低年級(jí)學(xué)生代數(shù)思維培養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐

代數(shù)思維被認(rèn)為是數(shù)學(xué)的“核心思想”而具有較為重要的地位，是人類用于泛化算術(shù)、發(fā)現(xiàn)算法和屬性中的規(guī)律，并對(duì)表達(dá)式是否成立等進(jìn)行定量推理的過(guò)程，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界的重要工具。教師要尋求算術(shù)思維和代數(shù)思維的關(guān)聯(lián)，思考將代數(shù)思維作為貫穿于所有年級(jí)課程的重要線索，打開(kāi)學(xué)生抽象思維的大門(mén)。

新課標(biāo)提出，要在算術(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。縱觀學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，從低年級(jí)數(shù)的表達(dá)與數(shù)的運(yùn)算，到中年級(jí)的運(yùn)算定律、周長(zhǎng)與面積的字母式，再到高年級(jí)的用字母表示數(shù)，在各個(gè)階段，代數(shù)思維均有體現(xiàn)。教師要特別關(guān)注小學(xué)低年級(jí)學(xué)生對(duì)關(guān)系與結(jié)構(gòu)的初步理解，為其代數(shù)思維的進(jìn)階發(fā)展打好基礎(chǔ)。

一、小學(xué)低年級(jí)學(xué)生代數(shù)思維特點(diǎn)及其表現(xiàn)

“代數(shù)”從字面看有“以符號(hào)代表數(shù)”的意思。代數(shù)思維是指兒童能夠歸納概括出一般化的算式結(jié)構(gòu)、變化規(guī)律和數(shù)量關(guān)系，并且能運(yùn)用符號(hào)來(lái)表征和推理論證一般化的結(jié)論。在小學(xué)低年級(jí)數(shù)與運(yùn)算的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的代數(shù)思維有如下表現(xiàn)：

第一，對(duì)數(shù)進(jìn)行不同形式的表達(dá)，靈活選擇運(yùn)算策略。如學(xué)生能夠用多種不同的形式表達(dá)數(shù)字3、4、5。模式一：3、4、5；模式二： 3、3+1、3+2 模式三：4-1、4、⁴⁺¹ ；模式四： 模式一是對(duì)數(shù)的直接表達(dá)，體現(xiàn)學(xué)生關(guān)注每個(gè)數(shù)本身。模式二到四的表達(dá)，體現(xiàn)學(xué)生能夠?qū)⒆⒁饬Ψ旁跀?shù)與數(shù)之間的關(guān)系上。在計(jì)算4 3+4+5³ 的過(guò)程中，具有代數(shù)思維的學(xué)生能根據(jù)對(duì)3、4、5三個(gè)數(shù)的不同表達(dá)，選用不同的計(jì)算方法，知道數(shù)的表達(dá)與運(yùn)算方法之間的密切關(guān)聯(lián)，從而進(jìn)行一般化的遷移。

第二，理解等號(hào)表示相等關(guān)系，運(yùn)用關(guān)系解決問(wèn)題。學(xué)生能夠理解‘ 不僅能表示計(jì)算結(jié)果的輸出，還能表示相等關(guān)系，這是符號(hào)化的表現(xiàn)。如在解決∠2+4=+5³³ 時(shí)，學(xué)生會(huì)有不同的思路。如下：

