基于問題鏈的高中數學教學設計實踐探究

一、教學分析

1.教材分析

本節課選自人教版（2019年）《數學》（必修第一冊）第四章對應小節的第二課時《4.4.2對數函數的圖象和性質》，是在學習了冪函數、指數函數的概念、圖象與性質的基礎上，以及對數運算的背景下，進一步深人學習和研究對數函數的圖象與性質.

對數函數的圖象和性質的學習，一方面，可以延續冪函數、指數函數等相關知識的學習與知識類比；另一方面，也為基本初等函數的學習打下堅實的基礎，在學習中起了延續與類比的作用.

2.學情分析

（1）知識層面：學生已了解冪函數、指數函數的概念、圖象與性質，以及對數運算技巧，通過指數函數的學習掌握了研究函數的一般方法.

（2）能力層面：學生在初中已經掌握了用描點法描繪函數的圖象，冪函數與指數函數的學習提供了按“背景一概念一圖象和性質一應用”的順序研究函數.

（3）情感層面：學生思維活躍，樂于合作，有探究問題的意識，但思維的嚴謹性和分類討論、歸納推理等能力有待于提高.

（4）資源層面：我們有多媒體、幾何畫板等軟件，以及生活中大量的貼合實際的素材展示給學生，幫助學生理解對數函數的深刻內涵.

3.教學目標

（1）簡單通過描點法作圖，可利用電腦工具來進行作圖等;

（2）能類比指數函數圖象與性質的研究路徑和方法，結合指數函數與對數函數的特殊關系，在信息技術支撐下探索其基本圖象與基本性質，提升數學抽象、邏輯推理等數學素養；

（3）會借助其圖象與性質來解決一些簡單的應用問題，體現數學知識的應用價值；

（4）知道對數函數 y=log_ax 與指數函數 y=a^x 互為反函數 ）

4.學習目標

（1）初步掌握對數函數的圖象和性質；

（2）會類比指數函數研究對數函數的性質；

（3）掌握對數函數的圖象和性質的簡單應用.

5.重點難點

（1）教學重點：對數函數的圖象和性質（2）教學難點：對數函數性質的探究和歸納

二、教學過程

環節一：創設情境，提出問題

問題1前面我們是怎樣定義冪函數與指數函數的呢？又是學習了這兩個函數哪些基本知識與內容？通過類比，我們又是怎樣定義對數函數的呢？又要學習這個函數中的哪些基本知識與內容呢？

師生活動：提問幾個學生來分別回答，教師加以完善.

教師點評：（1）由冪函數 y=x^α ，指數函數 y= a^x 入手，通過函數的定義，以及對應的圖象與性質的學習來展開，給對數函數的學習定下基調.（2）數學中的類比思維與方法應用，可以從已經學過的冪函數與指數函數這兩類函數的學習人手，合理加以類比展開，明確學習的方向

設計意圖借助學習過的冪函數與指數函數，通過定義、圖象與性質等方面，給本課時的學習指明方向.同時也方便確定對數函數與指數函數之間的聯系，都是在問題的引領并指導下展開的.

環節二：問題導向，合作探究

問題2 利用描點法，我們能否畫出對數函數y=log₂x 的簡單圖象呢？

問題3能否借助數學程序一幾何畫板，通過電腦操作畫出幾個不同底數的對數函數 y=log_ax 的圖象？（布置一個小組的成員電腦操作）

問題4通過觀察描點法圖象以及電腦程序作出的圖象，可以說說你對對數函數 y=log_ax 的圖象和性質有哪些基本的認識呢？

師生活動：先讓學生嘗試，再展示交流，最后形成共識.

教師活動：通過幾何畫板進行函數作圖，

教師點評：（1）描點法作圖時關注特殊點，如：log_a1= 0，log_aa= 1，log_a=- 1 等；

（2）教師在學生展示具體對數函數圖象基礎上利用信息技術做出更多的圖象以便性質的歸納；

（3）教師要有意培養學生由圖象獲得性質的方式和步驟.

設計意圖 讓學生動手畫圖，充分經歷從觀察、分析到抽象、概括的過程，關注基本活動經驗的積累，其中包括獨立思考和交流討論，培養學生從特殊到一般的規律總結能力，滲透數形結合的思想方法，提升數學抽象等核心素養.

環節三：性質歸納，表格展示

問題5 你能否結合以上一些相關對數函數的圖象與性質加以進一步歸納與總結，抽象出一般對數函數的圖象與性質呢？

問題6 借助以下的表格，你能否加以進一步的完善？

對數函數 γ=log_ax（agt;0 ，且 a≠1 ）的圖象和性質如下表：（表格略，如P133教材中的表格）

預設答案： （0，+∞） ，（1，0）， （-∞，0） ，[0，+∞），（0，+∞），（-∞，0]，x 軸

設計意圖 合理性質歸納，由特殊向一般加以總結，形成知識體系，掌握對數函數的基本圖象與性質，培養學生從特殊到一般的歸納思維以及數學抽象等核心素養.

