關注學習體驗 追求深度思維發展核心素養

核心素養導向下的初中數學課堂教學，如何通過豐富的教學手段增強學生的學習體驗，進而促進思維的進階呢？研究表明，適當的實操活動可為課堂注人新的活力，基于外部操作發現的問題，可從內隱信息中提煉思想方法、領悟知識本質，從真正意義上發展“三會”與“四能”，將“深度學習”落到實處.下面，筆者以“作一個角等于已知角”為例，展開教學實踐與探索.

尺規作圖的背景

古希臘時期，人類就已經用圓規與沒有刻度的直尺作圖，用以解決一些簡單的平面幾何問題.當時，畫直線是直尺的主要功能，畫弧線、截等長則是圓規的主要功能[1.由此可見，尺規作圖歷史悠久，忽略尺規具體的刻度與角度，用以刻畫線段或角等，可助力學生將“數”轉化為“形”，感悟數形結合思想，發展數學思維與提升實操能力.

教學分析

在學習“作一個角等于已知角”之前，學生從未接觸過作圖訓練.對于缺乏理論支持的教學，要想取得不錯的教學效果，難度系數較大.為此，需借助“作一條線段與已知線段相等”與“量角器畫角”的作圖經驗，讓學生從直觀與推理中抽象出一般的作圖程序，以積累作圖經驗，提煉數學思想，促進思維發展.本節課教學中，用尺規作圖的方法作出一個角等于另一個角是教學的重點與難點.教學時，教師不僅要引導學生明確作圖的方法，還要讓學生領會“作圖的原因”，使學生對作圖的本質產生明確的認識，這是促進學生思維進階、發展學生數學核心素養的基礎.

教學設想與思考

尺規作圖需將直尺和圓規的功能體現在作圖過程中，本節課教學的核心在于“化無刻度為有刻度”，即引導學生基于主動探索與思考實現知識的自然銜接.如何作一個角等于已知角？關鍵在于角終邊的確定上.角終邊上的另一個點該如何獲得？此為探索的核心.由此確定本節課尺規作圖的重點在于找到與已知角終邊上的點相對應的點.為此，筆者結合學情與教情，預設了以下教學活動，并提出了相應的教學思考.

1.到圓內探尋兩個相同的扇形

探索1已知 ∠AOB 位于 _?o 內，請在該圓內找出一個 ∠COD=∠AOB #

教學預設要想從一個已知圓內找到兩個大小相同的角，只要確定這兩個角的弦長、圓心角或所對應的弧，三者中有一組數據呈等量關系，則可確定其他各組數據之間也是相等關系.因此，只要用圓規截取了相等長度的弦，即可獲得大小相等的圓心角，問題便迎刃而解.

如圖1，用圓規到 _?o 中截取弦CD=AB ，分別連結 oc ， oD ，由此得到 ∠COD=∠AOB

教學思考圓的性質是九年級的教學內容，此處教師引導學生基于圓的性質進行分析，屬于超前教學，學生因缺乏必要的知識儲備，在實際應用時束手束腳，難以真正理解作圖的本質.

2.制作同等大小的折扇

探索2教師提供一把折扇，要求學生思考用什么辦法可以制作出與之同等大小的折扇，制作時需要準備哪些材料，等等.

教學預設對于這個問題，學生首先考慮選擇同等長度的竹片作扇柄，再用同等大小的弧形紙作扇面，兩者之間存在一定聯系，即圓弧的半徑等于扇柄長度，扇面張開的大小 （角度）由紙面大小決定.具體操作流程如下：① 將兩根扇柄的一端用釘子固定，但可靈活轉動； ② 將紙面固定在一根扇柄上； ③ 將另一根扇柄與弧形紙糊在一起形成折扇.

