科學全面分類有序正確高效開展初中數學探究

《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求：“經歷現實情境數學化，探索數學關系、性質與規律的過程.提出分析問題、解決問題的思路，設計解決問題的方案，為學生充分的實踐探究留出時空.\"這體現了新的理念和新的要求.現行數學教材增加了“探究活動”這一學習專欄，要求學生在學習過程中開展自主探究實踐.學生在數學自主探究過程中往往會出現無從下手的情況，或者在探究過程中顧此失彼，不能做到全面有效的探究.如何指導學生進行有序、正確、高效的探究？老師是學生學習活動的組織者、引導者，首先要對數學實踐有一個探究.爭取探究水平有較大的提高，否則難以適應新形勢下的教學要求，培養學生自主探究能力就會成為一句空話.

自主探究的數學實踐活動豐富多彩、紛繁復雜，開展這類數學問題探究活動前要先進行科學全面的分類.只有在科學全面分類上下功夫，明確探究的方向，理清探究的思路，才能做到有序、正確、高效探究.本文中借以下例題談談如何實現科學全面分類，有序、正確、高效地開展初中數學探究.

例1正方形ABCD在直角坐標系中的位置如圖1所示，在平面內找點 P ，使 ΔPAB，ΔPBC .ΔPCD，ΔPDA 同時是等腰三角形，標出符合要求的點 P ，并寫出點 P 的坐標.

在這個問題中，點 P 的分類有兩種類別，一類是點 P 在正方形ABCD內部，另一類是點 P 在正方形ABCD外部.而正方形ABCD的四邊作等腰三角形的邊而言有三種類別，即都作等腰三角形的底，都作等腰三角的腰，既作等腰三角形的底又作等腰三角形的腰.綜合以上情況進行組合可得思維導圖圖，如圖2.

（1）正方形四邊都作底的等腰三角形點P在正（2）正方形四邊都作腰的等腰三角形點P的位置 方形內部 （3）正方形四邊既作底又作腰的等腰三角形（4）正方形四邊都作底的等腰三角形點P在正（5）正方形四邊都作腰的等腰三角形方形外部（6）正方形四邊既作底又作腰的等腰三角形

以上六種可能出現的類別，就是探究的六個方面.理清了六種可能出現的類別就等于理清了思路，明確了探究方向.

情況（1）：容易想到點 P 與點O 重合的情況，如圖3， ΔPDC ，ΔPBC，ΔPAB，ΔPAD 為等腰三角形，且正方形ABCD四邊均作底，此時點 P 坐標為（0，0）.

情況（2）：四邊形 ABCD 四邊都作腰這樣的點 P 不存在.

情況（3）：正方形 ABCD 四邊既作底又作腰的情況.若AB為腰， AD 為底，如圖4，則有 AP= PD ，點 P 在 軸上，同時 BP= AB ，因此以點 B 為圓心， BA 長為半徑畫弧交 軸于點 P₁ ，則ΔAP₁D，ΔABP₁，ΔP₁BC，ΔP₁CD 均為等腰三角形，此時 BP₁=2，BE=1，∠P₁EB=90^° 于是， P₁E= ，所以可得點 P₁ 坐標為 ：

根據對稱性，以 O 為圓心， OP₁ 為半徑畫圓交 x 軸于點 P₂，P₄ （如圖5、圖6），交 軸于另一點 P₃ （如圖7），則點 P₂ 為 ，點 P₄ 為 ，

點 P₃ 為 ：

情況（4）（5）：不存在.

情況（6）：以 AB 為底， .AD 為腰，當所求點在 x 軸上，且 AP=AD 時，如圖8，以 A 為圓心， AD 長為半徑畫弧交 Ψ_x 軸于點 P₅ ，則 ΔP₅AD ΔP₅BC ，ΔP₅AB，ΔP₅DC 均為等腰三角形.令 AB 交 x 軸于點 F ，則 OF=1，AF=1，∠P₅FA=90^°，P₅A= ， ，則點 P₅ 坐標為 1根據對稱性，以 O 為圓心， OP₅ 為半徑畫弧交 x 軸于另一點 P₇ （如圖9），交 y 軸于點 P₆，P₈ （如圖10、圖11）.點 P₇ 坐標為 ，點 P₆ 坐標為 ，點P₈ 坐標為

經過對以上六類情況的探究，得到 P，P₁，P₂ P₃，P₄，P₅，P₆，P₇，P₈ 這樣九個符合條件的點.

例2如圖 12，ΔABC 的頂點 A，C 在直線 ξ_l 上， ∠B= 120^°，∠ACB=40^° ，若點 P 在直線 ξ_l 上運動，當 ΔABP 成等腰三角形角時， ∠ABP 的度數是多少？

分類：這是一個探究實踐題，若點 P 與點 A，B 構成等腰三角形，則可以分成三類，畫出思維導圖，如

以點A作為 ∠ABP=∠APBAB=AP頂角的頂點 等邊對等角作等腰三角以點B作為 ∠BAP=∠APB形的頂角頂 AB=BP頂角的頂點 等邊對等角點的點以點P作為 ∠PAB=∠PBAAP=BP頂角的頂點 等邊對等角

探究：

情況1：如圖14，以 A 為等腰三角形頂角的頂點時， AB=AP ，以 A 為圓心， AB 長為半徑畫圓交直線 ξ_l 于點 P₁，P₂ ，則 AB= AP₁ ， ∠BAC=20^° ∠P₁AB= 160^° 根據等邊對等角，可得 ∠AP₁B=∠ABP₁= ；又 AB=AP₂ ， ∠BAC=20^° ，根據等邊對等角可得

情況2：如圖15，當點 B 作等腰三角形頂角的頂點時，腰為BA和 BP ，因此 BA=PB .以 B 為圓心， BA 長為半徑畫圓交 ξ_l 于點P₃ ，則 BA=BP₃ .根據等邊對等角可得 ∠A=∠BP₃A=20^° ，則20^°-20^°=140^° ：

∠ABP₃=180^°-

情況3：如圖 16，P 為等腰三角形頂角的頂點時，則有 AP= PB ，即點 P 在 AB 的垂直平分線上.作 _AB 的垂直平分線交 ξ_l 于點P₄ ，則 BP₄=AP₄ .根據等邊對等角得 ∠A=∠ABP₄=20^° ：

綜上，可得 ∠ABP=20^° 或 80^° 或 140^° 或 10^°

數學探究是學生的數學實踐活動.沒有理論指導的實踐會使實踐產生盲目性，正確的理論一旦和實踐相結合就會對實踐起推動作用，促進實踐的發展.科學全面的分類先行，探究在后.科學分類為探究確定了方向，為探究撥開了迷霧，為高效嚴謹的探究作了鋪墊.科學全面的分類，是探究成功的一半.

沒有放之四海而皆準的理論.學生的數學探究實踐活動是豐富多彩的，科學全面分類只能指導某一類結果是多個的數學探究活動；科學全面的分類又與學生的基礎知識有關，因此只能用于指導基礎比較好的學生開展數學探究活動.