關(guān)注學(xué)習(xí)體驗(yàn) 追求深度思維發(fā)展核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，如何通過(guò)豐富的教學(xué)手段增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，進(jìn)而促進(jìn)思維的進(jìn)階呢？研究表明，適當(dāng)?shù)膶?shí)操活動(dòng)可為課堂注人新的活力，基于外部操作發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，可從內(nèi)隱信息中提煉思想方法、領(lǐng)悟知識(shí)本質(zhì)，從真正意義上發(fā)展“三會(huì)”與“四能”，將“深度學(xué)習(xí)”落到實(shí)處.下面，筆者以“作一個(gè)角等于已知角”為例，展開(kāi)教學(xué)實(shí)踐與探索.

尺規(guī)作圖的背景

古希臘時(shí)期，人類就已經(jīng)用圓規(guī)與沒(méi)有刻度的直尺作圖，用以解決一些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.當(dāng)時(shí)，畫(huà)直線是直尺的主要功能，畫(huà)弧線、截等長(zhǎng)則是圓規(guī)的主要功能[1.由此可見(jiàn)，尺規(guī)作圖歷史悠久，忽略尺規(guī)具體的刻度與角度，用以刻畫(huà)線段或角等，可助力學(xué)生將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，感悟數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維與提升實(shí)操能力.

教學(xué)分析

在學(xué)習(xí)“作一個(gè)角等于已知角”之前，學(xué)生從未接觸過(guò)作圖訓(xùn)練.對(duì)于缺乏理論支持的教學(xué)，要想取得不錯(cuò)的教學(xué)效果，難度系數(shù)較大.為此，需借助“作一條線段與已知線段相等”與“量角器畫(huà)角”的作圖經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生從直觀與推理中抽象出一般的作圖程序，以積累作圖經(jīng)驗(yàn)，提煉數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)思維發(fā)展.本節(jié)課教學(xué)中，用尺規(guī)作圖的方法作出一個(gè)角等于另一個(gè)角是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).教學(xué)時(shí)，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生明確作圖的方法，還要讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)“作圖的原因”，使學(xué)生對(duì)作圖的本質(zhì)產(chǎn)生明確的認(rèn)識(shí)，這是促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)階、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ).

教學(xué)設(shè)想與思考

尺規(guī)作圖需將直尺和圓規(guī)的功能體現(xiàn)在作圖過(guò)程中，本節(jié)課教學(xué)的核心在于“化無(wú)刻度為有刻度”，即引導(dǎo)學(xué)生基于主動(dòng)探索與思考實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自然銜接.如何作一個(gè)角等于已知角？關(guān)鍵在于角終邊的確定上.角終邊上的另一個(gè)點(diǎn)該如何獲得？此為探索的核心.由此確定本節(jié)課尺規(guī)作圖的重點(diǎn)在于找到與已知角終邊上的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的點(diǎn).為此，筆者結(jié)合學(xué)情與教情，預(yù)設(shè)了以下教學(xué)活動(dòng)，并提出了相應(yīng)的教學(xué)思考.

1.到圓內(nèi)探尋兩個(gè)相同的扇形

探索1已知 ∠AOB 位于 _?o 內(nèi)，請(qǐng)?jiān)谠搱A內(nèi)找出一個(gè) ∠COD=∠AOB #

教學(xué)預(yù)設(shè)要想從一個(gè)已知圓內(nèi)找到兩個(gè)大小相同的角，只要確定這兩個(gè)角的弦長(zhǎng)、圓心角或所對(duì)應(yīng)的弧，三者中有一組數(shù)據(jù)呈等量關(guān)系，則可確定其他各組數(shù)據(jù)之間也是相等關(guān)系.因此，只要用圓規(guī)截取了相等長(zhǎng)度的弦，即可獲得大小相等的圓心角，問(wèn)題便迎刃而解.

如圖1，用圓規(guī)到 _?o 中截取弦CD=AB ，分別連結(jié) oc ， oD ，由此得到 ∠COD=∠AOB

教學(xué)思考圓的性質(zhì)是九年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容，此處教師引導(dǎo)學(xué)生基于圓的性質(zhì)進(jìn)行分析，屬于超前教學(xué)，學(xué)生因缺乏必要的知識(shí)儲(chǔ)備，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)束手束腳，難以真正理解作圖的本質(zhì).

