相對性眼光的“感知力”

相對性眼光具有“重新塑型整體、重新把握關系、重新聚焦對象\"的重組功能[1]，發揮這樣的認知功能可以實現“隱性內容顯性化、抽象內容具象化、獨立對象結構化\"的認知功效[2]。而功能的發揮與功效的實現依賴于“如何看\"的功力，這樣的功力作為人的認知能力主要表現為觀察過程中的“感知力”。

這里所說的感知力特指視覺觀察過程中表現出來的能力，兼具“感覺（Sensation）\"和“知覺（Per-ception）\"的意義。3]如果把感覺視為對觀察對象表層信息的直接反映，那么知覺則包含對信息的加工和組織的過程。下面從無中生有的制作、“視幾為一\"的構造、由此及彼的轉換以及視靜為動的驅動四個方面說明相對性眼光的感知力。

一、無中生有的制作

無中生有的制作是觀察者將不存在的對象視為存在，將未發生的事件視為發生。所謂\"制作”，指的是在背景的映襯下，借助思維的想象，使得原本虛無的對象被觀察者感覺或感知到的過程。例如，在觀察圖1的過程中，如果要回答“能看見什么？”，可能的答案應當是：三個大小相等的圓形；第一行有一個，第二行有兩個。除此之外，似乎沒有更多信息了。也就是說，感知到的信息局限于三個圓形及其空間方位。

如果將圖1中三個圓形的背景稍加改變，將每個圓中的一部分涂色，這時觀察者的感覺就會發生變化。對于“能看見什么？\"的回答也會隨之改變，不僅包括業已存在的三個圓形及其空間方位，同時還從無到有地浮現出一個白色三角形，其頂點位于三個圓的圓心。

這樣的視覺現象是意大利心理學家蓋塔諾·卡尼薩（GaetanoKanizsa，1913—1993）于1955年發現的，因此被命名為“卡尼薩三角形（KanizsaTrian-gle）\"[4]。事實上，卡尼薩三角形并非真實的存在，而是人的視覺在背景信息的映襯下，無中生有地制作出來的。如果把三個圓形中的陰影刪除，這個白色三角形就會在視覺中消失。

無中生有的制作具有靈活多樣的開放性，不同的制作方式能夠改變、拓展對觀察對象的感知。比如觀察圖3中的長方體，如果要回答“A與 X 哪個點距離觀察者更近？”，就可能出現不同的答案。

在二維的紙面上畫三維的長方體，通常用實線表示外部可見的線段，虛線表示長方體內部隱藏的線段。針對同一個長方體，若制作不同的實線與虛線，對長方體方位的感覺就會發生變化。比如觀察圖4 ① 的感覺是從上向下看，A點到 X 點是自外而內、由近及遠；而觀察圖 4② 的感覺恰好相反，是從下向上看，A點到 X 點是自內而外、由遠及近。這樣的現象是瑞士晶體學家路易斯·阿爾貝特·內克爾（LouisAlbertNecker，1786—1861）在研究晶體結構時發現的，因此稱為\"內克爾方塊”[5]

同一個長方體，人的視覺可能感知到不同的樣態，表明無中生有的制作不僅是從無到有的過程，而且伴隨著“未必如此、可能如彼\"的不確定性。正是這樣的不確定性為人類的創造與創新提供了無限的可能。在數學教學中，讓學生有更多的機會經歷這樣無中生有的制作過程，有益于發展其創新意識，提升其創新能力。

二、“視幾為一\"的構造

相對性眼光不僅具有無中生有的制作能力，在面對較多觀察對象時，還具有“視幾為一\"的構造能力，主要表現為對觀察對象的歸類與分組。比如觀察圖5中水平擺放的小球，如果要回答“有多少個小球？”，用習慣且常規的眼光看，從左到右或從右到左可以數出唯一確定的答案為\"6個”。

如果把問題聚焦為“如何著出？”，用不同的眼光就會得到差異、多樣的答案。比如改變左側3個小球的顏色，觀察者便會不自覺地把顏色相同的小球歸為一類，即將左側顏色相同的3個小球歸為一類，右側顏色相同的3個小球歸為另外一類，從而把6個小球分成了兩組（如圖6）。

