作圖驅(qū)動(dòng)思考 評(píng)價(jià)引領(lǐng)教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）07-0055-06引用格式：，．作圖驅(qū)動(dòng)思考評(píng)價(jià)引領(lǐng)教學(xué)：用尺規(guī)作 30^° 角的問(wèn)題探研[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2025（7）：55-60.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)加強(qiáng)尺規(guī)作圖教學(xué)，對(duì)于學(xué)生增強(qiáng)幾何直觀、深刻理解幾何知識(shí)、提高推理能力等方面有重要價(jià)值．無(wú)運(yùn)動(dòng)，不幾何．尺規(guī)作圖是學(xué)生“做中學(xué)”的物化載體，加強(qiáng)尺規(guī)作圖教學(xué)，能讓靜態(tài)的數(shù)學(xué)靈動(dòng)起來(lái)，增添數(shù)學(xué)的秀色．為了更好地引導(dǎo)教師關(guān)注作圖教學(xué)，落實(shí)“教一學(xué)一評(píng)”一致性，嘗試把尺規(guī)作圖嵌于2023年濱州市義務(wù)教育學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)八年級(jí)試卷中.

二、課標(biāo)定位

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）中對(duì)尺規(guī)作圖的相關(guān)要求如下.

（1）能用尺規(guī)作圖：作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線；過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線.

一、題目呈現(xiàn)

題目尺規(guī)作圖是數(shù)學(xué)歷史文化中的瑰寶，圍繞它曾產(chǎn)生過(guò)許多有趣的問(wèn)題和故事．如作圖“三大不能”問(wèn)題、費(fèi)馬素?cái)?shù)與尺規(guī)作圖、高斯與尺規(guī)作正十七邊形等，給后人留下寶貴的精神財(cái)富．拿起尺規(guī)，玩轉(zhuǎn)乾坤，試發(fā)揮自己的聰明才智，用尺規(guī)作出 ∠ABC= 30^° ．（要求：用兩種不同的方法作圖，不寫(xiě)作法，保

（2）能用尺規(guī)作圖：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形.

（3）能用尺規(guī)作圖：過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形；過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線.

（4）在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖

痕跡，不要求寫(xiě)出作法.

在初中階段，尺規(guī)作圖對(duì)于培養(yǎng)中學(xué)生的思維能力和推理能力有著重要作用，是將書(shū)本知識(shí)和實(shí)際動(dòng)手解決問(wèn)題相結(jié)合的一種途徑．下面就從這道題出發(fā)，研究如何引導(dǎo)學(xué)生用尺規(guī)作圖的方法作 30^° 角，并分析其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

三、教學(xué)導(dǎo)引

1.構(gòu)造 60^° 角的一半

作為八年級(jí)的學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)，先立足八年級(jí)學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平構(gòu)想該題的解法．相應(yīng)地，作為課堂教學(xué)，同樣從學(xué)段出發(fā)利用教材已有資源進(jìn)行引導(dǎo)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)逆向探究作圖思路，進(jìn)一步熟練基本作圖方法，使得幾何的核心知識(shí)在動(dòng)手操作中得以理解與深化.

首先，人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”）八年級(jí)上冊(cè)“13.3.2等邊三角形”的“探究”提供了一個(gè)很好的 30^° 角的作法．“探究”內(nèi)容如下.

如圖1，將兩個(gè)含 30^° 角的全等的三角尺擺放在一起，你能借助這個(gè)圖形，找到 RtΔABC 的直角邊 BC 與斜邊 AB 之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

觀察圖1可知， ΔABD 是等邊三角形，AC既是∠BAD的平分線，也是邊 BD 上的中線和高線， 根據(jù)以上結(jié)論，從作圖角度出發(fā)，可以引導(dǎo)并幫助學(xué)生得到以下作圖方法.

方法1：利用等邊三角形的定義構(gòu)造等邊三角形，再通過(guò)作角平分線得到 30^° 角.

作法：如圖2，先分別以點(diǎn)A、點(diǎn) B 為圓心， AB 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，作等邊三角形 ABD ，再作∠ABD的平分線BC，則∠ABC就是所求作的角.

方法2：構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)作底邊的垂直平分線，也能達(dá)到平分角的效果.

作法：如圖3，先作等邊三角形 ABD ，再作線段AD的垂直平分線交 AD 于點(diǎn) C ，則∠ABC就是所求作的角.

這兩種方法都是構(gòu)造 60^° 角的一半，也是大多數(shù)學(xué)生能想到的最簡(jiǎn)單、最基本的方法，是對(duì)“作一個(gè)角的平分線”“作一條線段的垂直平分線”這兩個(gè)基本尺規(guī)作圖的靈活應(yīng)用.

