初中數學二次函數解題方法探究

二次函數作為初中數學教學的重點，也是當前學生學習的難點之一.為了更好地幫助學生理解與掌握二次函數的解題方法，本文從利用頂點式求解二次函數解析式展開探討.

1利用頂點式求解二次函數解析式

頂點式是二次函數的一種重要形式，其表達式為 y=a（x-h）²+k ，其中 （h，k） 是二次函數的頂點坐標，在利用頂點式求解二次函數解析式時，其關鍵是確定頂點坐標及開口方向.

例圖1是某城市地下排水隧道的截面圖，隧道輪廓為某拋物線一部分，工程師在旱季測量得到隧道寬度為 OA=20 米，此時水面截痕 BC=10 米，水面到隧道水平面OA的距離為7.5米，以點 O 為坐標原點，建立平面直角坐標系，解決如下問題：

（1）求隧道輪廓的函數表達式，并求此時的最大積水深度為多少米.

（2）在雨季水位上升，測得水面到 OA 的距離為3.6米，求此時水面截痕DE的長.

（3）在（2）的條件下，工程師乘坐檢修車行駛到隧道正中央，向隧道的右側壁水平拋出檢測設備，設備恰好落到點 E 處，已知設備運動過程中到水面最大距離為8米，若工程師當前拋出設備的初速度與角度不變，要使設備落到隧道的一側（即點A右側），求檢修車至少要向右行駛多少米.

解析本題目在考查二次函數的綜合應用的同時，需要借助頂點式求解二次函數解析式.

在（1）中根據題意，先求出點 B 點坐標，然后運用待定系數法求出拋物線解析式；第（2）問中先得到點 D 和點 E 的縱坐標為－3.6，代人 值求出 x 值，即可求出DE的長；（3）則是利用待定系數法求解檢修車在DE中間時檢測設備的運動軌跡解析式，再設向右行駛 n 米的解析式，把 A 點坐標代人求出 n 的值即可.

（1）如圖2所示，過點 B 作 BG⊥x 軸于點 G

由二次函數圖象的對稱性可得 BG=7.5 所以 B（5，-7，5） 因為 OA=20 ，所以 A（20，0） 設二次函數表達式為 _y=ax（x-20） ，將 B（5

—7.5）代人，得 -7.5=a×5（5-20） ，解得 ，

所以二次函數表達式為 所以二次函數圖象的頂點縱坐標為 -10 ，此時最大水深為 10-7.5=2.5（ （米）.

在雨季時水面到 OA 的距離是3.6米，令 y=-3.6 ，即 解得 x₁=2，x₂=18 所以 x₂-x₁=16 ，所以此時水面截痕 DE 的長為16米.（3）由題易知檢測設備的運動軌跡是拋物線，

如圖2，設 DE 的中點為 F ，檢測設備運動軌跡的頂

點是點 P ，所以 F（10，-3.6） ·由（2）知 E（18，-3.6） ，檢測設備運動過程中到水面最大距離是8米，

且經過 E，F 兩點，所以 E，F 兩點關于對稱軸對稱，所以 P（14，4，4） ：設檢測設備運動的軌跡拋物線的表達式為 y=

k（x-14）²+4.4 ，將 F（10，-3.6） 代人得 -3.6=

k（10-14）²+4.4， 解得 所以 設向右行駛 n 米，檢測設備落到 A 點，此時拋物

線表達式為 將 A（20，0） 代人可得 解得 （舍去），或n=6-2√55.綜上，檢修車至少要向右行駛 米.

2 結語

通過基于利用頂點式對二次函數解題方法進行深入分析和研究，肯定了其解決二次函數問題的有效性，同時進一步分析了其背后蘊含的數學原理與邏輯，這為學生解決二次函數問題提供了有效工具，培養了學生的數學思維與解題能力.在具體教學中，教師要結合學生的實際情況，引導學生靈活應用這些解題方法，在實踐中掌握解題技巧.

參考文獻：

[1]楊慧晶.例析二次函數中常見的角度問題[J].中學教學參考，2024（17）：32-34.

[2」王建勤.初中數學二次函數解題方法與技巧J].中學數學，2024（8）：71—72.