方法建模示例探究，解題應用教學指導

二次函數與等腰三角形相結合的探究題常作為中考壓軸題出現，此類問題將函數與幾何相結合，考查學生的知識整合能力與邏輯推理能力.教學中，教師應指導學生進行知識梳理，整合解法，結合實例掌握解題思路.

方法探究

以二次函數為背景的等腰三角形探究題，將函數與幾何相結合，具有“數”與“形”的雙重特性.解析時，學生可采用數形結合思想，根據具體圖形分析幾何特性，通過函數運算精準定位.教學中，教師應關注兩點：一是等腰三角形構造的一般思路；二是等腰三角形解析的常見方法．

1.構造思路

對于二次函數背景下的等腰三角形問題，解題關鍵在于構造等腰三角形.常見情形：在平面直角坐標系中，已知一條線段，需要構造等腰三角形.解題思路：利用“兩圓一線”作圖法，分別以線段的兩個端點為圓心，線段長為半徑作圓，再作線段的垂直平分線，利用其特性構建等腰三角形.

2.解析方法

二次函數背景下的等腰三角形存在性問題，具有鮮明的探究屬性，此類問題常與動點相結合，綜合考查學生的知識整合能力、分析推理能力.常見解析方法有兩種：一是代數法，側重于利用點坐標來分析推導；二是幾何法，側重于探索其中的幾何性質.

學生可通過梳理代數法和幾何法的構建思路，形成解題策略.下面，筆者以探索平面直角坐標系中的等腰△ABC為例，演示構建過程.

（1）代數法

第一步，設定未知數，表示點A，B， c 三個頂點的坐標；

第二步，利用兩點間的距離公式，分別表示線段 AB ，BC和AC的長度；

第三步，結合等腰三角形的特性要求，分別討論三種情形： AB= BC， BC=CA ， AB=AC

（2）幾何法

第一步，設定未知數，表示點A， B ， c 三個頂點的坐標；

第二步，利用等腰三角形、全等三角形和相似三角形的性質，以及三角函數來表示線段 AB ，BC和AC的長度；

第三步，結合等腰三角形的特性要求，分別討論三種情形： AB= BC， BC=CA ， AB=AC

模型示例

二次函數背景下的等腰三角形問題，可以從幾何、代數兩大視角出發，分別構建解題思路，上述解析方法演示了兩種解法的構建過程.教學中，教師可結合坐標系建構模型，引導學生感受解題過程，掌握解題策略.

1.題目呈現

在圖1所示的平面直角坐標系中，存在點A（1，1），點B（4，3），若 x 軸上存在能使△ABC為等腰三角形的點C，試求點 C 的坐標.

方法1 幾何法 “兩圓一線”定位

應用幾何法分析等腰三角形頂點 C 的坐標，教師應注重作圖定位的思路講解，利用“兩圓一線”來推理點 c 的位置.

第一階段—作圖定位，如圖2所示

（1）以點A為圓心， AB 為半徑作圓，與 x 軸的交點即為滿足條件的點 C ，此時有 AB=AC

（2）以點 B 為圓心， AB 為半 徑，與 x 軸的交點即為滿足條件的 點 c ，此時有 BA=BC

（3）作 AB 的垂直平分線，與 x 軸的交點即為滿足條件的點 c ，此 時有 CA=CB

第二階段一一點位計算，構建模型

在此階段，教師應引導學生結合圖形，構建模型分別計算滿足條件的點坐標.通常借助勾股定理或三角函數來解題.

方法2代數法—線段長推導

對于 C₅ ，學生可采用代數法來推理計算，把握垂直平分線條件，首先利用其性質推導出等線段關系，然后利用兩點之間的距離公式構建方程解題.如圖4所示，可分四步進行思路構建，教師應注意每一步驟核心內容的歸納.

第一步，表示關鍵點，設點 C₅ 的坐標為 （m， 0） ，又A點坐標（1，1），B 點坐標（4，3）；

第二步，表示線段，則

（2號第三步，建立方程，根據 AC₅= BC₅ 可得 （204號第四步，解方程，可得 ，由此可推導得出點 C₅ 的坐標為

2.復盤總結

對于二次函數背景下的等腰三角形問題，關鍵是討論等腰三角形的個數，學生可采用分類討論策略，結合“兩圓一線”作圖法來確定點的位置.

過點 A 作 x 軸的垂線，設垂足為 點 H ，如圖3所示，則 AH=1. 可求 得 ，而 C₁H= ，從而可求得 （204號 同理可求出點 C₃ ， C₄ 的坐標.

后續則根據具體的等腰情形，從“代數”與“幾何”兩大視角出發進行分析推理.教師可用PPT展示思維導圖（圖5），指導學生梳理總結解題策略.

因此類問題常與動點相結合，教師可以分情形展開剖析，重點關注三種動點情形.

