中考數學閱讀材料題初探

數學思想是數學解題的“靈魂”.這類問題的材料中會給出一個利用某種數學思想解決某種較為復雜問題的實例，要求考生在理解該思想方法的基礎上去解決更為復雜的新問題.

例題 材料1 對于任意的實數 Ψ_a ，其絕對值都是一個非負數，即 同理，對于任意關于 Ψ_x 的絕對值函數 都有 y= 例如 y=|2x-1|=

材料2數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”在函數學習中，常應用函數圖象解決代數問題.例如關于 x 的不等式∣2x-1∣?x ，可解讀為函數 y=|2x-1| 的圖象不高于函數 y=x 的圖象，不等式的解集則可理解為該部分圖象上所有點的橫坐標所構成的取值范圍，通過圖象（如圖1），可得該不等式的解集為 x?1.

根據材料完成下列題目：

（1）認真閱讀材料1，解關于 x 的方程：|2x-1|=x² ，要求寫出解答過程.

（2）認真閱讀材料2，仿照該方法解關于 x 的不等式： 請完善下列解答思路：

步驟1：利用數形結合思想，不等式可理解為：函數 的圖象不低于函數 的圖象.

步驟2：在方格紙中畫出圖象.

步驟3：解出交點坐標，觀察圖象，并得出不等 式的解集為

（3）若關于 x 的不等式 |x²-|x||+k?2x- 1有解，請直接寫出 k 的取值范圍.

解析 （1）因為 ∣2x-1∣=x² ，所以當 2x-1 ?0 時，即 時 ，x²=2x-1 ，解得 x=1 ：

當 2x-1lt;0 時，即 時， 解得 或

（2）步驟1：利用數形結合思想，不等式 ∣2x-1∣? 可理解為：函數 y=|2x-1| 的圖象不低于函數 y= 的圖象；

步驟2：在方格紙中畫出函數 y=|2x-1| 的圖象，如圖3所示.

步驟3：當 2x-1?0 時，即 時，

解得 （舍去）或 x=1 當 x=1 時， y=2×1-1=1 所以交點坐標為（1，1），當 2x-1lt;0 時，即 時， 此方程無解.觀察圖象，得出不等式的解集為 x?1 （3）當 xgt;0 時， x²-∣x∣=x²-x ，當 x²-x?0 時，因為 x²-x=0 時， ?_X1=0，x₂=1 ：又 a=1gt;0 ，所以 x²-x?0 的解集為 x?0 或 x?1 則 x²-xlt;0 的解集為 02-∣x∣∣=x²-x ：

當 02-∣x∣∣=-x²+x ：同理可得 -1?xlt;0 時， ∣x²-∣x∣∣=-x² -x；當 xlt;-1 時， ∣x²-∣x∣∣=x²+x 所以 （20因為 |x²-|x||+k?2x-1

所以函數 y=|x²-|x||+k 的圖象不高于y=2x-1 的函數圖象部分的自變量的取值范圍即為不等式的解.

當 k=0 時，如圖4所示，關于 Ψ_x 的不等式|x²-|x||?2x-1 有解；當 klt;0 時，函數 y= ∣x²-∣x∣∣+k 的圖象即為函數 y=∣x²-∣x∣∣ 的圖象往下平移 -k 個單位，不等式 ∣x²-∣x∣∣+k ?2x-1 有解.

如圖5所示，當 y=x²-x+k 與 只有1個交點時，則 ∣x²-∣x∣∣+k=2x-1 ，則方程x²-x+k=2x-1 ，即 x²-3x+k+1=0 有兩個相等的實數根，所以 Δ=b²-4ac=9-4（k+1）=0 解得

所以 |x²-|x||+k?2x-1 有解時，觀察函數圖象可得

點評本題考查解一元二次方程、絕對值的意義、一次函數與反比例函數的交點問題、一次函數與二次函數的交點問題，以及二次函數的平移.其中，根據函數圖象解決不等式問題是解題的關鍵.本題實際上是在考查分類討論思想和數形結合思想在絕對值問題中的應用.