即便沒有顏色的區分，按照格式塔心理學的感知原理，人的視覺會根據空間位置的“鄰近（Prox-imity）\"以及某種性質的\"相似（Similarity）\"等因素，自然而然地對觀察對象進行歸類與分組。比如觀察圖7中的7個小球，就會出現差異且多樣的分組方式，表現出相對性眼光靈活多樣的特征。

如果用自上而下或自左而右這些習慣且常規的眼光看，7個小球可以分為上、中、下三組（如圖 8① ），或左、中、右三組（如圖 8② ）。運用這樣的感知方式得到的算式可以表達為 2+3+2=7 。

如果改變這種習慣且常規的線性眼光，還可以用構造“完形（Gestalt）\"的眼光進行觀察。比如觀察圖9時，若自左而右或從左上向右下著，視覺中會出現兩個平行四邊形（菱形），這時就會觸發“2個4\"的乘法思維，即將“4個\"視為“一”。由于兩個平行四邊形相鄰處有1個共用的小球，因而得到的算式為 4×2-1=7 。

更進一步，還可以將7個小球按照“三角形\"來分組（如圖10）。由于三個三角形相鄰處的小球重復了3次，因此對應的算式就成為 3×3-2=7 。

用類似的完形眼光還可以構造出兩個梯形（如圖11），這時對應的算式就成為 5×2-3=7 。

除此之外，還可以結合前文中所說的“無中生有的制作”，采用不同于前面的構造方式，通過添加小球對整體進行重新塑型。比如分別在第一行和第三行無中生有地添加1個小球（如圖12），這時整體形狀就成為一個平行四邊形，對應的算式就成為3×3-2=7 。

綜上反映出相對性眼光具有“視幾為一\"的構造能力，通過不同的歸類與分組，將復雜、零散的觀察對象改變為“部分與整體\"的結構，就會形成差異且多樣的方法與策略。美國斯坦福大學神經科學家布魯斯·麥克坎德利斯（BruceMcCandliss）教授把這樣的能力叫作\"集組感知（Groupitizing）”，并通過研究證實集組感知的能力與學生學業成績呈正相關的關系，是學生智力發展的重要方面。

三、由此及彼的轉換

由此及彼的轉換主要應用于不同觀察對象的比較過程，是發現不同對象之間關系的過程與能力。比如圖13中兩條線段相交，形成大小相等的對頂角。但對于低齡兒童來說，要形成對頂角相等的認知是存在困難的。

經課堂觀察發現，對于圖 13① 中的兩個角，學生都會認為大小相等，但對圖 13② 和圖 ? 中的角就會出現誤判。圖 13② 標記角的扇形大小不同，圖 ? 兩個角畫出的邊長短不同，許多學生就會誤認為扇形大或畫出的邊較長一方的角更大。

為了使兩個角的相等關系更為清晰，就需要通過由此及彼的轉換改變比較的對象。比如分別將兩個角與相鄰的同一個角合并，將兩個對頂角的比較轉換為兩個平角的比較。借助平角相等就不難推理出對頂角相等的結論（如圖14）。

這種由此及彼的轉換發揮了相對性眼光重新塑型整體的重組功能，實現了將隱性的相等關系顯性化的認知功效。將這樣的眼光應用于數的計算，對于發現不同算式之間的關系，探索算術以及代數中的一般性規律十分有益。比如面對算式 49×51 常規的眼光與方法是將豎式作為工具，依據計算的程序得到結果2499。

由此及彼的相對性眼光則不同，是尋求這個算式與其他算式的關系，通過不同算式之間的比較實現化未知為已知。 49×51 這一算式的特點是第一個因數49比50少1，第二個因數51比50多1，因此可把注意力聚焦于 49×51 與 50×50 或 50² 的關系上。羅列一些具有類似關系的算式進行觀察，可以發現其中具有一致性的規律。

據此有理由猜測 49×51 與 50²–1 的結果相等，這意味著可以將算式 49×51 轉換為易于心算的50²–1 。這種由此及彼的轉換改變并超越了常規的程序化計算，轉向了針對算式之間關系的比較。

