數(shù)形結(jié)合思想在中考數(shù)學專題復習中的可視化實踐

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）20-0014-04

一次函數(shù)是初中數(shù)學中的重要內(nèi)容，具有一定的抽象性，對學生而言有一定的難度.數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學思想方法，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學問題直觀化、生動化，有助于學生更好地理解和掌握數(shù)學知識.在一次函數(shù)圖象應(yīng)用的專題復習中，教師通過分析歷年中考真題，總結(jié)單圖象和多圖象問題的解題思路，能夠幫助學生掌握不同類型問題的分析方法，從而提高學生的解題效率.基于此，文章探討數(shù)形結(jié)合思想在中考數(shù)學專題復習中的可視化實踐策略，以期提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力，為中考備考提供有力支持

1 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學中的重要性

1. 1 直觀化理解數(shù)學概念

在初中數(shù)學教學中，許多概念較為抽象，學生很難直接理解和掌握，借助數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)學概念與圖形相結(jié)合，能夠使學生直觀地理解數(shù)學概念.例如，一次函數(shù)的圖象是一條直線，其斜率能夠反映函數(shù)的增減性，截距能夠反映直線與 y 軸的交點位置.

通過觀察一次函數(shù)的圖象，學生能夠直觀地理解斜率和截距的幾何意義，從而掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，

1. 2 解決實際問題

一次函數(shù)在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，如行程問題、利潤問題等.學生借助數(shù)形結(jié)合思想，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問題，并利用函數(shù)圖象求解，從而更好地理解數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，提高分析問題和解決問題的能力[1].例如，在解決行程問題時，可以根據(jù)題意畫出“速度一時間”圖象或“路程一時間”圖象，然后通過分析圖象，找到相遇點或追及點等關(guān)鍵信息，從而解決行程問題

1.3 提升數(shù)學思維能力

在一次函數(shù)圖象應(yīng)用專題復習中，教師運用數(shù)形結(jié)合思想進行可視化實踐，能夠提升學生的數(shù)學思維能力，如觀察、分析、歸納、推理等.通過觀察一次函數(shù)的圖象，學生能夠發(fā)現(xiàn)圖象的變化規(guī)律，從而歸納出一次函數(shù)的性質(zhì);通過分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，學生能夠建立一次函數(shù)模型，并利用圖象進行求解，從而培養(yǎng)推理能力.

2 一次函數(shù)圖象應(yīng)用專題教學現(xiàn)狀與問題

2.1 教學現(xiàn)狀

在一次函數(shù)圖象應(yīng)用專題復習中，教師通常會采用傳統(tǒng)的講授式教學方法，即先講解一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，再通過大量的練習題讓學生鞏固所學知識，提高解題能力.這種教學方法雖然能夠讓學生掌握一定的知識和技能，但往往缺乏趣味性和生動性，難以激發(fā)學生的學習興趣和主動性

2.2 存在的問題

2.2.1 學生讀圖能力欠缺

學生在面對一次函數(shù)圖象時，往往不能準確把握圖象中提供的關(guān)鍵信息，如圖象的斜率、截距、交點等，這導致學生在解決與一次函數(shù)圖象相關(guān)的數(shù)學問題時，容易出現(xiàn)錯誤.

2.2.2 觀察圖象不全面

在解題過程中，學生容易忽略圖象的某些細節(jié)，從而造成漏解.例如，在解決一次函數(shù)與不等式結(jié)合的問題時，學生可能只關(guān)注圖象的一部分，而忽略了其他部分，導致解題不完整

2.2.3 不善于利用圖象解題

在專題復習過程中，部分學生雖然能夠畫出一次函數(shù)的圖象，但在解題時仍然傾向于利用代數(shù)方法，而不善于利用圖象去分析問題和解決問題，這導致學生在解決一些復雜問題時，解題效率低下.

