初中數學尺規作圖的教學實踐與思考

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）20-0060-03

尺規作圖是指用圓規和無刻度的直尺作圖.縱觀歷年全國各地中考試題，尺規作圖問題大致分為兩種：一種是已知作圖痕跡，要求學生據此說明作圖原理或進行計算證明；另一種是需要學生按要求作圖.筆者，說明教師應如何幫助學生克服作圖障礙，提高學生分析和解決復雜尺規作圖問題的能力，從而促進其全面發展

1 問題呈現

如何用圓規和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？

初步嘗試如圖1，已知扇形AOB，請你用圓規和無刻度的直尺過圓心 o 作一條直線，使扇形AOB的面積被這條直線平分

問題聯想 如圖2，已知線段MN，請你用圓規和無刻度的直尺作一個以MN為斜邊的等腰直角三角形.

問題再解 如圖3，已知扇形AOB，請你用圓規和無刻度的直尺作一條以點 o 為圓心的圓弧，使扇形AOB的面積被這條圓弧平分。

2解法分析

本題是2022年揚州市中考數學第26題，是一道綜合性的尺規作圖問題.縱觀近幾年揚州市中考數學試題，對學生尺規作圖能力的考查大多數以選擇題和填空題的形式呈現，通常用語言向學生描述某種尺規作圖的方法，同時給出作圖痕跡，要求學生據此判斷正確說法或通過計算解決問題

初步嘗試本題要求學生過圓心作一條直線，使已知扇形的面積被這條直線平分.如圖4所示，作∠AOB的平分線即可.

分析 為使過圓心的直線平分扇形的面積，結合扇形的面積公式，學生容易想到作∠AOB的平分線.“作已知角的平分線”是初中階段的五個基本尺規作圖之一，學生可以很輕松地完成本題

問題聯想本題要求學生作一個以MN 為斜邊的等腰直角三角形.如圖5所示，作線段MN的垂直平分線，垂足為 R 以點 R 為圓心，以RM為半徑畫弧，交線段MN的垂直平分線于點 P ，連接 PM，PN △PMN即為所求三角形

點評在解決此題時，學生剛開始可能會感到迷茫，但如果畫出目標圖形 一個以線段MN為斜邊的等腰直角三角形，然后參照等腰三角形的性質，可以得出直角三角形的直角頂點 P 一定在線段MN的垂直平分線上，最后利用等腰直角三角形的性質，在MN的垂直平分線上截取 RP=RM. 此題看似簡單，但需要學生掌握線段垂直平分線的畫法，還要求學生熟練掌握等腰三角形的軸對稱性、等腰三角形“三線合一”的性質、直角三角形斜邊上的中線的性質及等腰直角三角形的特殊性質等相關知識.如果學生對其中某一個知識點掌握不扎實，那么在作圖過程中可能會出現無從下手的感覺

問題再解本題要求學生用圓規和無刻度的直尺作一條以點 o 為圓心的圓弧，使扇形AOB的面積被這條圓弧平分.如圖6所示，構造以OB為斜邊的等腰直角三角形OBM，然后以 o 為圓心，OM的長為半徑畫弧，交OA于點 C ，交 OB 于點 D ，弧 CD 即為所求作的圓弧.

點評在解決此題的過程中，學生需首先畫出目標圖形.結合扇形面積計算公式，學生易發現兩個扇形的圓心角相同，欲使所作扇形的面積為原來的一半，只能是半徑不同.通過計算可以得出，扇形AOB的半徑是所作扇形的半徑的 倍，由此可聯想到通過構造等腰直角三角形解決問題

由此可以看出，本題不僅涉及等腰直角三角形的有關知識，而且還涉及扇形的面積公式、等腰直角三角形三邊關系等知識，對學生綜合能力的要求較高.在解決問題的過程中，通過對題目的綜合分析和理解，結合題目的鋪墊，學生不難完成尺規作圖.不論哪一種作圖方法，都需學生理解基本圖形的性質，并借助基本圖形的性質解決問題

3 解題反思

通過解決此題可以發現，為更好地完成尺規作圖問題，學生必須先明確直尺和圓規在作圖中所起到的作用.尺規作圖中的“直尺”是無刻度的直尺，它的作用只能是畫線段、射線和直線，因此直尺具有“保直”的功能.圓規最基本的用處則是作圓，但在尺規作圖題中，圓規除了作圓以外的另一個重要作用是度量，因此在尺規作圖中，圓規具有“保長”的功能.在理清直尺和圓規作用之后，學生還要熟練掌握五種基本尺規作圖的方法和原理，才能在獨自面對復雜尺規作圖問題胸有成竹

在解題過程中，教師要引導學生明確尺規作圖可以分為兩種，一種是五種基本尺規作圖，另一種是其他作圖，但五種基本尺規作圖是其他作圖的基礎.為此，在學生解題的過程中，對于復雜的尺規作圖問題，教師可引導學生先畫出目標草圖，讓學生借助草圖分析各個量之間數量和位置關系，從而使學生更深入地理解問題.借助草圖，學生能夠準確分析作圖的關鍵點性質，然后利用五種基本尺規作圖畫圖并解決問題，從而提升學生的問題解決能力.