2.利用含 30^° 角的直角三角形的性質(zhì)構(gòu)造 30^° 角

若教學(xué)進(jìn)程到八年級(jí)下學(xué)期，第十八章“平行四邊形”的數(shù)學(xué)活動(dòng)1“折紙作 60^° ， 30^° ， 15^° 的角”則通過(guò)折紙給出了作 30^° 角的方法.

活動(dòng)：如果我們身旁沒(méi)有量角器或三角尺，又需要作 60^° ， 30^° ， 15^° 等大小的角，可以采用下面的方法作角．如圖4，先對(duì)折矩形紙片ABCD，使 AD 與BC重合，得到折痕 EF ，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在 EF 上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM.同時(shí)，得到了線段BN.觀察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC ，這三個(gè)角有什么關(guān)系？你能證明嗎？

通過(guò)證明可知，這是從矩形得到 30^° 角的好方法，簡(jiǎn)單而準(zhǔn)確．由此， 15^° ， 60^° ， 120^° ， 150^° 等角就容易得到了.

不難發(fā)現(xiàn)，這道題與人教版教材八年級(jí)上冊(cè)“13.3.2等邊三角形”的“探究”有異曲同工之妙，用直觀的拼接和折疊來(lái)體現(xiàn) 30^° 角.在圖4中，連接 AN 構(gòu)建等邊三角形，既為方法1和方法2提供了證明過(guò)程，也為下面的作圖提供了思路.如此進(jìn)行不同時(shí)段教學(xué)的銜接，能更好地體現(xiàn)知識(shí)、方法的前后聯(lián)系，促進(jìn)認(rèn)知的結(jié)構(gòu)化.

需要說(shuō)明的是，學(xué)生在八年級(jí)只學(xué)習(xí)了“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 30^° ，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，借助上述“平行四邊形”一章的數(shù)學(xué)活動(dòng)1提供的思路，可以根據(jù)這個(gè)定理的逆定理“在直角三角形中，直角邊與斜邊的比為 時(shí)，直角邊所對(duì)的角為 30^° ”（可以證明）來(lái)作圖.

方法3：利用人教版教材八年級(jí)下冊(cè)“平行四邊形”一章的數(shù)學(xué)活動(dòng)1中的圖形來(lái)還原 30^° 角.

作法：如圖5，作線段 AD ，分別以點(diǎn)A、點(diǎn) D 為圓心，以大于 的任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，作線段 AD 的垂直平分線 BC ，再以點(diǎn)A為圓心， AD 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交直線 BC 于點(diǎn) B ，則ABC就是所求作的角.

方法4：利用定理“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 30^° ，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”作具有二倍關(guān)系的線段，再根據(jù)“已知一直角邊和斜邊求作直角三角形”作 RtΔABC

作法：如圖6，作線段 a ，線段 PQ=2a ，在直線l上取點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作直線 l 的垂線，在垂線上截取線段AC=a 再以點(diǎn) C 為圓心，線段 PQ 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線 l 于點(diǎn) B ，則 ∠ABC 就是所作的角.

以上作圖方法的本質(zhì)都是從等邊三角形出發(fā)，利用等邊三角形的性質(zhì)，從角平分線、中線、高線等方面進(jìn)行探索，再根據(jù)基本尺規(guī)作圖的方法作出 30^° 的角.

3.運(yùn)用角的和差關(guān)系構(gòu)造 30^° 角

我們?cè)倩氐饺私贪娼滩陌四昙?jí)下冊(cè)“平行四邊形”一章的數(shù)學(xué)活動(dòng)1，如圖4，可知 ∠NBC=30^° 可以由ABC減去ABN，也就是在直角里減去等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角，從而得到 30^° 的角．既然這樣，就可以引導(dǎo)學(xué)生從角的和差即‘ 30^°=90^°-60^°=180^°- 90^°-60^° ”出發(fā)探求作圖之法.

方法5：利用 90^° 角和 60^° 角作差或作和，需要利用尺規(guī)構(gòu)建直角三角形和等邊三角形，

作法：如圖7和圖8，利用“過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線”構(gòu)造直角三角形，與等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角作差，得到 ∠ABC=30^°

方法6：除了利用 90^° 角和 60^° 角作圖，也可以思考其他角度是否可行，既要作出 30^° 角，又可以用尺規(guī)操作.

作法：如圖9，構(gòu)造等邊三角形和等腰三角形，即任意作等邊三角形 ADC ，延長(zhǎng) AD 并在其延長(zhǎng)線上截取BD=DC ，根據(jù)“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”，獲得 ∠ABC=30^° ，此時(shí)不難得到

任何方法的出現(xiàn)都不是空穴來(lái)風(fēng)，利用角的和差關(guān)系作角源于人教版教材七年級(jí)上冊(cè)“4.3.2角的比較與度量”的“探究”（如圖10，借助三角尺畫(huà)出 15^° ，75^° 的角，用一副三角尺，你還能畫(huà)出哪些度數(shù)的角？試一試）.

