常規求解二次函數解析式的不同技巧例析

1設一般式求二次函數解析式

設一般式求二次函數解析式是當已知拋物線上的任意三點時，可設一般形式： y=ax²+bx+c(a eq0; ).再通過運算即可得到二次函數解析式.如以下例題所示.

例1已知二次函數圖象經過點 A(-1，-5) ，B(0，-4) 及 C(1，1) ，求二次函數的具體解析式.

分析根據題中已知條件可知此拋物線經過的任意三點坐標，即可設一般式 y=ax²+bx+c(a eq0) ，再進行運算即可求出所求二次函數的解析式.

解設這個二次函數的解析式為：

（204號 y=ax²+bx+c(a≠0)，

根據題意可得：

解這個方程組可得：

所以這個二次函數的解析式為：

y=2x²+3x-4.

例2已知二次函數的圖象經過點(1，8)，(-1，0)，(3，0) ，求二次函數的解析式.

分析該例題與上一題相似，同是根據題中已知條件，可知此拋物線經過的任意三點坐標，即可設一般式 y=ax²+bx+c(a≠0) ，再進行計算即可求出所求二次函數的解析式.

解設這個二次函數的解析式為：

y=ax²+bx+c(a≠0)，

根據題意可得：

解得這個方程組可得：

所以這個二次函數的解析式為：

y=-2x²+4x+6.

2 設頂點式求二次函數解析式

設頂點式求二次函數解析式是當題目中已知拋物線的頂點坐標（對稱軸或者最值）時，可設頂點式： y=a(x-h)²+k(a≠0) ，再通過運算即可得到二次函數解析式.具體解題思路和步驟如以下例題所示.

例3已知拋物線頂點坐標為 (4，-1) ，并且與 軸的交點為(0，3)，根據已知信息求出該拋物線的解析式.

分析 根據題中已知條件可知，此拋物線的頂點坐標為 (4，-1) ，可以設頂點式 y=a(x-h)²+ k(α≠0) ，其中點 (h，k) 為頂點.

解由題意得：

y=a(x-4)²-1(a≠0).

因為拋物線與 軸交于一點(0，3)：

所以 a(0-4)²-1=3

所以解得 （2

所以這個二次函數的解析式為：

即

例4已知二次函數的圖象頂點 c 的坐標為（1，8)，且經過點 A(-1，0)，B(3，0) ，求二次函數的解析式.

分析根據題中已知條件可知此拋物線的頂點坐標為(1，8)，可以設頂點式 y=a(x-h)²+k(a eq0 ）進行求解，其中點 (h，k) 為頂點.

解根據題意設這個二次函數的解析式為：

y=a(x-1)²+8(a≠0).

又根據題意知拋物線經過 A(-1，0) ，

所以 a(-1-1)²+8=0 ，

所以解得 a=-2 ，

所以這個二次函數的解析式為：

y=-2(x-1)²+8，

即 y=-2x²+4x+6.

3設交點式求二次函數解析式

設交點式求二次函數解析式是當題目中已知拋物線 y=ax²-bx+c 與 x 軸交于兩點 (x₁，0)(x₂ ，0)，可設交點式： y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0) ，再通過運算即可得到二次函數解析式.具體解題思路和步驟如以下例題所示.

例5已知二次函數圖象的頂點 c 坐標為（1，8)，且與 x 軸相交于點 A(-1，0) 和點 B(3，0) ，求此二次函數的函數解析式.

分析首先根據題中已知條件可知，此拋物線與 x 軸交于兩個點，即點 A(-1，0) ，點 B(3，0) ，根據題意設這個二次函數的解析式為 y=a(x+1)(x -3) ，得出 a ，再通過運算即可得出所求的二次函數的解析式.

解根據題意設這個二次函數的解析式為：

y=a(x+1)(x-3)，

由題意得： 8=a(1+1)(1-3) ，

a=-2 ，

即 y=-2(x+1)(x-3)

所以這個二次函數的解析式為：

y=-2x²+4x+6. （204

4結語

根據上述不同的求二次函數解析式的例題分析，可以總結出設一般式求二次函數解析式、設頂點式求二次函數解析式，以及設交點式求二次函數解析式的方法.對于各種題型，需運用相應的解題技巧來解決問題.在解題時，學生應深入分析問題中的條件，巧妙運用已知信息和相關原理來靈活應對，從而提升解題的速度和效果.

參考文獻：

[1]陸超.探求二次函數解析式常用方法及應用[J].中學數學 ，2024(18):61-62

[2]魏敬源.淺談初中數學二次函數解析式的解題方法和技巧[J].數學之友，2022，36(5)：95-97.