一道不等式恒成立問題的解法探究

1 試題呈現(xiàn)

題目 已知函數(shù)

（1）當(dāng) a=2 時，求曲線在 x=1 處的切線方程;

（2）對任意 x?1 ，有 f（x）?0 恒成立，求實數(shù)a 的取值范圍.

分析試題第（1）小問考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線在一點處的切線，屬于基礎(chǔ)知識，本文不再詳細(xì)介紹.第（2）問以不等式恒成立問題為背景，考查運用導(dǎo)數(shù)工具分析函數(shù)性質(zhì)的能力，考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想以及分類討論思想的應(yīng)用.命題設(shè)計體現(xiàn)綜合性和應(yīng)用性，能夠很好地區(qū)分不同層次對問題的理解能力和求解能力.函數(shù)解析式為對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)通過加減乘除等四則運算構(gòu)成.總的來講，本題第（2）小問的命題理念能夠一定程度上體現(xiàn)新高考的要求，重思維，考能力.

2 解法探究

思路1直接研究函數(shù) f（x） 的圖象和性質(zhì)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解.在求出f（x） 的最值之后，建立關(guān)于 a 的不等式，求得 a 的取值范圍.

解法1 ，令 g（x） =1-lnx-2ax2，且g'（x）=_1+6ax2

① 當(dāng) a≥0 時，對任意 x?1 ，有 g^′（x）lt;0 ，所以 g（x） 在 [1，+∞） 上是減函數(shù)；當(dāng) x?1 時， g（x） ?g（1）= 1-2a ，所以 g（x） 的最大值為 1-2a

若 1-2a?0 ，即 時， g（x）?0 ，即 f^′（x） ?0 ，所以 f（x） 在 [1，+∞） 上是減函數(shù)，當(dāng) x?1 時，有 f（x）?f（1）= 0 ，符合題意；

若 1-2agt;0 ，即 ，則 g（1）=1-2a gt;0，g（e）=1-lne-2ae³=-2ae³?0. 由 g（x） 在[1，+∞） 上單調(diào)遞減，可知存在 x₀∈（1，e] ，使得g（x₀）=0 當(dāng) 10 時，有 g（x）gt;0 ，即 f^′（x）gt; 0，所以 f（x） 在 上單調(diào)遞增，有 f（x）gt;f（1） ε=0 ，與 f（x）?0 矛盾，不符合題意.

② 當(dāng) alt;0 時 當(dāng) xgt;1 時 ，于是f（x）gt;0 ，與 f（x）?0 矛盾，不符合題意.

綜上，實數(shù) Δ_a 的取值范圍是

評注在求得 后，由于分母不影響此式的正負(fù)，從而很難判斷 f^′（x） 的正負(fù)，因此將分子重新構(gòu)造一個函數(shù) g（x） ，分析 的圖象與性質(zhì)來判斷 g（x） 的性質(zhì)，從而得到 f^′（x） 的性質(zhì).當(dāng) 時，實際上是構(gòu)造了一個與題意相矛盾的區(qū)間，從而判斷 不符合題目的要求.此解法具有分類討論思想

思路2 由于解析式中的第一項 ，其導(dǎo)函數(shù)中依然含有超越式 ，因此，為了避免出現(xiàn)這種結(jié)果，我們可以利用不等式的性質(zhì)將 lnx 與 x 分離，然后再構(gòu)造函數(shù)求解.

解法2 由 f（x）?0 可得 ，即 設(shè) ，則 1-3ax3+ax.令h（x）=1-3ax³+ax ，則 h^′（x）=-9ax²+a=-a（9x²-1）

① 當(dāng) a?0 時， h^′（x）gt;0 ，則 h（x） 單調(diào)遞增（或為常數(shù)），所以 h（x）?h（1）=1-2a. 因為 alt;0 所以 1-2agt;0 ，所以 g（x） 在 （1，+∞） 上單調(diào)遞增，所以當(dāng) x∈（1，+∞） 時 g（x）gt;g（1）=0 ，不符題意.

② 當(dāng) agt;0 時， h^′（x）lt;0 ，則 h（x） 單調(diào)遞減，所以 ，所以 h（x） 的最大值為 1-2a

若 1-2agt;0 ，即 時，因為 h（1）= （204號 ，所以存在 ，使得 ，所以當(dāng) x∈ （20（1，x₀） 時， h（x）gt;0 ，所以 g^′（x）gt;0 ，所以 g（x） 在[1，+∞） 上單調(diào)遞增，所以當(dāng) x∈（1，+∞） 時， ，不符題意.