4.利用圓的性質(zhì)構(gòu)造 30^° 角

以上方法的獲取均是在八年級(jí)學(xué)生已有的知識(shí)水平上進(jìn)行的探索．在批閱試卷過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)有學(xué)生用到了九年級(jí)要學(xué)習(xí)的圓的相關(guān)知識(shí)來(lái)作圖．因此，可以基于整個(gè)第四學(xué)段去思考定位題目，充分挖掘其應(yīng)有的功能價(jià)值，一以貫之地發(fā)揮其作用．下面我們?cè)趫A中探研一下如何落實(shí)用尺規(guī)作 30^° 角的教學(xué).

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“能用尺規(guī)作圖：過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形.”借此就可以獲得一些特殊角，進(jìn)而利用圓周角定理及“直徑所對(duì)圓周角為直角”等推論實(shí)施角的和差作圖.

依據(jù)教學(xué)進(jìn)程，當(dāng)學(xué)生對(duì)圓心角、弦、弧等關(guān)系有一定的認(rèn)知時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生完成 30^° 角的尺規(guī)作圖.

方法7：如圖11，作 ?B 的直徑MN，過(guò)點(diǎn) B 作MN的垂直平分線 AB ，以點(diǎn) M 為圓心，BM長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交 ?B 于點(diǎn) C ，則 ∠ABC 就是所求作的角.

當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到“直徑所對(duì)的圓周角是直角”時(shí)可以形成方法8.

方法8：如圖12，作 ?C 的直徑 AD ，以點(diǎn) D 為圓心， CD 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交 ?C 于點(diǎn) B ，連接 BC ， BD ，AB ，則 ∠ABC 就是所求作的角.

在圖12中，我們發(fā)現(xiàn) ∠A=30^° ， ，可以利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”作直角三角形，在直角三角形中作直角邊等于斜邊的一半，還發(fā)現(xiàn) ∠A= 1 ∠BCD=30，即利用圓周角的定理也可以作出 30°角，作法略．接下來(lái)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生在圓中利用圓周角的定理作 30^° 角.

以方法8為依托，作 60^° 的圓心角，由同弧所對(duì)的圓周角為 30^° ，得到方法9.

方法9：如圖13，構(gòu)造等邊三角形DEF，以頂點(diǎn) E 為圓心，小于 DE 的任意長(zhǎng)為半徑作圓，根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半”作 30^° 角.

既然可以在一個(gè)圓中作圖，自然會(huì)想到在兩個(gè)圓中試試．其實(shí)，人教版教材九年級(jí)上冊(cè)習(xí)題24.2第13題（如圖14，等圓 ?0₁ 和 相交于 A ， B 兩點(diǎn)， 經(jīng)過(guò) $＼textcircled { ＼cdot } O O _ { 2 }$ 的圓心 O₂ ，求 ∠O₁AB 的度數(shù)）就給出了一個(gè)很好的方法．教學(xué)時(shí)，在完成這道題的基礎(chǔ)上，若引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察與思考，不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)過(guò)程就是尺規(guī)作圖的完整過(guò)程．作兩個(gè)彼此過(guò)圓心的等圓，連接兩個(gè)圓心及兩圓的一個(gè)交點(diǎn)，即得等邊三角形，再連接公共弦即得方法10.

態(tài)，故而在八年級(jí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，也可以在思考怎樣實(shí)現(xiàn) 60^° 角和等邊三角形時(shí)拓展出來(lái)，并非在學(xué)過(guò)圓后才想到用圓相關(guān)的方法.

方法10：如圖15，以線段 AD 長(zhǎng)為半徑，分別以點(diǎn)A和點(diǎn) D 為圓心作 ?A ， ?D ： ?A 與 ?D 交于點(diǎn) B 和點(diǎn) C 連接 AB ， BD ， BC ，則 ∠ABC 就是所求作的角.

以方法10為原型，進(jìn)一步思考，還可以獲得另一種作圖方法.

方法11：如圖16，以線段 oc 長(zhǎng)為半徑，分別以點(diǎn) o 和點(diǎn) C 為圓心作 ?o ， ?C ： ?o 與 ?c 交于點(diǎn) A 連接 AO ，AC.在 ?o 上任取一點(diǎn) B ，連接 AB ， BC ∠ABC 就是所求作的角.

方法10和方法11的本質(zhì)還是在圓中構(gòu)造等邊三角形，再利用圓周角得到 30^° 角.