情形1兩定一動，此時動點可能在直線上，也可能在拋物線上，需要綜合分析；

情形2一定兩動，則兩動點之間必然存在某種關聯，此時可設點坐標參數，推導線段長，分析線段之間存在的關聯；

情形3三動點，此種情形一般存在特殊角或特殊邊，可以此為突破口.

解題指導

教學中建議結合實例進行解題思路指導，使學生深刻理解并掌握解題策略，以便在今后的學習中加以靈活運用.

1.問題呈現

例題：如圖6所示，拋物線 y= 與 x 軸交于點 A（-1，0） ，B （4，0），與 y 軸交于點 C. 連接 AC BC ，點 P 在拋物線上運動.

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖6（1）所示，若點 P 在

第四象限，點 Q 在 PA 的延長線上，當

∠CAQ=∠CBA+45^° 時，求點P的坐標；（3）如圖6（2）所示，若點 P 在

第一象限，直線 AP 交BC于點 F ，過點 P 作 x 軸的垂線交BC于點 H ，當△PFH為等腰三角形時，求線段 PH 的長.

2.思路分析

本題為二次函數與幾何相結合的綜合題，涉及動點、角度關系、等腰三角形存在性等內容，考慮采用數形結合策略來解題.需注意解析題目中蘊含的幾何關系，利用點坐標推導線段長，再結合幾何特性來推理解題.

第（1）問為基礎問題，根據待定系數法求解即可；

第（2）問則需解析角度關系，首先結合點 c 的坐標，利用勾股定理逆定理推導出 ∠ACB=90^° ，進而有 ∠ACO=∠CBA. 接著在 σ_X 軸上取點E （2，0），連接 CE ，易得 ΔOCE 為等腰直角三角形，則 ∠OCE=45^° ，進一步可推導出 ∠ACE=∠CAQ ，由∠ACE=∠CAQ 可推導出 CE//PQ. 緊接著，求出直線 CE 和 PQ 的解析式，最后聯立直線與拋物線的方程，求得交點 P 的坐標.

第（3）問是關于二次函數背景下的等腰三角形問題，題目并未設定等腰三角形的腰，故需分三種情形進行討論，并結合等腰三角形的“等腰”特性來構建關于線段長的方程，進而求出點 P 和點 H 的坐標，方可求出線段 PH 的長.

3.過程構建

（1）拋物線的解析式是 y=

（2）根據上述分析思路，可得 直線 PQ 的解析式為 y=-x-1 ，與 拋物線的解析式聯立，則有 從而解得

x=-1， x=6， 或 點 P 在第四

y=0， y=-7，

象限，則坐標為（6，-7）.

（3）綜合運用數形結合、分類討論和方程思想，指導學生掌握此問的構建過程.

設直線 AP 與 y 軸交于點 G ，如圖7所示，因為 PH//y 軸，可得∠PHC=∠OCB ， ∠FPH=∠CGF. 如果 ΔPFH 為等腰三角形，則 ΔCFG 也為等腰三角形.

由 c （0，2）， B （4，0）可得直線 BC 的解析式為 ，由A （ε-1，ε0） ，可得直線 AF 的解析式為 y=mx+m

通過聯立直線 BC 和 AF 的方程，可得點 F 的坐標為 從而可得 CG²=（2-m）² 根據分析可知，當 ΔCFG 為等腰三角形時，可確保△PFH也為等腰三角形.下面，分三種情形進行討論.情形 ① ：當 CG=CF 時，則 可得 （舍去負值），此時可確定直線 AF 的解析式，將其與拋物線解析式聯立，可得點 P 的坐 此時點 H 的坐標為5-√5， 則

情形 ② ：當 FG=FC 時，則 可得 （舍去不符合的值），參考情形① ，可得 情形 ③ ：當 GF=GC 時，則 可得 （舍去不符合條件的值后），同理，可得 （20號綜上可知，當△PFH為等腰三角形時，滿足條件的線段 PH 值有3個，分別為 ， 和 （204

4.復盤總結

上述第（3）問為核心之問，是關于二次函數背景下的等腰三角形探究.解析過程的特殊之處在于構建4 ΔCFG 與 ΔPFH 之間的關系”，從而將問題轉化為分析 ΔCFG 為等腰三角形.后續則綜合代數法與幾何法，利用等線段關系來構建方程、求解參數、推出直線方程.教學中，教師應注意引導學生掌握數形結合的分析方法，把握二次函數的圖象性質，靈活運用分析策略來定位、求出點坐標.

結語

二次函數背景下的等腰三角形問題，融合了幾何、函數、方程等內容，問題形式多變，作為壓軸題在中考中出現，確實能夠全面考查學生的能力.教學中，教師應注意方法講解，構建示例模型，便于學生理解解題策略.實例講解時，教師應注意思路分析與引導，合理設問啟發學生思考，讓學生充分體會問題轉化、思路構建的過程.