常規(guī)求解二次函數(shù)解析式的不同技巧例析

1設(shè)一般式求二次函數(shù)解析式

設(shè)一般式求二次函數(shù)解析式是當(dāng)已知拋物線上的任意三點(diǎn)時(shí)，可設(shè)一般形式： y=ax²+bx+c(a eq0; ).再通過運(yùn)算即可得到二次函數(shù)解析式.如以下例題所示.

例1已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn) A(-1，-5) ，B(0，-4) 及 C(1，1) ，求二次函數(shù)的具體解析式.

分析根據(jù)題中已知條件可知此拋物線經(jīng)過的任意三點(diǎn)坐標(biāo)，即可設(shè)一般式 y=ax²+bx+c(a eq0) ，再進(jìn)行運(yùn)算即可求出所求二次函數(shù)的解析式.

解設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：

（204號(hào) y=ax²+bx+c(a≠0)，

根據(jù)題意可得：

解這個(gè)方程組可得：

所以這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：

y=2x²+3x-4.

例2已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，8)，(-1，0)，(3，0) ，求二次函數(shù)的解析式.

分析該例題與上一題相似，同是根據(jù)題中已知條件，可知此拋物線經(jīng)過的任意三點(diǎn)坐標(biāo)，即可設(shè)一般式 y=ax²+bx+c(a≠0) ，再進(jìn)行計(jì)算即可求出所求二次函數(shù)的解析式.

解設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：

y=ax²+bx+c(a≠0)，

根據(jù)題意可得：

解得這個(gè)方程組可得：

所以這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：

y=-2x²+4x+6.

2 設(shè)頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式

設(shè)頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式是當(dāng)題目中已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（對(duì)稱軸或者最值）時(shí)，可設(shè)頂點(diǎn)式： y=a(x-h)²+k(a≠0) ，再通過運(yùn)算即可得到二次函數(shù)解析式.具體解題思路和步驟如以下例題所示.

例3已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (4，-1) ，并且與 軸的交點(diǎn)為(0，3)，根據(jù)已知信息求出該拋物線的解析式.

分析 根據(jù)題中已知條件可知，此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (4，-1) ，可以設(shè)頂點(diǎn)式 y=a(x-h)²+ k(α≠0) ，其中點(diǎn) (h，k) 為頂點(diǎn).

解由題意得：

y=a(x-4)²-1(a≠0).

因?yàn)閽佄锞€與 軸交于一點(diǎn)(0，3)：

所以 a(0-4)²-1=3

所以解得 （2

所以這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：

即

例4已知二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn) c 的坐標(biāo)為（1，8)，且經(jīng)過點(diǎn) A(-1，0)，B(3，0) ，求二次函數(shù)的解析式.

分析根據(jù)題中已知條件可知此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，8)，可以設(shè)頂點(diǎn)式 y=a(x-h)²+k(a eq0 ）進(jìn)行求解，其中點(diǎn) (h，k) 為頂點(diǎn).

解根據(jù)題意設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：

y=a(x-1)²+8(a≠0).

又根據(jù)題意知拋物線經(jīng)過 A(-1，0) ，

所以 a(-1-1)²+8=0 ，

所以解得 a=-2 ，

所以這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：

y=-2(x-1)²+8，

即 y=-2x²+4x+6.

3設(shè)交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式

設(shè)交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式是當(dāng)題目中已知拋物線 y=ax²-bx+c 與 x 軸交于兩點(diǎn) (x₁，0)(x₂ ，0)，可設(shè)交點(diǎn)式： y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0) ，再通過運(yùn)算即可得到二次函數(shù)解析式.具體解題思路和步驟如以下例題所示.

例5已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn) c 坐標(biāo)為（1，8)，且與 x 軸相交于點(diǎn) A(-1，0) 和點(diǎn) B(3，0) ，求此二次函數(shù)的函數(shù)解析式.

分析首先根據(jù)題中已知條件可知，此拋物線與 x 軸交于兩個(gè)點(diǎn)，即點(diǎn) A(-1，0) ，點(diǎn) B(3，0) ，根據(jù)題意設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為 y=a(x+1)(x -3) ，得出 a ，再通過運(yùn)算即可得出所求的二次函數(shù)的解析式.

解根據(jù)題意設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：

y=a(x+1)(x-3)，

由題意得： 8=a(1+1)(1-3) ，

a=-2 ，

即 y=-2(x+1)(x-3)

所以這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：

y=-2x²+4x+6. （204

4結(jié)語

根據(jù)上述不同的求二次函數(shù)解析式的例題分析，可以總結(jié)出設(shè)一般式求二次函數(shù)解析式、設(shè)頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式，以及設(shè)交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式的方法.對(duì)于各種題型，需運(yùn)用相應(yīng)的解題技巧來解決問題.在解題時(shí)，學(xué)生應(yīng)深入分析問題中的條件，巧妙運(yùn)用已知信息和相關(guān)原理來靈活應(yīng)對(duì)，從而提升解題的速度和效果.

參考文獻(xiàn)：

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[2]魏敬源.淺談初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)解析式的解題方法和技巧[J].數(shù)學(xué)之友，2022，36(5)：95-97.