突破常規：巧用逆向思維速解初中代數難題

結合當前的初中數學課堂教學實踐，學生對于代數題目的解題存在一定困難，在考試及課堂測驗中發現多數學生代數題目的解題準確率和速度都不理想，并且很容易對解題喪失興趣，難以提升數學學業質量.為此，教師可引導學生合理運用逆向思維進行解題.逆向思維是一種倒推資源配置的方法，從目標出發逆向而行，根據已知條件逐步推進的數學思維模式，對于代數等題目的解題具有一定的推動作用.為此本文通過例析逆向思維在初中代數難題中的應用，闡述在解題實踐中的具體做法.

1用逆向思維推導題目

平方差公式在初中代數教學中是一項難點和重點內容，在解題時多數學生側重利用正向思維，即通過多項式乘法進行計算，但這樣計算效率相對較低下.為此可利用逆向思維進行推導，能夠實現速解題目[1].

例1請簡便計算 551²-449² 的數值.

用逆向思維推導的解題思路：當閱讀題目后，能夠發現其屬于平方差公式計算類型題目，由此可借助所學公式 （a+b）（a-b）=a²-b² ，然后利用逆向思維進行推導，如將平方差公式進行倒置，則是 a² -b²=（a+b）（a-b） ，基于此，在數學邏輯上，則是可以將計算兩項數值的平方差看作計算兩個數的差與和的乘積，將數值代入公式中，可得 551²-449² ，經計算答案為102000.通過運用逆向思維能夠逆向推導平方差公式，通過“兩個數的平方差等于兩個數的和與兩個數的差之間的乘積”規律實現簡便速解.

2用逆向思維計算題目

初中代數知識中涉及大量的計算類解題，其中包含一些特殊數值的計算，如根號下計算、開平方等，其是教材知識中的一個較難理解的重點.在掌握相關基礎知識后，學生通常按照常規的正向思維進行計算解題，雖然能夠得到準確的計算結果，但做題效率較低.為此教師可指導學生充分利用逆向思維，合理地運用公式法則尋找簡潔、便捷的解題方法.

例2 請運用所學知識計算 的值.

用逆向思維計算的解題思路：學生在閱讀題目后，往往是先計算 的值，然后再計算 與 的值，這是一種正向思維解題法，但由于3并非整數，難以計算出準確的值，所以采用直接計算法難度較大.為此，應利用題目的可逆性，轉換解題思路，逆用 公式，首先根據題目判斷 ，由此可將其看作未知數 α_a ，表示為 ．由此可得出答案為

3用逆向思維分析題目

在初中代數教學中，方程知識對于學生而言是較為常見的難題類型之一，特別是不等式方程，學生大多從已知條件入手進行思考，但能得到多個結論，無法確定正確的答案.如果利用逆向思維模式則能夠基于題目的結論出發，通過逆推以此得到準確答案[2].

例3已知 xgt;0，ygt;0 ，且 x≠y ，求證 x³+ y³gt;x²y+xy².

用逆向思維分析的解題思路：通過了解題目的已知條件， x 與 為不相等的正數，如對不等式從左向右推導則解題過程較為煩瑣、復雜.而通過運用逆向思維則能夠較為快速地明確解題思路，如將題目進行逆向分析，利用公式 x³+y³=（x+y）（x²- xy+y²） 進行推理，則能夠得到 x²y+xy²=xy（x +y） ，然后再根據結論，只需證明 （x+y）（x²-xy +y²）gt;xy（x+y） 即可，但因為將不等式進行轉變后，其左右兩側均有 （x+y） ，且已知兩個未知數均為正數，其相加之和大于0，因此只需證明 x²- xy+y²gt;xy ，將不等式的右側移動到左側后，可得到 x²-2xy+y²gt;0 ，所以 （x-y）²gt;0 ，又由于 x eqy ，分析結論成立.這一解題思路是遵循“順推不行則逆推”的方法，通過逆向分析尋找正確的解題途徑.

4用逆向思維證明題目

證明類題型在初中代數知識體系中占有一定的比重，其能夠培養和鍛煉學生的邏輯思維和推理能力，但部分學生對于證明的題目缺乏有效的解題思路，其往往需要設定相關的假設，然后再逐步推導和證明結論，這一過程中有的假設是錯誤的，有的假設是正確的，學生難以辨別，從而陷入“迷?！倍ㄟ^運用逆向思維，則能夠有效證明題目，得到正確的答案.

例4請證明2是一個無理數.

用逆向思維證明的解題思路：無理數是指無限不循環小數，是相對于有理數分數形式的數而言的，很多學生僅是將“√2是無理數的”這一知識進行記憶，但通過正向思維會證明其是無理數存在較大的困難.為此可利用逆向思維進行證明，即假設 是一個有理數，按照定義，有理數能夠通過分數表示，且每個分式能夠利用分母、分子互為質數的方式表示，基于此，只需證明 無法滿足有理數的條件，則可證明其是一個無理數.在解題時，假設 為有理數，則可將 可表示為 ，當 a 和 b 互為質數時，可進行平方轉換，得到 ，經去分母，則可得a2=2b² ，由此可得 a² 必然是一個偶數值，由此 α_a 為偶數，得 α=2c，c 為自然數再將其帶入到 a²=2b² 中，得 2c²=b² ，由此可知 b² 為偶數，所以其不滿足 a 和b 互為質數的條件，也就證明 為有理數的假設不成立， 應當是無理數.

5結語

綜上所述，當初中代數難題無法利用正向思維進行解答時，利用逆向思維能夠有效尋找解題的思路，通過利用逆向思維、倒推題目，可逐步推進解題.在當前中考制度改革的背景下，對學生數學邏輯和思維創新能力的考查越來越重視，由此利用逆向思維引導學生掌握題目速解方法，可有效實現教學教育目標，并提升學生的解題和學習能力.

參考文獻：

[1」林雨菲.逆向思維：開辟初中數學解題教學的另類思維[J」數理化解題研究，2024（14）：18—20.

[2]施瑞.逆向思維在初中數學解題教學中的應用思考[J]試題與研究，2024（15）：55-57.