2.制作同等大小的折扇

探索2教師提供一把折扇，要求學(xué)生思考用什么辦法可以制作出與之同等大小的折扇，制作時(shí)需要準(zhǔn)備哪些材料，等等.

教學(xué)預(yù)設(shè)對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生首先考慮選擇同等長(zhǎng)度的竹片作扇柄，再用同等大小的弧形紙作扇面，兩者之間存在一定聯(lián)系，即圓弧的半徑等于扇柄長(zhǎng)度，扇面張開(kāi)的大小 （角度）由紙面大小決定.具體操作流程如下：① 將兩根扇柄的一端用釘子固定，但可靈活轉(zhuǎn)動(dòng)； ② 將紙面固定在一根扇柄上； ③ 將另一根扇柄與弧形紙糊在一起形成折扇.

教學(xué)思考制作折扇確實(shí)能給“作一個(gè)角等于另一個(gè)角”帶來(lái)啟發(fā)，但也存在不少現(xiàn)實(shí)問(wèn)題： ① 制作折扇需要準(zhǔn)備材料，這么多材料從何而來(lái)？ ② 折扇制作過(guò)程煩瑣，課堂時(shí)間是否充裕？切忌將數(shù)學(xué)課上成手工課； ③ 關(guān)于扇面的制作，大部分學(xué)生會(huì)選擇疊合法進(jìn)行裁剪，那么，扇子張角的大小與對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)大小的轉(zhuǎn)化是否存在出入？這就導(dǎo)致作一個(gè)角與另一個(gè)角相等的第二條線上的點(diǎn)難以確定.

通過(guò)以上分析，筆者摒棄了上述兩種教學(xué)法，選擇了最常規(guī)的量角器畫(huà)角法，引導(dǎo)學(xué)生切身體驗(yàn)尺規(guī)作圖的樂(lè)趣，為滲透數(shù)學(xué)思想方法，形成結(jié)構(gòu)化思維奠定基礎(chǔ).

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

問(wèn)題1大家還記得用量角器測(cè)量角的流程嗎？誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)量角器具有哪些功能？

生1：用量角器測(cè)量角的具體步驟為， ① 量角器的中心點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)角的頂點(diǎn)； ② 量角器0刻度線與角的一條邊重合； ③ 讀出角的另一條邊在量角器上的度數(shù)，如圖2所示.

師：非常好！那么，想要畫(huà)一個(gè)角與測(cè)量出來(lái)的角相等，該怎么操作呢？

生2：用量角器畫(huà)一個(gè)已知角，主要遵循以下流程， ① 將角的始邊畫(huà)出來(lái)； ② 根據(jù)角度到量角器上找到另外一條邊的數(shù)值點(diǎn)； ③ 連接始邊端點(diǎn)與另一條邊的數(shù)值點(diǎn)，形成終邊.

師：描述得很清楚，在此過(guò)程中量角器起什么作用？

生3：起確定角度的作用.

問(wèn)題2現(xiàn)在有一個(gè)沒(méi)有刻度的量角器，可否借助這個(gè)量角器畫(huà)出一個(gè)與已知角相等的角？

生4：沒(méi)有刻度的量角器在測(cè)量已知角的過(guò)程中，前兩個(gè)步驟沒(méi)有問(wèn)題，但是第三步無(wú)法完成.

師：是啊，本來(lái)我們確定了已知角的度數(shù)，在畫(huà)角時(shí)可根據(jù)這個(gè)度數(shù)來(lái)確定角另外一條邊的數(shù)值點(diǎn)，現(xiàn)在這個(gè)數(shù)值點(diǎn)難以確定了，該怎么辦呢？

生5：可以在這個(gè)沒(méi)有刻度的量角器上作一個(gè)記號(hào)，如圖3，測(cè)量角度時(shí)，在角的終邊上任選一點(diǎn)標(biāo)記為點(diǎn)A.在畫(huà)相等角時(shí)，前兩個(gè)步驟不變，第三個(gè)步驟以點(diǎn)A作為終邊上的一點(diǎn)，即可順利完成畫(huà)圖任務(wù).

