低年級學生代數思維培養的教學實踐

代數思維被認為是數學的“核心思想”而具有較為重要的地位，是人類用于泛化算術、發現算法和屬性中的規律，并對表達式是否成立等進行定量推理的過程，是學生理解數學和現實世界的重要工具。教師要尋求算術思維和代數思維的關聯，思考將代數思維作為貫穿于所有年級課程的重要線索，打開學生抽象思維的大門。

新課標提出，要在算術教學中培養學生的代數思維。縱觀學生數學學習過程，從低年級數的表達與數的運算，到中年級的運算定律、周長與面積的字母式，再到高年級的用字母表示數，在各個階段，代數思維均有體現。教師要特別關注小學低年級學生對關系與結構的初步理解，為其代數思維的進階發展打好基礎。

一、小學低年級學生代數思維特點及其表現

“代數”從字面看有“以符號代表數”的意思。代數思維是指兒童能夠歸納概括出一般化的算式結構、變化規律和數量關系，并且能運用符號來表征和推理論證一般化的結論。在小學低年級數與運算的學習中，學生的代數思維有如下表現：

第一，對數進行不同形式的表達，靈活選擇運算策略。如學生能夠用多種不同的形式表達數字3、4、5。模式一：3、4、5；模式二： 3、3+1、3+2 模式三：4-1、4、⁴⁺¹ ；模式四： 模式一是對數的直接表達，體現學生關注每個數本身。模式二到四的表達，體現學生能夠將注意力放在數與數之間的關系上。在計算4 3+4+5³ 的過程中，具有代數思維的學生能根據對3、4、5三個數的不同表達，選用不同的計算方法，知道數的表達與運算方法之間的密切關聯，從而進行一般化的遷移。

第二，理解等號表示相等關系，運用關系解決問題。學生能夠理解‘ 不僅能表示計算結果的輸出，還能表示相等關系，這是符號化的表現。如在解決∠2+4=+5³³ 時，學生會有不同的思路。如下：

思路一：因為 2+4=6 ，所以在括號里填6。

思路二：先計算 2+4=6 ，再思考幾加5等于6，因此括號里填1。

思路三：先觀察5比4大1，括號里的數應該比2小1，括號里填1。

思路一，對等號的理解為等號輸出的是左邊算式算出的結果，這顯然是不正確的。思路二，先計算等號一側的結果，再根據此結果來計算等號另一側，使等號成立。思路三，利用等號兩邊表達式之間關系，通過比較，不計算得到結果，這體現了關系性思維，蘊含著一般化的代數思維：等式兩側的算式中，右側算式的一個加數比左側多1，另一個加數就要比左側少1。學生還發現，在加法算式中，一個加數增加幾，另一個加數就減少幾，和不變，一般化的表達方式是a+b=（a+c）+（b-c） ；在減法算式中，被減數和減數同加同減，差不變，一般化表達方式為 a-b=（a-c）-（b-c） ，以后學生還會發現積不變、商不變的規律。用字母表達的一般性規律，學生在低年級時不需要掌握，但教師可引導學生把他們的發現進行初步的概括，為后續代數思維的發展打下經驗基礎。

結合孫思雨等研究者對學生代數思維的研究，筆者就小學低年級學生代數思維表現水平進行了梳理，見表1。

表1小學低年級學生代數思維表現水平

表1依據布盧姆關于認知水平和比格斯的SOLO分類法對學生的學習過程和學習結果的劃分而制訂。該量表有利于教師依據學生當前的思維水平層次制訂有效的教學目標，并進行有針對性的設計和指導，為促進學生代數思維水平的提升提供切實可行的思路。

二、運算教學中培養低年級學生代數思維的教學策略

在一年級學習了“百以內的筆算加減法”后，即使很簡單的計算題目，大多數學生也習慣于列豎式進行計算。數位對齊、從個位算起等規則在學生頭腦中根深蒂固，學生能夠按照一定運算程序進行計算并且表現得較為熟練。當然，豎式計算為學生日后學習三位數及萬以內數的加減法奠定了一定的基礎，但如果一味地按程序進行機械計算而不去思考數與數、式與式間的聯系，必將影響學習興趣，不利于學生素養的發展。如何在教學中用有效的策略破解當前的困境，進而培養學生的代數思維，為更高學段的學習做準備？筆者結合低年級學生代數思維的特征，以及對“100以內數的認識和加減法”教學內容的分析，在單元復習課中制訂如下教學目標：