3 數(shù)形結(jié)合思想的可視化實踐策略

3.1 利用幾何畫板動態(tài)演示

幾何畫板作為一種強大的數(shù)學教學工具，能夠動態(tài)演示一次函數(shù)圖象的變化過程，在中考專題復習過程中，教師可以利用幾何畫板展示一次函數(shù)圖象的平移變換過程，幫助學生直觀地理解一次函數(shù)的性質(zhì).例如，將 y=2x+1 的圖象向上平移2個單位，得到 y=2x+3 的圖象；將 y=2x+1 的圖象向左平移1個單位，得到 y=2（x+1）+1=2x+3 的圖象.通過動態(tài)演示，學生能夠直觀地看到圖象的平移過程，從而理解平移對一次函數(shù)解析式的影響

3.2 結(jié)合實際問題進行案例分析

在案例分析過程中，教師可以引導學生運用數(shù)形結(jié)合思想，將實際問題中的數(shù)量關(guān)系與一次函數(shù)圖象相結(jié)合，通過觀察圖象找到解決問題的方法

例1《龜兔賽跑》這則寓言故事講述的是比賽中的兔子開始領(lǐng)先，但它因為驕傲，在途中睡覺，而烏龜一直堅持爬行，最終贏得比賽，下列函數(shù)圖象可以體現(xiàn)這一故事過程的是（ ）.

在一次函數(shù)圖象應(yīng)用的專題復習中，教師通過《龜兔賽跑》這一經(jīng)典寓言故事引入函數(shù)圖象，讓學生將故事中的情節(jié)與函數(shù)圖象的變化聯(lián)系起來，從而直觀感受路程隨時間的變化情況，學會用數(shù)學的語言描述現(xiàn)實世界.在教學過程中，教師需要先引出本節(jié)課復習的主題，引導學生分析每個選項的函數(shù)圖象，明確不同圖象所代表的運動過程，促使學生將文字描述的情節(jié)轉(zhuǎn)化為數(shù)學圖形，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，提高其運用圖形分析和解決數(shù)學問題的能力.在分析故事里兔子和烏龜?shù)倪\動過程及其對應(yīng)函數(shù)圖象的過程中，學生需通過邏輯推理判斷每個選項是否符合故事情節(jié).例如，兔子中途睡覺時，其路程不變，對應(yīng)的圖象為水平線段，以此鍛煉學生的邏輯推理能力，增強學習的趣味性，營造輕松的學習氛圍，緩解學生對數(shù)學學習的畏難情緒，讓其在愉悅的情感體驗中學習數(shù)學知識.

為了進一步提升學生的問題解決能力，教師可根據(jù)需要創(chuàng)設(shè)實際問題情境

活動12025年亞冬會期間，由于限行，學生上學交通方式有所改變，如圖1所示，它是甲同學所走路程 y （米）與時間 x （分）之間的函數(shù)關(guān)系圖象.根據(jù)圖象，你能獲得哪些信息？

根據(jù)圖象可以看出，它是一個單函數(shù)圖象問題在小組合作學習過程中，學生可以相互討論、交流思路，共同運用數(shù)形結(jié)合思想解決實際問題

根據(jù)圖1所示的函數(shù)圖象，可以利用待定系數(shù)法求出甲同學所走路程 y （米）與時間 x （分）之間的函數(shù)關(guān)系式.設(shè) y=kx（k≠0） ，顯然 0?x?20 將（20，2000）代入 y=kx 得 20k=2 000 ，解得 k=100 ，所以 y=100x（0?x?20） ．與函數(shù)解析式有關(guān)問題的基本求解思路為“點的坐標 $$ 待定系數(shù)法 $$ 求解析式 $$ 已知 x ，求 y ;或已知 y ，求

由圖象可以看出，直線經(jīng)過點（20，2000），即當

甲同學所走時間20分鐘時，其所走路程為2000米，

所以甲同學行走的速度為 （米/分）.