問(wèn)題3現(xiàn)在，我們繼續(xù)增加難度.若只有與量角器類似的輪廓或半圓形的弧，可否利用直尺與圓規(guī)作出一個(gè)與已知角相等的角呢？

這個(gè)問(wèn)題給學(xué)生帶來(lái)了較大挑戰(zhàn)，借助沒(méi)有刻度的量角器畫(huà)角的過(guò)程，已經(jīng)讓不少學(xué)生認(rèn)識(shí)到“數(shù)形轉(zhuǎn)化”的作用，現(xiàn)在這個(gè)問(wèn)題又該怎么解決呢？

如圖4，借助圓規(guī)將量角器的弧創(chuàng)造出來(lái)，據(jù)此可順利畫(huà)出與已知角半徑相等的半圓.那么，弧線長(zhǎng)短該如何確定？根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，圓規(guī)具有明確線段長(zhǎng)度的作用，基于“化曲為直”的思想，通過(guò)對(duì)弧線兩個(gè)端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段來(lái)明確弧線的長(zhǎng)短，可順利探尋到所畫(huà)的角正好位于圓弧上的標(biāo)志點(diǎn).

問(wèn)題4如圖5，將半圓中無(wú)關(guān)的弧線去掉，留下終邊上與 A 點(diǎn)位置相關(guān)的一段弧線，結(jié)合以上探索流程，嘗試用直尺與圓規(guī)自主繪制一個(gè)與已知角相等的角．

生6：如圖6，將點(diǎn) o 作為圓心，選擇任意長(zhǎng)度為半徑，借助圓規(guī)畫(huà)弧，使畫(huà)出來(lái)的弧線與角的兩邊分別相交于 c ， D 兩點(diǎn)；任意取一點(diǎn)作為點(diǎn)O^′ ，以點(diǎn) O^′ 為端點(diǎn)畫(huà)一條射線 O^′A^′ ，將點(diǎn) O^′ 作為圓心，以 oc 的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)圓弧，與 O^′A^′ 相交于點(diǎn) C^′ ；再將點(diǎn) C^′ 作為圓心，線段 CD 為半徑畫(huà)圓弧，與上一段弧相交于點(diǎn) D^′ ；連接點(diǎn)O^′ ， D^′ 并正向延長(zhǎng)，形成射線 O^′B^′ ，由此獲得 ∠AOB=∠A^′O^′B^′. ：

設(shè)計(jì)意圖縱觀整個(gè)教學(xué)流程，可見(jiàn)學(xué)生的思維親歷了用“量角器$$ 沒(méi)有刻度的量角器 $$ 半圓 $$ 圓弧”畫(huà)已知角相等角的過(guò)程，循序漸進(jìn)的尺規(guī)作圖過(guò)程進(jìn)一步深化了學(xué)生對(duì)作一個(gè)角等于已知角的理解.如此設(shè)計(jì)，與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律高度契合，學(xué)生的思維在階梯式問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下拾級(jí)而上，獲得了豐富的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，踐行了“深度學(xué)習(xí)”理念，同時(shí)還滲透了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想、類比思想等數(shù)學(xué)思想方法有了更深刻的理解.

思考與感悟

1.課堂活動(dòng)設(shè)計(jì)需合理

為了上好一節(jié)課，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)之前，大多會(huì)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)情特點(diǎn)展開(kāi)設(shè)想.關(guān)于“作一個(gè)角等于已知角”的教學(xué)，筆者結(jié)合自身認(rèn)知，首先想到的是利用圓與折扇展開(kāi)探索.然而，學(xué)生對(duì)圓的性質(zhì)并不熟悉，在探索作圖時(shí)很可能出現(xiàn)思維障礙；折扇雖然涵蓋了實(shí)操活動(dòng)，與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》所倡導(dǎo)的加強(qiáng)手腦協(xié)作訓(xùn)練也相匹配，但操作材料的準(zhǔn)備以及操作過(guò)程比較復(fù)雜，會(huì)占用大量的課堂時(shí)間，得不償失.從教學(xué)“合理性”的維度來(lái)看，這兩種教學(xué)方案都不夠科學(xué).