若 1-2a?0 ，即 時， h（x）?0 ，所以g^′（x）?0 ，所以 g（x） 在 [1，+∞） 是減函數(shù)，當(dāng) x? 1時，有 g（x）?g（1）=0 ，符合題意.

綜上，實數(shù) α_a 的取值范圍是

評注解法2與解法1都是構(gòu)造函數(shù)后，研究函數(shù)的最值問題.不同之處在于解法2首先對函數(shù)的解析式化簡，然后再構(gòu)造函數(shù)，在運算過程中的同樣需要分類討論.

思路3分離參數(shù) a 與自變量 x ，再研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，從而問題獲解.

解法3 ① 當(dāng) x=1 時，當(dāng) a∈R 時，不等式 f（x） ?0 恒成立；

② 當(dāng) xgt;1 時，原不等式可化為 設(shè) （20 ，則

令 h（x）=（x²-1）-（3x²-1）lnx ，則 h^′（x）= ，即 h（x） 在 （1，+∞） ）上是減函數(shù)，且 h（1）= 0 ，所以 h（x）lt;0 ，則 g^′（x）lt;0 ，故g（x） 在 （1，+∞） 上是減函數(shù)，又 所以 則實數(shù) Δ_a 的取值

范圍是

評注分離參數(shù)法是解決恒成立問題的一種重要方法，該方法可以避免對參數(shù)進行繁雜的討論.但時常會遇到區(qū)間端點處無法代入求值的情形，此時需要用洛必達(dá)法則求極限，另外，該方法還會面臨求導(dǎo)的復(fù)雜性.

思路4注意到 f（1）=0 ，直觀想象 f（x） 若在（1，+∞） ）上單調(diào)遞減，則自然符合題意.這時我們可由 f（x） 在1的右側(cè)附近單調(diào)遞減求得一個使結(jié)論成立的必要條件，然后再證明其也是使結(jié)論成立的充分條件即可.

解法4 由題知 f（1）= 0 ，且函數(shù) f（x） 在[1，+∞） 上是連續(xù)的，由題知 f（x）?0 ，則有 f^′（1） =1-2a?0 成立，解得 因為 ，所以 .因此只需證 （20 即證

設(shè) ，則 h^′（x）=3x²-1- 2=3x2-x-2=（x-1））（3x2+3x+2）.因為x - 1?0，3x²+3x+2gt;0 ，則 h^′（x）?0 ，又 h（1）= 0，則 h（x）?0 則 l成立，則實數(shù)a的 取值范范是

評注由 f（x） 在1的右側(cè)附近單調(diào)遞減，則有f^′（1）?0 ，求得一個必要條件 ，接下來運用放縮法去掉參數(shù) a ，再構(gòu)造函數(shù)證明 也是 f（x） （204?0 的充分條件即可.

思路5將不等式變形，構(gòu)造兩個函數(shù)，研究兩個函數(shù)的公切線，進而解決問題

解法5 由于不等式 f（x）?0 恒成立，等價于

構(gòu)造函數(shù) 即證 由 令， g^′（x）=0 ， 則 x=e 如圖1，且 ，且

g^′（1）= 2a ，只需 2a ?1 ，即""，此時，當(dāng) x?1 時 h（x）?x- 1?g（x） ：

評注利用兩個曲線的公切線解題關(guān)鍵是求解兩個曲線的公切線，借助圖象直觀地分析問題和解決問

圖1

思路6 將不等式變形，構(gòu)造兩個函數(shù)，利用直線與曲線相切求解問題.

解法6 不等式 f（x）lt;0 恒成立等價 a（x-1） （2"設(shè)""x（x+1），則g'（x） ="令""1）Inx，則h'（x）=-""1-2lnx-1lt;0，則h（x）在（1，+∞） 是減函數(shù)，又 h（1）=2gt;0，h（e）=-elt;

0，存在 x₀∈（1，e） ，使h（x₀）= 0 ，即 x_λ?∈λ""時， g^′（x）gt;0 ，則 g（x） 是單調(diào)遞增； x ∈ （20 （x₀，+∞） 時，g^′（x）lt;0 ，則""是單調(diào)遞減；又 g^′（1）=""，如圖2，當(dāng)a=1

圖2

時，直線 y=a（x-1） 與曲線 y=g（x） 相切.若 a（x""則""，則實數(shù) a 的取值范圍是"

評注利用直線與曲線相切解題，具有很強的直觀性，能夠很好地理解數(shù)形結(jié)合思想.利用兩曲線的公切線和直線與曲線相切解決恒成立問題，既是對導(dǎo)數(shù)幾何意義的深刻理解，同時也是培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的重要方法.