教學思考制作折扇確實能給“作一個角等于另一個角”帶來啟發，但也存在不少現實問題： ① 制作折扇需要準備材料，這么多材料從何而來？ ② 折扇制作過程煩瑣，課堂時間是否充裕？切忌將數學課上成手工課； ③ 關于扇面的制作，大部分學生會選擇疊合法進行裁剪，那么，扇子張角的大小與對應弧長大小的轉化是否存在出入？這就導致作一個角與另一個角相等的第二條線上的點難以確定.

通過以上分析，筆者摒棄了上述兩種教學法，選擇了最常規的量角器畫角法，引導學生切身體驗尺規作圖的樂趣，為滲透數學思想方法，形成結構化思維奠定基礎.

教學過程設計

問題1大家還記得用量角器測量角的流程嗎？誰來說說量角器具有哪些功能？

生1：用量角器測量角的具體步驟為， ① 量角器的中心點對準角的頂點； ② 量角器0刻度線與角的一條邊重合； ③ 讀出角的另一條邊在量角器上的度數，如圖2所示.

師：非常好！那么，想要畫一個角與測量出來的角相等，該怎么操作呢？

生2：用量角器畫一個已知角，主要遵循以下流程， ① 將角的始邊畫出來； ② 根據角度到量角器上找到另外一條邊的數值點； ③ 連接始邊端點與另一條邊的數值點，形成終邊.

師：描述得很清楚，在此過程中量角器起什么作用？

生3：起確定角度的作用.

問題2現在有一個沒有刻度的量角器，可否借助這個量角器畫出一個與已知角相等的角？

生4：沒有刻度的量角器在測量已知角的過程中，前兩個步驟沒有問題，但是第三步無法完成.

師：是啊，本來我們確定了已知角的度數，在畫角時可根據這個度數來確定角另外一條邊的數值點，現在這個數值點難以確定了，該怎么辦呢？

生5：可以在這個沒有刻度的量角器上作一個記號，如圖3，測量角度時，在角的終邊上任選一點標記為點A.在畫相等角時，前兩個步驟不變，第三個步驟以點A作為終邊上的一點，即可順利完成畫圖任務.

問題3現在，我們繼續增加難度.若只有與量角器類似的輪廓或半圓形的弧，可否利用直尺與圓規作出一個與已知角相等的角呢？

這個問題給學生帶來了較大挑戰，借助沒有刻度的量角器畫角的過程，已經讓不少學生認識到“數形轉化”的作用，現在這個問題又該怎么解決呢？

如圖4，借助圓規將量角器的弧創造出來，據此可順利畫出與已知角半徑相等的半圓.那么，弧線長短該如何確定？根據已有的知識經驗，圓規具有明確線段長度的作用，基于“化曲為直”的思想，通過對弧線兩個端點為端點的線段來明確弧線的長短，可順利探尋到所畫的角正好位于圓弧上的標志點.

問題4如圖5，將半圓中無關的弧線去掉，留下終邊上與 A 點位置相關的一段弧線，結合以上探索流程，嘗試用直尺與圓規自主繪制一個與已知角相等的角．

生6：如圖6，將點 o 作為圓心，選擇任意長度為半徑，借助圓規畫弧，使畫出來的弧線與角的兩邊分別相交于 c ， D 兩點；任意取一點作為點O^′ ，以點 O^′ 為端點畫一條射線 O^′A^′ ，將點 O^′ 作為圓心，以 oc 的長度為半徑畫圓弧，與 O^′A^′ 相交于點 C^′ ；再將點 C^′ 作為圓心，線段 CD 為半徑畫圓弧，與上一段弧相交于點 D^′ ；連接點O^′ ， D^′ 并正向延長，形成射線 O^′B^′ ，由此獲得 ∠AOB=∠A^′O^′B^′. ：

設計意圖縱觀整個教學流程，可見學生的思維親歷了用“量角器$$ 沒有刻度的量角器 $$ 半圓 $$ 圓弧”畫已知角相等角的過程，循序漸進的尺規作圖過程進一步深化了學生對作一個角等于已知角的理解.如此設計，與學生的認知發展規律高度契合，學生的思維在階梯式問題的驅動下拾級而上，獲得了豐富的學習體驗，踐行了“深度學習”理念，同時還滲透了豐富的數學思想方法，讓學生對數形結合思想、類比思想等數學思想方法有了更深刻的理解.