在一次函數(shù) y=100x 中， k=100 ，顯然有 k=v. 設(shè)

（xo，y）（x≠0）是此函數(shù)圖象上任意一點，則v=yo.（20號

在教學過程中，教師需引導學生從函數(shù)圖象中有關(guān)獲取信息，將函數(shù)的代數(shù)表達式與幾何圖象相結(jié)合，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，提高學生運用圖象解決數(shù)學問題的能力，使其體會到一次函數(shù)圖象在實際問題中的應(yīng)用價值，增強其運用數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力.

為實現(xiàn)可視化練習與反饋，教師需設(shè)計一系列具有層次性的可視化練習題，包括基礎(chǔ)題、提高題和拓展題等.在練習過程中，學生可以運用數(shù)形結(jié)合思想解題，并通過觀察圖象找到解題的關(guān)鍵信息.練習結(jié)束后，教師可以進行及時的反饋和評價，針對學生存在的問題進行指導和糾正[2].

活動2甲、乙、丙三名同學住在同一小區(qū)，甲、乙兩名同學勻速步行上學，丙同學騎自行車勻速騎行上學.圖2 是甲、乙、丙三人離家的距離甲、z、 與甲步行的時間 x 之間的函數(shù)關(guān)系的圖象.仔細觀察圖象，類比活動1問題的解決，回答下列問題：

（1）甲、乙、丙三名同學是否同時出發(fā)？若不是，三人出發(fā)的順序是什么？

（2）求出甲、乙、丙三名同學的速度.

活動要求：獨立思考后，在組內(nèi)交流并比較你們的結(jié)論，說說你們的發(fā)現(xiàn)

此題是一道涉及多個函數(shù)圖象的實際問題，設(shè)計此活動的目的如下：

① 知識鞏固與深化：學生通過分析甲、乙、丙三人離家的距離與甲步行時間之間的函數(shù)關(guān)系圖象，進一步理解函數(shù)圖象所代表的實際意義，鞏固對函數(shù)圖象的基本認識，如橫、縱坐標的含義，圖象上點的坐標所表示的具體信息，等等.在求解三人的速度以及函數(shù)解析式的過程中，學生能夠加深對函數(shù)中的自變量、因變量、函數(shù)值等概念的理解

② 思維能力培養(yǎng)：教師要求學生仔細觀察圖象，從圖象中獲取有效信息，培養(yǎng)學生讀取和分析函數(shù)圖象的能力，提高學生從圖形中提取數(shù)學信息的能力.活動要求類比活動一的解決思路來回答問題，學生需要將已有的知識和方法遷移到新的問題情境中，培養(yǎng)類比思維和知識遷移能力.在解決三人出發(fā)順序、速度以及函數(shù)解析式等問題時，學生需要根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)和變化趨勢進行合理的分析和推斷，從而鍛煉邏輯推理能力.同時，活動要求先獨立思考，應(yīng)給予學生自主思考的空間，形成自己的見解和思路，學生在獨立思考之后再進行組內(nèi)交流并比較結(jié)論，在交流中相互學習、相互啟發(fā)，培養(yǎng)團隊協(xié)作精神.

③ 實際應(yīng)用與數(shù)學建模意識：教師以實際生活中的上學情境為背景，讓學生感受到函數(shù)圖象在描述現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律方面的作用，增強學生運用數(shù)學知識解決實際問題的意識.學生通過將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，并利用函數(shù)圖象和相關(guān)知識進行求解，能夠初步體驗數(shù)學建模的過程，培養(yǎng)將實際問題抽象為數(shù)學問題的能力

活動3“冰雪節(jié)\"期間，甲、乙兩人同時同地出發(fā)，開車沿同一線路去400千米外的景區(qū)游玩，甲以一定的速度勻速行駛，乙先以60千米/小時的速度行駛1小時，再以 a 千米/小時的速度勻速行駛，途中休息了一段時間后，仍按照 Δ_a 千米/小時的速度勻速行駛，兩人同時到達目的地，圖3中線段OD與折線 分別表示甲、乙兩人所走路程y₁ 和 y₂ 與甲行駛的時間 x 之間的函數(shù)關(guān)系的圖象.請解答下列問題：

（1）甲的行駛速度是 千米/小時， a 等于千米/小時;（2）從出發(fā)到乙車途中休息后再行駛前，直接寫出兩車之間的距離為20千米時甲車行駛的時間.