思路一：因?yàn)?2+4=6 ，所以在括號(hào)里填6。

思路二：先計(jì)算 2+4=6 ，再思考幾加5等于6，因此括號(hào)里填1。

思路三：先觀察5比4大1，括號(hào)里的數(shù)應(yīng)該比2小1，括號(hào)里填1。

思路一，對(duì)等號(hào)的理解為等號(hào)輸出的是左邊算式算出的結(jié)果，這顯然是不正確的。思路二，先計(jì)算等號(hào)一側(cè)的結(jié)果，再根據(jù)此結(jié)果來(lái)計(jì)算等號(hào)另一側(cè)，使等號(hào)成立。思路三，利用等號(hào)兩邊表達(dá)式之間關(guān)系，通過(guò)比較，不計(jì)算得到結(jié)果，這體現(xiàn)了關(guān)系性思維，蘊(yùn)含著一般化的代數(shù)思維：等式兩側(cè)的算式中，右側(cè)算式的一個(gè)加數(shù)比左側(cè)多1，另一個(gè)加數(shù)就要比左側(cè)少1。學(xué)生還發(fā)現(xiàn)，在加法算式中，一個(gè)加數(shù)增加幾，另一個(gè)加數(shù)就減少幾，和不變，一般化的表達(dá)方式是a+b=（a+c）+（b-c） ；在減法算式中，被減數(shù)和減數(shù)同加同減，差不變，一般化表達(dá)方式為 a-b=（a-c）-（b-c） ，以后學(xué)生還會(huì)發(fā)現(xiàn)積不變、商不變的規(guī)律。用字母表達(dá)的一般性規(guī)律，學(xué)生在低年級(jí)時(shí)不需要掌握，但教師可引導(dǎo)學(xué)生把他們的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行初步的概括，為后續(xù)代數(shù)思維的發(fā)展打下經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

結(jié)合孫思雨等研究者對(duì)學(xué)生代數(shù)思維的研究，筆者就小學(xué)低年級(jí)學(xué)生代數(shù)思維表現(xiàn)水平進(jìn)行了梳理，見(jiàn)表1。

表1小學(xué)低年級(jí)學(xué)生代數(shù)思維表現(xiàn)水平

表1依據(jù)布盧姆關(guān)于認(rèn)知水平和比格斯的SOLO分類法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程和學(xué)習(xí)結(jié)果的劃分而制訂。該量表有利于教師依據(jù)學(xué)生當(dāng)前的思維水平層次制訂有效的教學(xué)目標(biāo)，并進(jìn)行有針對(duì)性的設(shè)計(jì)和指導(dǎo)，為促進(jìn)學(xué)生代數(shù)思維水平的提升提供切實(shí)可行的思路。

二、運(yùn)算教學(xué)中培養(yǎng)低年級(jí)學(xué)生代數(shù)思維的教學(xué)策略

在一年級(jí)學(xué)習(xí)了“百以內(nèi)的筆算加減法”后，即使很簡(jiǎn)單的計(jì)算題目，大多數(shù)學(xué)生也習(xí)慣于列豎式進(jìn)行計(jì)算。數(shù)位對(duì)齊、從個(gè)位算起等規(guī)則在學(xué)生頭腦中根深蒂固，學(xué)生能夠按照一定運(yùn)算程序進(jìn)行計(jì)算并且表現(xiàn)得較為熟練。當(dāng)然，豎式計(jì)算為學(xué)生日后學(xué)習(xí)三位數(shù)及萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的加減法奠定了一定的基礎(chǔ)，但如果一味地按程序進(jìn)行機(jī)械計(jì)算而不去思考數(shù)與數(shù)、式與式間的聯(lián)系，必將影響學(xué)習(xí)興趣，不利于學(xué)生素養(yǎng)的發(fā)展。如何在教學(xué)中用有效的策略破解當(dāng)前的困境，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，為更高學(xué)段的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備？筆者結(jié)合低年級(jí)學(xué)生代數(shù)思維的特征，以及對(duì)“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)和加減法”教學(xué)內(nèi)容的分析，在單元復(fù)習(xí)課中制訂如下教學(xué)目標(biāo)：

1.通過(guò)根據(jù)已有算式，寫(xiě)出相關(guān)的算式，借助小棒、計(jì)數(shù)器、數(shù)字天平等進(jìn)行解釋，認(rèn)識(shí)算式之間的關(guān)聯(lián)，體會(huì)算式中的變與不變。

2.會(huì)計(jì)算100以內(nèi)加減法，能從數(shù)數(shù)、計(jì)數(shù)單位等角度說(shuō)出計(jì)算的道理。

3.引導(dǎo)學(xué)生用變化的眼光看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（生活），能從一個(gè)事物的多個(gè)角度進(jìn)行觀察、思考和理解，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和解決問(wèn)題的能力。

下面結(jié)合教學(xué)片段闡釋小學(xué)低年級(jí)復(fù)習(xí)課中學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)策略。