思考與感悟

1.課堂活動設計需合理

為了上好一節課，教師在設計教學活動之前，大多會根據教學內容與學情特點展開設想.關于“作一個角等于已知角”的教學，筆者結合自身認知，首先想到的是利用圓與折扇展開探索.然而，學生對圓的性質并不熟悉，在探索作圖時很可能出現思維障礙；折扇雖然涵蓋了實操活動，與《義務教育數學課程標準（2022年版）》所倡導的加強手腦協作訓練也相匹配，但操作材料的準備以及操作過程比較復雜，會占用大量的課堂時間，得不償失.從教學“合理性”的維度來看，這兩種教學方案都不夠科學.

綜合考量學生的實際認知水平、已有的知識儲備與探索經驗，筆者發現量角器作圖是最合理的引導素材，即使是沒有刻度的量角器，也能使學生根據自身的認知經驗著手畫圖.由此可見，根據學生的實際需求與認知特點來選擇合理的教學素材，可豐富學生在課堂上的學習體驗，促進學生思維的進階，真正實現深度學習，為發展學生數學學科核心素養打下基礎.

2.教學體驗過程需充分

關注學生在課堂上的學習體驗，可達到減負增效的教學效果.根據學生在課堂上的學習體驗情況，庫伯教授提出了一個“體驗學習圈”模型，該模型認為學生在課堂上的學習狀態為“具體體驗一觀察思考一數學抽象一新的體驗”的順次循環[2].本節課教學中，筆者結合實際教學需求選擇了量角器這一素材，學生在觀察、思考、分析與作圖過程中，親歷了4個層次的體驗：量角器畫角 $$ 沒有刻度的量角器畫角 $$ 半圓弧畫角 $$ 尺規畫角.學生的每一個探索過程，都形成了具身體驗，隨著探索難度的層層遞進，思維也拾級而上，尺規作圖法也隨之誕生.

從整體上看，尺規作圖法的重點在于作圖思路，即如何將已知角搬運到所作角的位置，并借助尺規精準地作出大小相同的角度.要想解決這個問題，就需學生積極主動地探尋作圖原理，找到相應的作圖方法，以夯實知識與方法基礎，讓學生在操作過程中產生深刻、直觀的操作體驗，為揭示尺規作圖的本質作好鋪墊：

3.需關注數學核心素養的發展

《義務教育數學課程標準（2022年版）》引領下的數學教學不僅要關注學生“三會”“四基與四能”的發展，還要注重數學思維與數學核心素養的培育.如何借助豐富的數學教學活動讓學生增強數學學習體驗，促進數學思維進階，發展數學理性精神與數學核心素養呢？實踐表明，結合認知發展規律，利用豐富的實操活動前增強學生的探索精神，讓學生在豐富的學習體驗中提煉數學思想方法是促進數學思維發展的關鍵，也是提升數學核心素養的重要舉措.

尺規作圖屬于幾何推理與實操活動深度融合的過程，學生在探索過程中親歷分析、推理過程，無形中提升了幾何直觀、空間觀念、推理能力等核心素養.

總之，數學是一門充滿活力的學科，尺規作圖的方法并不固定.事實證明，只有“明理”，才能從真正意義上“得法”.因此，教師在設計數學教學活動時，需重點關注學情與教情，盡己所能地為學生創造更多的時間與空間，鼓勵學生動手、動腦，讓學生深度體驗數學學習帶來的成就感，形成終身可持續發展的數學學習能力.

參考文獻：

[1]周斌.追求深度思維凸顯價值取向—“尺規作圖作一個角等于已知角”教學實錄［J］.初中數學教與學，2023（10）：8-10.

[2」張愛平，沈雪英.融人數學體驗活動的教學實踐與思考一以“作一個角等于已知角”為例[J].數學通報，2019，58（4）：33-36.