以“冰雪節(jié)”期間甲、乙兩人去景區(qū)游玩的行程為背景，結(jié)合兩人所走路程與甲行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系圖象設(shè)置問題，其設(shè)計目的如下：

① 知識運用與鞏固：教師要求學生根據(jù)給定的函數(shù)圖象分析甲、乙兩人的行程情況，這有助于學生鞏固對函數(shù)圖象的理解，包括橫、縱坐標的含義，圖象上關(guān)鍵點所代表的實際意義，等等，進而提升從圖象中提取有效信息的能力.學生通過求解甲的行駛速度、 a 的值等具體問題，能夠進一步掌握行程問題中速度、時間和路程之間的函數(shù)關(guān)系，以及如何根據(jù)圖象和已知條件建立等式來求解未知量，加深對一次函數(shù)的理解

② 思維能力培養(yǎng)：在分析圖象和解答問題的過程中，學生需要根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)變化以及題目中的條件進行邏輯推理.例如，通過乙先以60千米/小時的速度行駛1小時，結(jié)合圖象中相應(yīng)路段的路程變化，推理出后續(xù)速度 Ψ_a 的值，鍛煉學生的邏輯推理能力.將實際的行程問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學中的函數(shù)問題，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想，提高學生將實際問題抽象為數(shù)學問題的能力.同時，學生需要觀察圖象中不同階段的路程和時間數(shù)據(jù)，分析甲、乙兩人的行駛過程特點，歸納出兩人的行駛規(guī)律，從而解答相關(guān)問題，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析與歸納能力，

③ 問題解決能力提升：題目不僅涉及函數(shù)圖象和行程問題的知識，還需要學生綜合運用代數(shù)運算、方程求解等方法來解決問題.例如，在求解甲的行駛速度和 Ψ_a 的值時，學生需要根據(jù)圖象和已知條件列出方程并求解，提高解決復雜問題的能力.

教師總結(jié)本節(jié)課的知識、能力、數(shù)學思想等方面的收獲，通過將單函數(shù)圖象與多函數(shù)圖象進行類比，幫助學生清晰地認識到不同函數(shù)圖象在描述實際問題時的特點和應(yīng)用場景，系統(tǒng)整合一次函數(shù)圖象的相關(guān)知識，構(gòu)建起完整的知識體系.在總結(jié)過程中，教師對點的坐標在函數(shù)圖象中的應(yīng)用（如判斷出發(fā)時間先后順序、求速度等）進行歸納，并對待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的過程加以總結(jié)，能夠加深學生對這些重要概念和方法的理解.學生通過實際問題的解決，能夠增強運用數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力.

4 結(jié)束語

數(shù)形結(jié)合思想在一次函數(shù)圖象應(yīng)用專題復習中的可視化實踐，具有重要的教學價值和實踐意義.教師通過結(jié)合具體的教學案例和實踐活動，能夠使學生更好地理解和掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)和應(yīng)用，提高解決實際問題的能力.未來，教師可以進一步探索數(shù)形結(jié)合思想在其他數(shù)學知識中的應(yīng)用，以及如何通過技術(shù)手段優(yōu)化可視化實踐的效果

參考文獻：

[1］劉煥.運用數(shù)形結(jié)合解答一次函數(shù)問題[J].中學數(shù)學，2024（12） ：107-108.

[2］王啟忠.思維可視化教學在初中數(shù)學課堂中的應(yīng)用[J].中學課程輔導，2025（13）：75-77.

[責任編輯：李慧嬌]