（一）設(shè)計(jì)開(kāi)放性任務(wù)，引發(fā)學(xué)生的關(guān)聯(lián)性思考

要實(shí)現(xiàn)對(duì)算式靈活正確的計(jì)算，學(xué)生需要識(shí)別出算式的特點(diǎn)，并對(duì)運(yùn)算或規(guī)律進(jìn)行概括，運(yùn)用關(guān)系結(jié)構(gòu)進(jìn)行思考。教師可以通過(guò)設(shè)計(jì)開(kāi)放性的任務(wù)引發(fā)學(xué)生進(jìn)行多樣化的表達(dá)，學(xué)生對(duì)已知算式展開(kāi)相關(guān)聯(lián)想，主動(dòng)思考可能與之相關(guān)的算式。

【教學(xué)片段1】

師：剛才我們用‘ 3+4=7³ 講了一些數(shù)學(xué)故事。你能想到哪些與‘ 3+4=7^? ”有關(guān)的算式？你是怎么想到這些算式的？用學(xué)具解釋你的思考。先獨(dú)立完成，再討論。

任務(wù)一：

1.寫(xiě)一寫(xiě)：你想到了哪些與 3+4=7 有關(guān)的算式？寫(xiě)在紙條上。2.想一想：你是怎么想到這些算式的？3.說(shuō)一說(shuō)：借助學(xué)具進(jìn)行說(shuō)明。

學(xué)生做任務(wù)，教師邊巡視邊收集學(xué)生作品，組織全班交流討論。

1.由加法想到減法 -加減法互逆視角

師：剛剛老師巡視發(fā)現(xiàn)大多數(shù)同學(xué)都寫(xiě)出了算式7-3=4 或 7-4=3 （將學(xué)生作品貼在黑板上），誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)你是怎么想的？

生1：因?yàn)?3+4=7 ，所以 7-3=4 比如，我有7塊糖，吃了3塊，還剩4塊，就用 7-3=4 解決。

師：從加法算式想到相應(yīng)的減法算式，說(shuō)明大家知道加法和減法是有聯(lián)系的。

2.和不變—變化與守恒視角

師：還有同學(xué)根據(jù)算式 3+4=7 想到了 2+5=7 。你們能用小棒、計(jì)數(shù)器、數(shù)字天平等解釋算式 463+4=73 與 2+5=7^，， 的聯(lián)系嗎？

生2：我想借助小棒來(lái)說(shuō)明 3+4=7 與 2+5=7 的聯(lián)系。我先擺出3根小棒，再擺出4根小棒，一共就是7根小棒。把3+4中3根中的1根拿到4根這邊，3變?yōu)?，4變?yōu)?，總數(shù)還是7根小棒，此時(shí)算式為2+5=7 。

生3：我用數(shù)字天平表達(dá)兩個(gè)算式的關(guān)系。先把3+4=7 在數(shù)字天平上表示出來(lái)，在保持天平右邊的重力卡7不變的情況下，左邊調(diào)整為2和5，天平仍然平衡，說(shuō)明 3+4=2+5=7 。

師：剛才這兩位同學(xué)分別用小棒和數(shù)字天平呈現(xiàn)了思考過(guò)程，從 3+4=7 到 2+5=7 ，什么變了？什么沒(méi)變呢？

生4：兩個(gè)算式中加數(shù)都變了，但和是沒(méi)變的。

師：這兩個(gè)加數(shù)又是怎樣變化的呢？

生5：一個(gè)加數(shù)變小了1，另一個(gè)加數(shù)變大了1，和不變。

師：按照這個(gè)思路，你們還能寫(xiě)出更多“和是7”的加法算式嗎？

生6：在數(shù)字天平中，和不變就要使得天平右側(cè)的7不動(dòng)，通過(guò)改變左邊兩個(gè)重力卡的位置保持平衡，還能得出算式 1+6=7 。

生7：我從‘ 3+4=7³ 與“ 1+6=7³ 這兩個(gè)算式的關(guān)系想，3減少2等于1，4增加2變?yōu)?，因此 1+6 與3+4 的和是一樣的。

師：你們真會(huì)思考，能借助學(xué)具用變與不變的眼光思考算式間的聯(lián)系，真了不起！

3.和改變—變化與對(duì)應(yīng)視角

師：有同學(xué)根據(jù) 443+4=73 寫(xiě)出了 2+4=6³ ，這是怎么想的？能借助天平說(shuō)說(shuō) ?（-2+4^，3 與 …3+4^，9 的聯(lián)系嗎？

