搭建教學支架 促進深度理解

支架式教學以學生為主體，是素質教育的衍生和發展.它既是一種教學觀念，又是一種教學模式.將其應用于初中數學教學，有利于發揮學生的主體作用，增加學生的學習興趣和積極性，實現學生數學能力與數學核心素養的全面提升.所謂支架式教學，是指教師在教學中為學生提供一個有利于理解知識的“支架”，學生借助這個“支架”能更好地理解教學內容.在這種教學模式下，教師應以學生已有的知識水平為基礎，構建一種合作、溝通、討論的學習環境，充分激發學生的學習潛能，使學生的數學能力與核心素養得到提升.下面，筆者以“平方差公式”的教學為例，通過搭建教學支架引導學生經歷知識形成、發展、應用等過程，感悟平方差公式形成過程中蘊含的數學思想方法，揭示數學知識的本質，讓學生從中獲得更深層次的理解.

教學分析

1.教材內容分析

平方差公式是初中階段的第一個公式，也是最基本、應用最廣泛的公式之一，其在初中數學中的地位和價值不言而喻.平方差公式源于整式乘法的特殊化，其本質是多項式乘法，是體現一般到特殊思想方法的典范.在學習本節課內容之前，學生已經學習了有理數運算、列簡單的代數式、整式的加減及乘除等知識，還掌握了多項式乘法法則，這些知識是學習本節課內容的基礎.通過本節課知識的學習，學生可以掌握特殊多項式乘法的簡便算法，為后續探究其他乘法公式提供了思路，也為后續學習因式分解、分式的乘法等知識奠定了基礎.

2.學情分析

學生在學習多項式乘法之前，已經具備了探索、歸納、運用平方差公式的能力.另外，學生也具備了小組合作、交流的能力.因此，教學中教師應創造機會讓學生自己去發現、去歸納、去運用，讓學生在獲得知識的同時，又能提升探究能力，發展數學核心素養.

3.教學目標

（1）經歷平方差公式的探索及推導過程，理解并掌握平方差公式，能夠直接利用平方差公式解決問題.（2）體會一般到特殊、數形結合等思想方法的應用，培養學生的歸納推理及解決問題的能力.

教學設計

1.復習舊知，引入新知問題1計算 （a+b） ） （p+q）

學生活動：學生獨立完成，給出以下運算結果： （a+b） （ p+} q）=ap+aq+bp+bq.

設計意圖重溫多項式乘法法則，鞏固二項式的乘法運算技巧，為后續乘法公式的探究作鋪墊.

追問能否用圖形的面積關系直觀地表示這個多項式乘法呢？

師生活動：學生根據已有長方形面積公式，構造出圖1所示的圖形.

設計意圖將代數問題幾何化，借助圖形的直觀性說明乘法公式的計算過程，滲透數形結合思想.

2.探索新知，感悟生成

問題2計算 （a+b）（a+q） 說說你的發現.

師生活動：學生給出以下運算過程， （a+b）（a+q）=a²+aq+ab+bq= 通過觀察，學生發現 （a+b）（a+q） 是由（ a+ b ） （p+q） 特殊化而來，即令 p=a 業

追問1令 p=a 后，其運算結果由4項變成3項，如果在此基礎上進一步特殊化，你想怎么特殊化，想得到怎樣的運算結果？

師生活動問題給出后，學生積極思考，嘗試通過特殊化進一步將運算結果簡化.學生結合上式運算結果，試著去除 （q+b）a ，于是令 q=-b 所以有

設計意圖滲透一般到特殊的思想方法，通過特殊化處理讓學生自主發現平方差公式.在這一過程中，教師首先給出特例，引導學生操作、觀察，發現特例（ a+ b ） （a+q） 是令 （a+b）（p+q） 中p=a 而來，通過挖掘特殊與一般之間的關系，為進一步特殊化處理指明了方向.在問題2的基礎上，學生處理得到 （a+b）（a-b）=a²-b²

追問2計算 （a+b）（a-b） 時，計算結果為什么是兩項？

學生活動學生給出以下運算過程： （a+b）（a-b）=a²-ab+ ab -b²=a²-b². 即利用多項式的乘法法則得到4項，通過合并同類項使4項變成2項.

