顧他們在之前的學習中犯的一些錯誤（如圖3），讓學生利用今天探究得到的乘法算理分析錯因。

學生結合本課的學習經驗指出：錯例1中，第二步積的數位位置錯誤。在計算第二步的積時，數字2表示2個十，所以實際上進行的運算應是 16× 20=320 。也就是說，32表示的是32個十。需要將3與百位對齊，2與十位對齊，個位上的0則依照習慣省略不寫，這樣才能表示正確的乘積。錯例2中，計數單位個數的計算沒有出錯，但是小數點的位置出錯了，也就是新的計數單位算錯了。兩個因數的計數單位都是0.1，得到的新的計數單位就是 0.1× 0.1=0.01 。因此積應該是一個兩位小數，即7.35。

在此基礎上，教師再讓學生提出一些提高運算正確率的建議。學生由此提出：應該從計數單位的視角，利用算理再次檢查自己的計算過程。

2.制訂并實施個性化運算能力提升計劃

在這一環節，教師讓學生從以下四個方面反思自己的運算，并在學習單上制訂自己的運算能力提升計劃。

（1）我在運算中常出現哪些錯誤？

（2）我應該重點練習哪些運算？

（3）練習時我要注意養成哪些習慣？

（4）我計劃達成怎樣的目標？

接著，教師利用運算小程序，讓學生根據自己制訂的計劃，選擇知識點進行練習。借助教師端，教師可及時查著學生的練習情況與即時性數據反饋，并與學生交流是否達成預設目標，由此實現精準教學及個性化的運算能力提升。學生也能在這一過程中，學會分析問題，學會思考。

（四）回顧收獲

課末，教師引導學生回顧、反思這節課學到了什么。學生有的了解了乘法的運算算理是一致的，都可以用計數單位的個數乘計數單位的個數、計數單位乘計數單位來概括。有的知道了更多可用的方法來檢驗自己的計算是否正確，學會從算理的角度分析計算。有的發現不管是整數、小數還是分數，不同的知識之間都存在聯系。還有的疑惑：除法運算是不是也存在和加法、減法、乘法運算相同的道理？通過這樣的思辨討論，學生學會用數學的思維思考問題，感悟到知識之間普遍存在聯系，并引發了對數學學習的好奇心和求知欲，形成質疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神。

三、運算一致性的教學思考

這節課以數的運算為載體，以運算一致性為主線展開教學。通過對教學過程的反思可以發現，在六年級的復習課中開展運算一致性教學具有較高的可行性，但還需要進一步加以探究。

首先，運算一致性需要以合適的方式貫穿在數學運算的教學中。從本課的實踐探索中可以看到，學生已經掌握了小學階段的所有運算，他們的認知發展水平更高，具備了一定的抽象意識基礎，能夠在探究過程中發現、理解并歸納運算一致性。

其次，在小學階段，學生已經初步經歷了對數與運算一致性的感悟學習，他們的認知起點發生了變化。而在小學以后的學習中，他們還會逐步經歷由數到式再到方程乃至函數的學習歷程。因此，教師需要思考如何讓學生從已經認識的正有理數與運算的一致性起點出發，進一步認識在有理數整體上數與運算的一致性。

（1.北京市東直門中學附屬雍和宮小學2.北京市東直門中學）