生1：2+4為什么等于6呢？除了我們可以直接從4后面繼續(xù)數(shù)2得到6，還可以這樣想：因?yàn)?比3小1，而4沒(méi)有變，所以 2+4 要比3+4的結(jié)果小1。要保持天平平衡，右邊的重力卡應(yīng)從7的位置掛到6的位置。

生2：計(jì)數(shù)器也能幫我把這兩個(gè)算式間的關(guān)系表示出來(lái)。我們一起來(lái)看圖1，我在一個(gè)計(jì)數(shù)器上撥出算式 3+4 ，在另一個(gè)計(jì)數(shù)器上撥出 2+4 。我們一下子就能看出， 2+4 比 3+4 少1，比7少1就是 2+4 的結(jié)果，所以 2+4=6

圖1

師：剛才我們發(fā)現(xiàn)了 2+4 與 3+4 的關(guān)系。還有同學(xué)寫(xiě)出了算式 4+4=8 、 5+4=9 、 6+4=10… 你知道他們是怎么想的嗎？

生3：一個(gè)加數(shù)不變，另一個(gè)加數(shù)增加1，和也增加1。

生4：一個(gè)加數(shù)不變，另一個(gè)加數(shù)增加或減少幾，和也增加或減少幾。

師：有了這樣的發(fā)現(xiàn)，相信大家還能想出更多與號(hào) 3+4=7^? ’有關(guān)的算式。

學(xué)生聚焦學(xué)習(xí)任務(wù)，根據(jù)數(shù)及運(yùn)算意義的理解思考與算式‘ 3+4=7³ 有關(guān)的一系列算式。學(xué)生在使用學(xué)具操作并進(jìn)行說(shuō)明的過(guò)程中，理解算式之間的變與不變，鍛煉了語(yǔ)言表達(dá)能力，為將規(guī)律進(jìn)行一般化的表達(dá)奠定了基礎(chǔ)。

（二）設(shè)置解釋性問(wèn)題，鍛煉學(xué)生概括性表達(dá)能力

研究者認(rèn)為，在代數(shù)思維培養(yǎng)過(guò)程中，應(yīng)重視“解釋性提問(wèn)”，即對(duì)“為什么…”“為什么…是合理的”“為什么是真的”等的提問(wèn)。使用解釋性提問(wèn)不僅可以促使學(xué)生回憶信息，而且可以促使他們綜合、闡述、生成、假設(shè)和解釋信息。從理論上來(lái)說(shuō)，這種提問(wèn)方式是讓學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)過(guò)程的一種方法。教學(xué)中，通過(guò)設(shè)置“低門(mén)檻、大空間、多層次的解釋性問(wèn)題串”，引導(dǎo)學(xué)生解釋與 ?3+4=7³ 存在關(guān)聯(lián)的算式的緣由，進(jìn)行初級(jí)的“一般化”概括，由一個(gè)算式想到幾個(gè)算式，由一類算式想到幾類算式。圍繞算式間內(nèi)在聯(lián)系的討論，拓展學(xué)生對(duì)算式結(jié)構(gòu)、變化規(guī)律和數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

【教學(xué)片段2】

師：為什么 13+4=17 、 13+14=27 也與 3+4=7 有關(guān)系呢？

生1：還是通過(guò)剛才的方法， ¹³⁺⁴ 與 3+4=7 比較，加數(shù)4沒(méi)變，13比3多10，所以 ¹³⁺⁴ 的結(jié)果也比 3+4 大10，所以 13+4=17 。

生2： 13+14=27 是在 3+4=7 的基礎(chǔ)上增加了20，所以結(jié)果為27。

生3：其實(shí) ¹³⁺⁴ 與 13+14 也有聯(lián)系，這兩個(gè)算式中，13不變，4變?yōu)?4，所以 13+14 的結(jié)果要比¹³⁺⁴ 的結(jié)果大10。

師：如果已知算式 23+14=37 ，那 等于多少呢？

生5：我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)算式中，23是不變的，但14變?yōu)?8，增加了4，我覺(jué)得37加4才是 的計(jì)算結(jié)果， 23+18=41 。

生6：我知道 23+14=37 ，那么 23+14+3=37+3= 40，所以 $2 3 + 1 8 = 2 3 + 1 7 + 1 = 4 0 + 1 = 4 1 。$ 0