設計意圖讓學生體會平方差公式的本質就是多項式乘法，滲透一般到特殊的思想方法，提高學生發現問題、分析問題和解決問題的能力．

追問3如果將 （a+b）（a-b）= a²-b² 這個特殊的整式乘法命名，你想怎么命名？你能用文字語言描述嗎？

設計意圖引導學生從公式的結構特征出發，根據結構特征為公式命名，由此得到平方差公式.在這一過程中，教師應多加鼓勵學生運用文字語言進行描述，進一步加深學生對平方差公式的理解，為后續的應用打下堅實的基礎.

3.驗證新知，溝通聯系

問題3能否用圖形的面積關系直觀地表示平方差公式呢？

師生活動教師預留時間讓學生獨立完成，教師巡視.從探究結果發現，大多數學生都能很快地畫出a+b 的邊，但是在表達 a-b 時遇到不小麻煩，教師便啟發學生從正方形結構入手，利用正方形面積構造圖形.學生通過合作、探究，得到圖2、圖3兩種證明方法.

設計意圖引導學生利用圖形語言表征平方差公式，滲透數形結合思想方法.應用不同數學語言進行表征，有利于深化學生對平方差公式的理解，并為后續完全平方公式的學習打下基礎.

4.應用新知，鞏固提升

問題4判斷下列算式能否用平方差公式計算？說說你的理由.（1） （2a+3b）（2a-3c）; （2） （-m+n）（m-n）

師生活動：學生經過思考、討論、交流等過程，發現以上算式都不能用平方差公式計算.

設計意圖通過思考辨析，使學生進一步熟悉平方差公式的本質特征，明晰運用平方差公式必須具備的條件.

問題5利用平方差公式計算

下列算式，并指出平方差公式中字

母""分別代表什么.（1） （100+2）×（100-2）; （2） 103×97 （3） （3x+2y）（3x-2y）; （4） （a+b+1）（a+b-1）.

學生活動：學生獨立解答，從學生解題的反饋來看，大多數學生都能靈活地運用平方差公式解決問題.第（1）題、第（3）題可以直接應用公式計算；第（2）題為間接計算，即將“103”轉化為4 i00+3^′′"，將“97”轉化為“100-3^′′"，滲透轉化思想方法；第（4）題滲透整體思想，即將“ a+b ”視為一個整體，令""，將問題轉化為學生熟悉的完全平方公式的形式，即 （Ω_t+1）（Ω_t-1） 業

設計意圖通過“用”檢測和鞏固學生對平方差公式的理解，讓學生切身體會平方差公式的便捷，提高學生應用新知解決問題的能力.在這一過程中，教師應注意滲透轉化思想和整體思想，幫助學生進一步理解平方差公式的結構特征，體會 a 、b既可以表示數，也可以表示單項式，還可以表示多項式的思想方法.

5.總結概括，自我評價

問題6通過本節課的學習你有哪些收獲？還有哪些困惑？

師生活動教師鼓勵學生從知識、思想方法等方面進行歸納總結，幫助學生對本節課所學知識有一個系統的、全面的認識.在此過程中，教師引導學生思考兩個問題：平方差公式的本質是什么？應用時需注意哪些問題？通過追問，進一步實現學生的深度學習.

設計意圖通過課堂小結，進一步深化學生對所學知識的理解，提煉探究方法，并為后續學習提供思路.

教學思考

數學是一門抽象的學科，欲使學生獲得深層次的理解，僅憑教師的講授是很難達成的，因此，教師應重視引導學生追溯知識的由來，探究知識的本質，感悟知識形成背后的思想方法，實現學生的深度學習.在實際教學中，教師要充分發揮主導作用，在“三個理解”的基礎上設計探究活動，引導學生經歷知識的形成、發展、應用過程，深入理解知識的本質，提升數學思維能力與數學核心素養.

在本節課的教學中，教師并未直接給出平方差公式讓學生識記和套用，而是從學生熟悉的整式乘法入手，讓學生親歷一般到特殊的轉化過程，然后自主歸納總結出平方差公式.學生在這一過程中，既深刻理解了知識的本質，又將這一研究方法拓展至其他乘法公式的探究上，從而形成乘法公式的知識體系．

總之，在數學教學中，教師需要從學生已有知識經驗出發，合理搭建數學教學支架，通過獨立思考和互助學習相結合的方式讓學生共同探索知識的形成、發展、應用過程，成為數學知識的明白人.