綜合以上所有作圖方法，我們不難發(fā)現(xiàn)作 30^° 角就是從 30^° 角的特殊性出發(fā)，找與它相關(guān)的特殊角、特殊邊，如特殊的 60^° 角和 90^° 角、等邊三角形、直角三角形等.通過(guò)作圖凸顯幾何直觀與邏輯推理的聯(lián)手之力．另外，利用圓作圖的方法產(chǎn)生于“圓”一章的學(xué)習(xí)，由于尺規(guī)作圖利用的是直尺與圓規(guī)，作圓就是常

四、教學(xué)啟示

1.對(duì)師生重視教材的引導(dǎo)：題在書(shū)外，根在書(shū)內(nèi)，重在根深葉茂

在“用好教材”理念的指引下，教師要重視教材中一些經(jīng)典問(wèn)題的教學(xué)功能．教材是教材編寫(xiě)人員的集體智慧，習(xí)題的編擬也是經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)的，我們?cè)谘凶x教材時(shí)，既要認(rèn)真研讀教材的編寫(xiě)意圖，又要思考它對(duì)學(xué)生已有知識(shí)的承上啟下的作用．這就要求教師在深入研讀習(xí)題的情況下，也要對(duì)其進(jìn)行必要的拓展，讓學(xué)生看到并看出一些較難題不是橫空出世，而是由熟悉的經(jīng)典問(wèn)題一步一步生長(zhǎng)、拓展出來(lái)的，讓學(xué)生充分感知到“題在書(shū)外，根在書(shū)內(nèi)”的命題定位，以便于學(xué)生重視教材而不是教輔書(shū)，進(jìn)而有效規(guī)避知識(shí)的碎片化，實(shí)現(xiàn)“解一題、會(huì)一類(lèi)、通一片”的效果，讓學(xué)生立足教材建立有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu).

2.對(duì)尺規(guī)作圖教學(xué)的引導(dǎo)：看似動(dòng)手，實(shí)則動(dòng)腦，重在探究明理

從該題的得分情況來(lái)看是不理想的．從題目本身來(lái)看，考查兩種及以上基本作圖的組合作圖比考查單一的基本作圖難度大，這是不爭(zhēng)的事實(shí)，但也同時(shí)暴露出我們平時(shí)教學(xué)中存在的問(wèn)題，應(yīng)引起教師的注意．教師若不能因勢(shì)利導(dǎo)，轉(zhuǎn)變就圖論圖的操作性作圖觀念，就會(huì)在當(dāng)下素養(yǎng)立意的命題下敗下陣來(lái)．綜觀近年來(lái)各地中考試卷，不難發(fā)現(xiàn)尺規(guī)作圖題不再只是對(duì)單一的作圖技法的操作考查，更注重考查在操作過(guò)程中所蘊(yùn)含的作圖原理、思維過(guò)程等．但在當(dāng)下大多數(shù)的課堂教學(xué)中，尺規(guī)作圖被弱化為一種操作，當(dāng)成技能訓(xùn)練去反復(fù)強(qiáng)化，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)作圖原理認(rèn)識(shí)不足，無(wú)法構(gòu)建作圖的完整思維過(guò)程．反復(fù)強(qiáng)化練習(xí)的結(jié)果就是學(xué)生只知其形，不明其理．在學(xué)生對(duì)作圖原理認(rèn)識(shí)不足的情況下，會(huì)出現(xiàn)亂作圖、編造圖等情況，無(wú)法體現(xiàn)尺規(guī)作圖的教學(xué)價(jià)值．在上述作圖方法中，通過(guò)對(duì)教材上的一些探究或習(xí)題的追本溯源，我們看到了教材中的例題、習(xí)題與考試題的必然聯(lián)系，既體現(xiàn)了知識(shí)的拓展性和試題的可塑性，又體現(xiàn)了在尺規(guī)作圖題中“說(shuō)理”的重要性．因此，在平時(shí)尺規(guī)作圖的教學(xué)中，教師要把分析和作圖與計(jì)算、證明等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)聯(lián)系起來(lái)，要踏著基本作圖（這其實(shí)就是數(shù)學(xué)模型）形成的基石，朝向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的建構(gòu)，步步進(jìn)階．

關(guān)于這一點(diǎn)，《標(biāo)準(zhǔn)》其實(shí)已經(jīng)給出了明確要求：“經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過(guò)程，增強(qiáng)動(dòng)手能力，能想象出通過(guò)尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念和空間想象力.”該題既突出了尺規(guī)作圖蘊(yùn)含的教學(xué)價(jià)值，又暴露了當(dāng)前尺規(guī)作圖教學(xué)中存在的問(wèn)題，很好地指引了尺規(guī)作圖教學(xué)的方向.

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