綜合考量學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平、已有的知識(shí)儲(chǔ)備與探索經(jīng)驗(yàn)，筆者發(fā)現(xiàn)量角器作圖是最合理的引導(dǎo)素材，即使是沒(méi)有刻度的量角器，也能使學(xué)生根據(jù)自身的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)著手畫(huà)圖.由此可見(jiàn)，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際需求與認(rèn)知特點(diǎn)來(lái)選擇合理的教學(xué)素材，可豐富學(xué)生在課堂上的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)階，真正實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)打下基礎(chǔ).

2.教學(xué)體驗(yàn)過(guò)程需充分

關(guān)注學(xué)生在課堂上的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，可達(dá)到減負(fù)增效的教學(xué)效果.根據(jù)學(xué)生在課堂上的學(xué)習(xí)體驗(yàn)情況，庫(kù)伯教授提出了一個(gè)“體驗(yàn)學(xué)習(xí)圈”模型，該模型認(rèn)為學(xué)生在課堂上的學(xué)習(xí)狀態(tài)為“具體體驗(yàn)一觀察思考一數(shù)學(xué)抽象一新的體驗(yàn)”的順次循環(huán)[2].本節(jié)課教學(xué)中，筆者結(jié)合實(shí)際教學(xué)需求選擇了量角器這一素材，學(xué)生在觀察、思考、分析與作圖過(guò)程中，親歷了4個(gè)層次的體驗(yàn)：量角器畫(huà)角 $$ 沒(méi)有刻度的量角器畫(huà)角 $$ 半圓弧畫(huà)角 $$ 尺規(guī)畫(huà)角.學(xué)生的每一個(gè)探索過(guò)程，都形成了具身體驗(yàn)，隨著探索難度的層層遞進(jìn)，思維也拾級(jí)而上，尺規(guī)作圖法也隨之誕生.

從整體上看，尺規(guī)作圖法的重點(diǎn)在于作圖思路，即如何將已知角搬運(yùn)到所作角的位置，并借助尺規(guī)精準(zhǔn)地作出大小相同的角度.要想解決這個(gè)問(wèn)題，就需學(xué)生積極主動(dòng)地探尋作圖原理，找到相應(yīng)的作圖方法，以夯實(shí)知識(shí)與方法基礎(chǔ)，讓學(xué)生在操作過(guò)程中產(chǎn)生深刻、直觀的操作體驗(yàn)，為揭示尺規(guī)作圖的本質(zhì)作好鋪墊：

3.需關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生“三會(huì)”“四基與四能”的發(fā)展，還要注重?cái)?shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育.如何借助豐富的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維進(jìn)階，發(fā)展數(shù)學(xué)理性精神與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？實(shí)踐表明，結(jié)合認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，利用豐富的實(shí)操活動(dòng)前增強(qiáng)學(xué)生的探索精神，讓學(xué)生在豐富的學(xué)習(xí)體驗(yàn)中提煉數(shù)學(xué)思想方法是促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的關(guān)鍵，也是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要舉措.

尺規(guī)作圖屬于幾何推理與實(shí)操活動(dòng)深度融合的過(guò)程，學(xué)生在探索過(guò)程中親歷分析、推理過(guò)程，無(wú)形中提升了幾何直觀、空間觀念、推理能力等核心素養(yǎng).

總之，數(shù)學(xué)是一門充滿活力的學(xué)科，尺規(guī)作圖的方法并不固定.事實(shí)證明，只有“明理”，才能從真正意義上“得法”.因此，教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，需重點(diǎn)關(guān)注學(xué)情與教情，盡己所能地為學(xué)生創(chuàng)造更多的時(shí)間與空間，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦，讓學(xué)生深度體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)的成就感，形成終身可持續(xù)發(fā)展的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]周斌.追求深度思維凸顯價(jià)值取向—“尺規(guī)作圖作一個(gè)角等于已知角”教學(xué)實(shí)錄［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（10）：8-10.

[2」張愛(ài)平，沈雪英.融人數(shù)學(xué)體驗(yàn)活動(dòng)的教學(xué)實(shí)踐與思考一以“作一個(gè)角等于已知角”為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（4）：33-36.