由此及彼的轉換不僅使具體的計算更為簡便，還為發現更為普遍的規律提供了思路。如果用表達變量的字母 a 取代具體的數，那么以上所有算式間的關系都可以表示為 （a-1）×（a+1）=a²-1 。更進一步，通過對諸如 48×52=50²-2² 和 47×53=50²-3² 等算式的觀察與比較，就可以得到初中數學課程中的平方差公式，用代數的符號表達為 （a-b）×（a+b）= a²-b² 。

以上過程是將算式 49×51 轉換為 50²–1 ，進而納入一個具有相同規律的結構中，使得隱性的規律顯性化。凡此表明，由此及彼的轉換能夠發揮相對性眼光的重組功能，實現獨立對象結構化的認知功效。除此之外，相對性眼光的感知力還表現為驅動觀察對象的過程與能力。下面用初中數學課程中平方差公式的直觀證明進一步說明這一能力。

四、視靜為動的驅動

本刊在2025年4月刊載的《跨越學段界限的“相對性眼光\"》一文，用小學與初中數學中的實例詳細說明了視靜為動的眼光在認知方面的有效性及其學段貫通性。8作為初中代數的課程內容，平方差公式承載著從算術思維到代數思維的轉變與提升的課程價值，同時具有溝通代數與幾何，提升幾何直觀能力的教學價值。

用幾何的眼光看平方差公式 a²-b²=（a+b）× （a-b） ，其中的 a² 與 b²（agt;bgt;0） 表達的是大、小兩個正方形的面積（如圖 15① ），因此公式中的 a²-b² 就成為圖 15② 中白色“拐脖形”的面積。

為了直觀證明平方差公式，只需要用視覺看出這個“拐脖形”的面積為 （a-b）×（a+b） 即可。所謂“看出”，就是要盡量避免煩瑣、抽象的代數運算，實現抽象內容的具象化。為此就需要重新塑型圖 15② 中的“拐脖形”，通過視靜為動的驅動，使其中一個局部的小長方形（表1中圖的陰影部分）發生平移與旋轉的運動，轉變為寬、長分別為 a-b 和 a+b 的長方形，從而也就實現了公式的直觀證明。詳細過程如表1所示。

表1

以上過程反映出相對性眼光具有使觀察對象從靜止到運動的驅動力。正是這樣的驅動力使得觀察對象的空間方位發生變化，從而使不同對象之間隱性的關系得以顯現。需要注意的是，驅動的方式與過程未必是唯一確定的。對于圖 15② 中的“拐脖形”，還可以看作是由兩個具有全等關系的梯形構成的（如圖16）。

通過相對性眼光的驅動，使其中一個梯形（表2中圖的陰影部分）發生對稱、旋轉和平移的運動，同樣可以將兩個梯形重新塑型為寬、長分別為a-b 和 a+b 的長方形。詳細過程如表2所示。

由此可見，相對性眼光視靜為動的驅動是將靜止的對象視為運動，通過改變空間方位對觀察對象進行重組，進而實現隱性關系的顯性化。因此應當重新認識數學課程中“圖形的運動\"的相關內容，諸如對稱、平移和旋轉等運動方式，不僅是等待獲取的知識，更應當視為各個學段需要逐步提升與加強的感知力。

以上通過具體實例，歸納出相對性眼光的感知力主要表現為“無中生有的制作、視幾為一的構造、由此及彼的轉換、視靜為動的驅動”四個方面。這樣的能力能夠使人在觀察過程中實現在對立中看到統一，具體表現為：在虛無中看到存在、在零散中看到結構、在孤立中看到聯系、在靜止中看到運動。

參考文獻：

[1郜舒竹.相對性眼光的“重組”功能[J」.教學月刊·小學版（數學），2025（3）：4-8

[2]郜舒竹.“相對性眼光”的認知功效[J].教學月刊·小學版（數學），2025（5）：4-9.

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[5]MILLAR B. Sensory phenomenology and perceptual content [J].The Philosophical Quarterly， 2011，61（244） ：558-576.

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[7]STARKEYGS，MCCANDLISSBD.The emergence of“groupitizing”in children's numerical cognition[J].Journal of Experimental Child Psychology，2014（10）：120-137.

[8]郜舒竹.跨越學段界限的“相對性眼光”[J].教學月刊·小學版（數學），2025（4）：4-9.

（首都師范大學初等教育學院）