1.通過根據已有算式，寫出相關的算式，借助小棒、計數器、數字天平等進行解釋，認識算式之間的關聯，體會算式中的變與不變。

2.會計算100以內加減法，能從數數、計數單位等角度說出計算的道理。

3.引導學生用變化的眼光看待數學學習（生活），能從一個事物的多個角度進行觀察、思考和理解，發展學生的應用意識和解決問題的能力。

下面結合教學片段闡釋小學低年級復習課中學生代數思維的培養策略。

（一）設計開放性任務，引發學生的關聯性思考

要實現對算式靈活正確的計算，學生需要識別出算式的特點，并對運算或規律進行概括，運用關系結構進行思考。教師可以通過設計開放性的任務引發學生進行多樣化的表達，學生對已知算式展開相關聯想，主動思考可能與之相關的算式。

【教學片段1】

師：剛才我們用‘ 3+4=7³ 講了一些數學故事。你能想到哪些與‘ 3+4=7^? ”有關的算式？你是怎么想到這些算式的？用學具解釋你的思考。先獨立完成，再討論。

任務一：

1.寫一寫：你想到了哪些與 3+4=7 有關的算式？寫在紙條上。2.想一想：你是怎么想到這些算式的？3.說一說：借助學具進行說明。

學生做任務，教師邊巡視邊收集學生作品，組織全班交流討論。

1.由加法想到減法 -加減法互逆視角

師：剛剛老師巡視發現大多數同學都寫出了算式7-3=4 或 7-4=3 （將學生作品貼在黑板上），誰能說說你是怎么想的？

生1：因為 3+4=7 ，所以 7-3=4 比如，我有7塊糖，吃了3塊，還剩4塊，就用 7-3=4 解決。

師：從加法算式想到相應的減法算式，說明大家知道加法和減法是有聯系的。

2.和不變—變化與守恒視角

師：還有同學根據算式 3+4=7 想到了 2+5=7 。你們能用小棒、計數器、數字天平等解釋算式 463+4=73 與 2+5=7^，， 的聯系嗎？

生2：我想借助小棒來說明 3+4=7 與 2+5=7 的聯系。我先擺出3根小棒，再擺出4根小棒，一共就是7根小棒。把3+4中3根中的1根拿到4根這邊，3變為2，4變為5，總數還是7根小棒，此時算式為2+5=7 。

生3：我用數字天平表達兩個算式的關系。先把3+4=7 在數字天平上表示出來，在保持天平右邊的重力卡7不變的情況下，左邊調整為2和5，天平仍然平衡，說明 3+4=2+5=7 。

師：剛才這兩位同學分別用小棒和數字天平呈現了思考過程，從 3+4=7 到 2+5=7 ，什么變了？什么沒變呢？

生4：兩個算式中加數都變了，但和是沒變的。

師：這兩個加數又是怎樣變化的呢？

生5：一個加數變小了1，另一個加數變大了1，和不變。

師：按照這個思路，你們還能寫出更多“和是7”的加法算式嗎？

生6：在數字天平中，和不變就要使得天平右側的7不動，通過改變左邊兩個重力卡的位置保持平衡，還能得出算式 1+6=7 。

生7：我從‘ 3+4=7³ 與“ 1+6=7³ 這兩個算式的關系想，3減少2等于1，4增加2變為6，因此 1+6 與3+4 的和是一樣的。

師：你們真會思考，能借助學具用變與不變的眼光思考算式間的聯系，真了不起！

3.和改變—變化與對應視角

師：有同學根據 443+4=73 寫出了 2+4=6³ ，這是怎么想的？能借助天平說說 ?（-2+4^，3 與 …3+4^，9 的聯系嗎？

生1：2+4為什么等于6呢？除了我們可以直接從4后面繼續數2得到6，還可以這樣想：因為2比3小1，而4沒有變，所以 2+4 要比3+4的結果小1。要保持天平平衡，右邊的重力卡應從7的位置掛到6的位置。

生2：計數器也能幫我把這兩個算式間的關系表示出來。我們一起來看圖1，我在一個計數器上撥出算式 3+4 ，在另一個計數器上撥出 2+4 。我們一下子就能看出， 2+4 比 3+4 少1，比7少1就是 2+4 的結果，所以 2+4=6

圖1

師：剛才我們發現了 2+4 與 3+4 的關系。還有同學寫出了算式 4+4=8 、 5+4=9 、 6+4=10… 你知道他們是怎么想的嗎？

生3：一個加數不變，另一個加數增加1，和也增加1。

生4：一個加數不變，另一個加數增加或減少幾，和也增加或減少幾。

師：有了這樣的發現，相信大家還能想出更多與號 3+4=7^? ’有關的算式。

學生聚焦學習任務，根據數及運算意義的理解思考與算式‘ 3+4=7³ 有關的一系列算式。學生在使用學具操作并進行說明的過程中，理解算式之間的變與不變，鍛煉了語言表達能力，為將規律進行一般化的表達奠定了基礎。