師：你們可真會(huì)思考，能夠用變與不變的眼光，通過(guò)算式間的關(guān)聯(lián)解決問(wèn)題，真了不起。大家還有沒(méi)有別的方法得出 23+18 的結(jié)果呢？

生7：直接用豎式計(jì)算也能得出 23+18=41 。

師：我們能從不同的角度進(jìn)行思考解決問(wèn)題，思路變得越來(lái)越開(kāi)闊。那算式 30+40=70 、 300+400=700 真的也與 3+4=7 有聯(lián)系嗎？

生8：3表示3個(gè)一，4表示4個(gè)一，合起來(lái)就是7個(gè)一。30表示3個(gè)十，40表示4個(gè)十，合起來(lái)就是7個(gè)十，就是70。300表示3個(gè)百，400表示4個(gè)百，合起來(lái)就是7個(gè)百，就是700。

生9：對(duì)比三個(gè)算式，我發(fā)現(xiàn)，三個(gè)算式在計(jì)算時(shí)都用到了 3+4=7 ，也就是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)沒(méi)變，都是7個(gè)，但是計(jì)數(shù)單位由幾個(gè)一變成了幾個(gè)十、幾個(gè)百，所以 30+40=70 ！ 300+400=700 。

師：你們能從數(shù)的組成和計(jì)數(shù)單位的角度去思考，用舊知解決新問(wèn)題，這就是遷移，是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要方法。

師：按照剛才思考問(wèn)題的方法，由 so7-4=3^，， 你們還能想出哪些算式？

生10： 70-40=30 ！ 700-400=300 ， 7000-4000= 3000……

教師將代數(shù)思維的培養(yǎng)作為一個(gè)重要的目標(biāo)展開(kāi)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從一個(gè)算式想到與其相關(guān)的一系列算式。學(xué)生在從算式間關(guān)聯(lián)的角度思考結(jié)果的同時(shí)，用熟悉的豎式方法計(jì)算對(duì)比驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果，不僅學(xué)會(huì)了計(jì)算的方法，還積累了思考問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，逐步體會(huì)到關(guān)聯(lián)性思維的重要性。

三、低年級(jí)學(xué)生代數(shù)思維培養(yǎng)的實(shí)踐效果

本節(jié)課通過(guò)開(kāi)放性的表現(xiàn)性任務(wù)，以及低門(mén)檻、大空間、多層次的解釋性問(wèn)題串，為學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展打開(kāi)一扇窗。實(shí)施的效果如何？筆者課后對(duì)班級(jí)40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，學(xué)生作答情況見(jiàn)表2。

通過(guò)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，約 80% 的學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)能夠自覺(jué)運(yùn)用代數(shù)思維進(jìn)行思考，速度快，結(jié)果準(zhǔn)，思維活；部分學(xué)生仍喜歡用程序性算術(shù)思維解決問(wèn)題也是可以理解的，畢竟代數(shù)思維的培養(yǎng)需要一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程。

在低年級(jí)培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維是對(duì)其知識(shí)結(jié)構(gòu)的一種鏈接與完善、拓展與發(fā)散。教師需要認(rèn)識(shí)到的是，當(dāng)把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看作過(guò)程和結(jié)果相互聯(lián)系的邏輯結(jié)構(gòu)，而不是僅僅傳授標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算程序來(lái)進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候，學(xué)生自然就知道解題過(guò)程具有靈活性和選擇性，便會(huì)自主地選擇合適的解題策略，這對(duì)培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意義重大。

表2百以內(nèi)加法和減法復(fù)習(xí)課答題分析

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]孫思雨，許添舒，孔企平．基于潛在類別分析的小學(xué)生早期代數(shù)思維水平研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022（1）.

[3]章勤瓊，麥克斯·斯蒂芬斯.小學(xué)階段“早期代數(shù)思維”的內(nèi)涵及教學(xué)：墨爾本大學(xué)教授麥克斯·斯蒂芬斯訪談錄[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2016（11）.

注：本文系北京教育學(xué)院2024年度院級(jí)一般課題“指向?qū)W習(xí)目標(biāo)的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)與評(píng)價(jià)研究（課題編號(hào)：YB2024-01）”的階段性研究成果。