

二次函數是初中的重要知識,也是中考的常考知識點,其中二次函數中的三角形面積問題更是中考的熱點題型.本文對各地區,特別是北師大版初中數學教材使用地區的中考題,教材例題和習題,各地模擬題進行梳理分析,總結出二次函數中的三角形常見的三類問題,分別是求三角形面積,已知三角形面積求其他量和求三角形面積的最值問題.本文將基于這三種類型的題目展開討論,并總結出答題策略,下面一一展開研究.
1求三角形的面積的問題
這種題型是已知三角形的底和高,或者根據已知條件可以直接把三角形的底和高求出來,然后利用三角形的面積公式求三角形面積.
例1已知拋物線 y=-x2+4x+12 ,拋物線與 x 軸的兩個交點為 A,B ,與
軸的交點為 C ,求三角形ABC的面積.
解已知拋物線 y=-x2+4x+12 ,
所以當 y=0 時,
-x2+4x+12=0
即 x2-4x-12=0 ,
解得 x1=-2,x2=6 ,
所以 A(-2,0),B(6,0)
當 x=0 時, y=12 ,
所以 C(0,12) :
所以 |AB|=|6-(-2)|=8 ,
所以S△ABC

所以三角形ABC的面積為48.
評注該題是二次函數中的三角形面積問題,已知三角形的三個頂點都在拋物線上,要求三角形的面積.解決這種類型的題型的關鍵有兩個:一是確定三角形的頂點坐標;二是根據三個頂點坐標確定三角形的形狀,如果為特殊三角形,則求出底和高,利用公式求面積即可,如果不是特殊三角形,則往往對其進行分割,分割方法一般是水平分割和豎直分割兩種,根據實際問題合理進行分割.
2 已知三角形面積求其他量的問題
這種問題的難度比前面問題稍微要高,一般是根據指定三角形的面積,求拋物線的方程,或者求拋物線方程中的未知數,或者求點的坐標,甚至有可能求直線方程等.
例2已知拋物線
x 的正半軸的交點為 A(10,0) ,與
軸的交點為B(0,10) ,點 C 是拋物線位于 x 軸下方圖象上的一點,且 ΔABC 的面積為40,求點 c 的坐標.
解已知拋物線 22+bx+c,與x軸的
正半軸的交點為 A(10,0) ,與
軸的交點
為 B(0,10) ,所以 c=10,b=-6 .所以拋物線方程為
設 C(m,n) ,則有
根據已知,求得直線 AB 的方程為 y=-x+10 ,
當 x=m 時,y=-m+10, 過點 c 作垂直于 x 軸的直線,交直線 AB 于點 D ,則 |CD|=10-m-n. 又因為 ΔABC 的面積為40,所以S△ABC
由 ①② 聯立,解得 m=8,n=-6 ,所以點 c 的坐標為 (8,-6) ·
評注該題是已知 ΔABC 的面積的情況下,求點 c 的坐標,其中點 C 在拋物線
10上.這種題型的關鍵是建立關于該點的等式,聯立方程組,求解即可.所以一般的思路為:一是設需求的點坐標;二是根據已知條件建立關于要求點的坐標的未知數的方程;三是聯立方程組,解方程組即可.
3求三角形的最大面積的問題
這種問題的難度大,一般以壓軸題的形式出現.題目特征是已知三角形的兩個頂點,第三個頂點在拋物線上運動,求三角形面積的最大值.這種問題的解法很多,最常用且最簡單的方法是平移法,也稱為切線法.
例3已知拋物線 y=-x2+2x+3 ,與 x 軸的正半軸交點為 A ,與
軸的交點為 B ,點 C 是拋物線位于直線 AB 上方的一點,求三角形ABC的面積的最大值.
解已知拋物線 y=-x2+2x+3 ,與 x 軸的
正半軸交點為 A ,與
軸的交點為 B ,所以A(3,0), B(0,3) ,則直線AB的方程為 y=-x+3 設點 C(m,n) ,與直線 AB 平行,且與拋物線相
切的直線方程為 y=-x+b :則有
,
消去
得 x2-3x+b-3=0 ,
判別式 Δ=(-3)2-4×(b-3)=0 ,
(204號
解得·
則有
0
即 (2x-3)2=0 ,
解得
則
即 
當
時
1
所以三角形ABC的面積的最大值為:

評注該題是已知三角形 ABC 的頂點 A,B ,點 c 位于拋物線上,是動點,要求三角形 ABC 的最大面積.解這類題型的關鍵有:一是方法的確定,不同的題型,選擇不同的方法會有不同的效果;二是確定頂點 c 的坐標;三是根據點 c 的坐標對三角形進行分割,這是最關鍵步驟.
4結語
拋物線中的三角形面積問題是將三角形問題融入二次函數中,屬于知識點融合的典型題型.根據對中考題、教材例題和習題、模擬題的梳理,總結出常見的題型有求具體的三角形的面積,已知三角形的面積求其他量,求三角形面積的最值等題型.本文通過求具體的三角形的面積,已知三角形的面積求其他量,求三角形面積的最值三個方面進行例談,并提出具體的答題策略.以上三種問題的突破關鍵是對一般三角形進行分割,分割的形式恰當,可以簡化問題.
參考文獻:
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