環節四：性質升華，知識串聯

問題7根據對數函數的圖象特征，能否從代數運算的思維來獲取一些關于對數函數的基本性質呢？

師生活動：學生小組交流，再小組內總結，通過小組成員的回答，教師加以合理完善，最后形成共識.

教師點評：（1）由對數的定義可得出對數函數的定義域、值域；（2）由 log_a1=0 可知所有對數函數過點（1，0）；（3）由對數與指數的轉化關系及其運算性質可以知其單調性等；（4）利用換底公式有 y= ，則 y=log_ax 與 的圖象關于 x 軸對稱，因此可以利用 的圖象作出 的圖象

設計意圖先畫圖象然后從圖象獲得性質是初學者容易形成的定勢思維，這種由圖象獲得性質的方法很粗糙，精確的方法還是需要通過代數推理.這為學生提供了一條研究函數性質新的途徑.

問題8如圖1所示，四個對數函數 logbx，C3：y =logx，C4：y = logdx的圖象，你能給出參數a，b，c，d的大小關系嗎？

圖1

師生活動：先讓學生嘗試，再展示交流，最后提問.

教師點評：由 log_aa=1 知，作 y=1 與圖象交點的橫坐標就可獲得 a，b，c，d 的大小關系.

預設答案 ：0

設計意圖進一步熟練掌握對數函數的圖象與基本性質，并會借助函數的圖象加以直觀想象與數形結合.

問題9“研究反過來的問題”是一種逆向思維，由此學會數學地發現和提出問題的基本方法：對數函數 y=log_ax 與指數函數 y=a^x 的圖象是否有某種關系？

師生活動：先讓學生嘗試，再展示交流，最后形成共識.

教師點評：對數函數 與指數函數y=a 的圖象是關于直線 y=x 軸對稱的，這種對稱關系的發現可以通過圖象去觀察，也可代數視角去處理.若學生很難發現，教師加以提示.

問題10 能否通過指數函數的基本性質加以合理類比，進而得出相應的對數函數的基本性質呢？

師生活動：學生先小組交流，再小組內總結，通過小組成員的回答，教師加以合理完善，最后形成共識.

教師點評：借助指數函數與對數函數這兩個函數之間特有的關系，把指數函數的定義、圖象與性質中自變量與函數值的位置倒過來，再用函數語言表達出來，就得到對數函數的所有內容

設計意圖 指數函數與對數函數圖象和基本性質之間的對比與分析，給問題的理解與掌握提供更好的渠道，也給問題的解決開拓更加寬廣的空間.

環節五：典例分析，鞏固理解

例1 （課本第133頁例3）比較下列各題中兩個值的大小（略）.

師生活動：根據不同條件下兩個對數之間的關系，利用對數函數的圖象與基本性質來分析與比較，也給問題的變式與應用提供條件.

變式 （2013年全國課標卷文 II?8^? 設 ，則（ ）

C.cgt;bgt;aD.cgt;agt;b

設計意圖基于實例的應用，在此基礎上加以合理變式與拓展，給問題的理解與掌握開拓一個全新的空間.同時，結合不同的實例來歸納總結比較大小的基本技巧與策略，開拓學生的思維層面，提升學生的解題能力.

環節六：課堂小結，形成體系

問題11 你能回憶一下對數函數的哪些基本性質？并在本課的學習研究過程中，有哪些你記憶深刻的探究技巧與思維方法？

師生活動：提問一些學生來歸納總結，當中教師加以合理引導并完善

預設答案：

數學運算是基本手段代數運算（定量）描點（計算工具） 認識對數函數 圖象 性質代數運算（對稱性） 直觀感知（定性）A R研究原命題與逆命題是發現反函數問題的基本路徑指數函數的圖象與性質

設計意圖（1）幫助學生構建知識體系，本節課到底學了哪些內容；

（2）明確研究路徑和方法：類比一類函數“列表、描點、畫圖”的方式獲得對數函數圖象和性質；從代數運算角度對對數函數解析式分析獲得其圖象和性質；用對數函數與指數函數的特殊關系分析獲得其圖象和性質.

三、教學反思

1.課改熱點，設計優點

在當下高中課程改革走向深入，圍繞著教育教學的熱點與難點，如何在課堂中落實核心素養；如何開展有價值的教學設計；從聚焦教師的“教”到聚焦學生的“學”，從聚焦“解題”到“解決問題”的轉變等，都是我們一線教師所必須深入研究的課題.本節課從問題設置，環節深入，學生主體等方面都有很好的突破.這個教學設計充分基于新課標要求和新教材的編寫理念，在學生學習方式方法上做了一些大膽的探索.

2.類比思維，難點突破

充分展示類比思維，借助指數函數的概念、圖象與性質的學習，類比到對數函數上，使得學生學習起來更加有目的.而學生已經有了研究指數函數的圖象與性質的經驗，所以在畫出具體的對數函數的圖象上，學生是能夠處理的，但是由具體的圖象到歸納一般的圖象的過程，學生會存在困難.這里就可以借助幾何畫板來突破難點，通過改變對數函數的底數 a 的值，呈現大量具體的對數函數圖象，再讓學生歸納圖象，總結性質.