（二）設置解釋性問題，鍛煉學生概括性表達能力

研究者認為，在代數思維培養過程中，應重視“解釋性提問”，即對“為什么…”“為什么…是合理的”“為什么是真的”等的提問。使用解釋性提問不僅可以促使學生回憶信息，而且可以促使他們綜合、闡述、生成、假設和解釋信息。從理論上來說，這種提問方式是讓學生主動參與學習過程的一種方法。教學中，通過設置“低門檻、大空間、多層次的解釋性問題串”，引導學生解釋與 ?3+4=7³ 存在關聯的算式的緣由，進行初級的“一般化”概括，由一個算式想到幾個算式，由一類算式想到幾類算式。圍繞算式間內在聯系的討論，拓展學生對算式結構、變化規律和數量關系的認識。

【教學片段2】

師：為什么 13+4=17 、 13+14=27 也與 3+4=7 有關系呢？

生1：還是通過剛才的方法， ¹³⁺⁴ 與 3+4=7 比較，加數4沒變，13比3多10，所以 ¹³⁺⁴ 的結果也比 3+4 大10，所以 13+4=17 。

生2： 13+14=27 是在 3+4=7 的基礎上增加了20，所以結果為27。

生3：其實 ¹³⁺⁴ 與 13+14 也有聯系，這兩個算式中，13不變，4變為14，所以 13+14 的結果要比¹³⁺⁴ 的結果大10。

師：如果已知算式 23+14=37 ，那 等于多少呢？

生5：我發現這兩個算式中，23是不變的，但14變為18，增加了4，我覺得37加4才是 的計算結果， 23+18=41 。

生6：我知道 23+14=37 ，那么 23+14+3=37+3= 40，所以 $2 3 + 1 8 = 2 3 + 1 7 + 1 = 4 0 + 1 = 4 1 。$ 0

師：你們可真會思考，能夠用變與不變的眼光，通過算式間的關聯解決問題，真了不起。大家還有沒有別的方法得出 23+18 的結果呢？

生7：直接用豎式計算也能得出 23+18=41 。

師：我們能從不同的角度進行思考解決問題，思路變得越來越開闊。那算式 30+40=70 、 300+400=700 真的也與 3+4=7 有聯系嗎？

生8：3表示3個一，4表示4個一，合起來就是7個一。30表示3個十，40表示4個十，合起來就是7個十，就是70。300表示3個百，400表示4個百，合起來就是7個百，就是700。

生9：對比三個算式，我發現，三個算式在計算時都用到了 3+4=7 ，也就是計數單位的個數沒變，都是7個，但是計數單位由幾個一變成了幾個十、幾個百，所以 30+40=70 ！ 300+400=700 。

師：你們能從數的組成和計數單位的角度去思考，用舊知解決新問題，這就是遷移，是學好數學的重要方法。

師：按照剛才思考問題的方法，由 so7-4=3^，， 你們還能想出哪些算式？

生10： 70-40=30 ！ 700-400=300 ， 7000-4000= 3000……

教師將代數思維的培養作為一個重要的目標展開教學，引導學生從一個算式想到與其相關的一系列算式。學生在從算式間關聯的角度思考結果的同時，用熟悉的豎式方法計算對比驗證計算結果，不僅學會了計算的方法，還積累了思考問題的經驗，逐步體會到關聯性思維的重要性。

三、低年級學生代數思維培養的實踐效果

本節課通過開放性的表現性任務，以及低門檻、大空間、多層次的解釋性問題串，為學生代數思維的發展打開一扇窗。實施的效果如何？筆者課后對班級40名學生進行調研，學生作答情況見表2。

通過調研發現，約 80% 的學生在解決問題時能夠自覺運用代數思維進行思考，速度快，結果準，思維活；部分學生仍喜歡用程序性算術思維解決問題也是可以理解的，畢竟代數思維的培養需要一個漫長的過程。

在低年級培養學生的代數思維是對其知識結構的一種鏈接與完善、拓展與發散。教師需要認識到的是，當把數學學習看作過程和結果相互聯系的邏輯結構，而不是僅僅傳授標準計算程序來進行教學的時候，學生自然就知道解題過程具有靈活性和選擇性，便會自主地選擇合適的解題策略，這對培養和發展學生的數學思維意義重大。

表2百以內加法和減法復習課答題分析

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]孫思雨，許添舒，孔企平．基于潛在類別分析的小學生早期代數思維水平研究[J].數學教育學報，2022（1）.

[3]章勤瓊，麥克斯·斯蒂芬斯.小學階段“早期代數思維”的內涵及教學：墨爾本大學教授麥克斯·斯蒂芬斯訪談錄[J].小學教學（數學版），2016（11）.

注：本文系北京教育學院2024年度院級一般課題“指向學習目標的小學數學學習活動設計與評價研究（課題編號：YB2024-01）”的階段性研究成果。