尺規作圖作為特殊的幾何問題，其解題方法也是解決幾何證明題的常用方法之一.在解決幾何證明或幾何計算問題時，學生需會從條件出發，去探索結論；也可倒推，從結論去反推條件，即執果索因；還可以將條件和結論綜合起來，得出正確解法.這里的尺規作圖，便是從結論去反推條件，先畫出目標圖形，再分析性質.因此，尺規作圖是幾何學習中不可或缺的內容.隨著學生對幾何學習的不斷深入，他們所接觸到的基本圖形越來越多，每一個復雜圖形都是由若干個基本圖形構成的，利用基本圖形的性質分析問題和解決問題，是解決尺規作圖問題最基礎的方法，學生只有熟知常見基本圖形的性質和判定，才能分析出關鍵點的位置，進而正確作圖

4教學啟示

4.1 立足教材，重視尺規作圖

尺規作圖是《課程標準》明確提出的初中數學幾何教學的重要內容之一.尺規作圖被分散編排在初中數學學習的全過程，這樣的編排便于學生掌握尺規作圖基礎知識，還能較好地將尺規作圖和理論依據聯系起來，讓學生不僅知其然，還能知其所以然.但在實際教學過程中，大多數教師對于尺規作圖教學并不重視，課堂教學浮于表面，教師只是帶著學生將課本上的作圖過程重復一遍，讓學生會作圖便結束了尺規作圖教學.這種情況下，學生容易發現教師不重視尺規作圖，從而自己在心理上對尺規作圖產生輕視.因此，在初中數學教學中，教師必須足夠重視尺規作圖教學內容，讓學生理解尺規作圖的原理與依據，這樣才能提高學生的作圖能力.為了幫助學生更好地理解作圖原理，教師應立足課本，不但要求學生能夠作出圖形，而且要能夠說出或寫出完整的作圖步驟

4.2 重視思維，加強作圖理解

在尺規作圖教學中，教師要求學生能夠說出或寫出完整的作圖步驟，并不是要求學生死記硬背課本內容.《課程標準》多次強調，要讓學生了解尺規作圖的操作過程，理解作圖的基本原理和本質.數學是一門培養學生思維的學科，在尺規作圖教學中，如果按照作圖步驟生搬硬套，會讓學生覺得數學學習枯燥無味，無法有效提升學生學習效果.筆者認為，在初中數學教學過程中，教師需帶領學生感悟知識之間的相互聯系，讓學生感受數學知識的連貫性和完整性，體會數學知識的生長和積累.在初中數學學習中，學生的數學思維需要借助數學知識來培養.在尺規作圖學習中，學生對作圖的步驟理解不夠，這恰恰是教師培養學生數學思維的絕佳機會.在教學過程中，教師應注重培養學生的發散思維，讓學生自主串聯所學知識，深入發掘課本中介紹的作圖依據，并以此作為依據和出發點，用幾何語言對尺規作圖依據進行說理和證明，加強訓練學生的數學思維，提升學生的數學核心素養

4.3 提高素養，學會綜合思考

在初中數學學習中，復雜的尺規作圖題一直是學生避之不及的問題.究其原因，學生沒有真正理解尺規作圖問題，其數學核心素養有待提升，因而不能有效解決問題.為培養德才兼備的學生，教師發揮著至關重要的作用.在初中數學教學中，教師需要幫助學生理解所學知識，提升學生的數學核心素養，這些素養包括知識、技能、思維方式、情感態度、價值觀念和行為習慣數學核心素養的培養并不是一蹴而就的，需要在教師的啟發和引導下，通過學生獨立思考及與他人互相交流，最終需要他們自己“悟”出來，這是一個逐漸培養的過程，涉及學生的思維習慣和思想方法的培養.只有具備良好的數學核心素養，學生才能較快地提取題目中的關鍵條件，然后利用相關的數學知識和基本技能解決較為復雜的數學問題.故此，在日常的教學中，教師要重視學生數學核心素養的培養，引導學生學會用數學的思維思考問題，從而提升學生的問題解決能力

5 結束語

在初中數學學習中，學生獲取知識的過程是一個循序漸進的過程.作為一名初中數學教師，在尺規作圖教學中不能急于求成，不應該只是簡單地講授和學生機械地模仿，而是應該幫助學生建立尺規作圖知識網絡，幫助學生理清知識之間的脈絡[2]，讓學生知道為什么要這樣作圖以及作圖的依據，理清作圖的來龍去脈，培養學生用發展的數學眼光去看待所學數學知識.此外，初中數學教學更重要的目標是引導學生能夠靈活運用數學基礎知識、基本技能、作圖基本方法以及數學基本思想解決實際問題，培養學生良好的問題解決能力，

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社.2022.

[2］李卓，代紫涵.落實新課標對尺規作圖的新要求：對初中數學教材中尺規作圖相關內容修訂的若干思考[J].中學數學雜志，2023（12）：19-21.

[責任編輯：李慧嬌]