操作型問(wèn)題求解策略探究

中考數(shù)學(xué)中，有關(guān)操作型問(wèn)題的基本解題策略的總結(jié)如下：首先，面對(duì)尺規(guī)作圖類(lèi)問(wèn)題，需熟練掌握基本作圖原理，如線段的等分、垂直平分線的構(gòu)造等，同時(shí)靈活運(yùn)用這些原理解決特定問(wèn)題；其次，在處理圖形的分割與組合時(shí)，應(yīng)具備良好的空間想象能力，能夠預(yù)見(jiàn)不同分割方式對(duì)結(jié)果的影響，并巧妙利用面積、周長(zhǎng)等不變性原理.另外，對(duì)于折疊問(wèn)題，可通過(guò)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為更熟悉的幾何問(wèn)題，簡(jiǎn)化求解過(guò)程，總之，對(duì)中考數(shù)學(xué)中的操作型問(wèn)題的求解，不僅需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，更需具備靈活的思維轉(zhuǎn)換能力和深厚的解題策略?xún)?chǔ)備，只有在日常學(xué)習(xí)中，通過(guò)不斷練習(xí)與總結(jié)，才能逐步提升解決此類(lèi)問(wèn)題的能力，從而取得理想的數(shù)學(xué)成績(jī).

1作圖問(wèn)題

在解決作圖類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需要分析題目要求，明確作圖目標(biāo)，然后選擇合適的作圖方法和技巧.例如，我們可以考慮使用角的平分線性質(zhì)或線段垂直平分線的相關(guān)性質(zhì)來(lái)作圖.這些基本性質(zhì)是作圖問(wèn)題中的基石，它們?yōu)槲覀兲峁┝嗣鞔_的作圖步驟和依據(jù)，而且當(dāng)題目難度提升，對(duì)作圖技巧有更高要求時(shí)，我們可以考慮利用圖形的對(duì)稱(chēng)軸、圖象平移來(lái)改變圖形的位置，利用圖象的旋轉(zhuǎn)來(lái)找到特定的角度和形狀.無(wú)論是依賴(lài)基本性質(zhì)還是運(yùn)用幾何變換，都需要保證作圖的準(zhǔn)確性和精確性，從而確保最終結(jié)果的正確性.

例1（2024·山西長(zhǎng)治初三聯(lián)考）下面是某公眾號(hào)發(fā)布的一篇數(shù)學(xué)短文，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，以解決不同的平面幾何作圖問(wèn)題.我們可以利用尺規(guī)將一個(gè)圖形的面積加倍，并保持所得圖形與原圖形相似，

例如，如圖1，已知正方形ABCD.

求作：正方形 MBNG ，使正方形MBNG的面積是正方形ABCD的2倍，且點(diǎn) M，N 分別在BA， BC 邊的延長(zhǎng)線上.

圖1

作法： ① 連接 BD ，作射線BA，BC；② 以點(diǎn) B 為圓心， BD 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交射

線BA，BC于點(diǎn) M，N ：

③ 分別以點(diǎn) M，N 為圓心， BM 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在 ∠MBN 內(nèi)部交于點(diǎn) G ：

④ 連接 MG，NG ，則四邊形MBNG即為所求.

事實(shí)上，以正方形ABCD的對(duì)角線為邊長(zhǎng)的正方形都符合要求！…

任務(wù)：

（1）按照材料中的作法，在圖1中作出正方形MBNG ;

（2）如圖2，已知AB是 ?O 的直徑，求作 ?B ，使 ?B 的面積是?O 的2倍.（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法.）

圖2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用尺規(guī)作圖、正方形及圓的基本性質(zhì)、勾股定理解三角形.第（1）問(wèn)直接作圖即可；第（2）問(wèn)先作線段 AB 的垂直平分線交圓于點(diǎn) c ，連接 BC ，以點(diǎn) B 為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作圓即可.解決問(wèn)題的核 ∴ 是掌握基本的作圖方法，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2分割組合問(wèn)題

在解決分割與組合問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于敏銳地捕捉到所研究圖形的特殊性，如等腰或等邊三角形中的特殊性質(zhì)，如邊長(zhǎng)相等、角度特定等.另外，可以巧妙地利用這些特殊量，通過(guò)將它們轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)、角度、對(duì)角線等形式，來(lái)精準(zhǔn)地進(jìn)行圖形的分割或組合.這樣往往能夠揭示出隱藏的圖形關(guān)系，構(gòu)造出具有特殊性質(zhì)的圖形，從而為解決問(wèn)題打開(kāi)新的思路.因此，在求解有關(guān)分割與組合問(wèn)題時(shí)，需要深入剖析圖形的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，充分挖掘和利用其特殊性，以靈活的思維和創(chuàng)新的方法，找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵路徑.

例2（2024·上海楊浦初三期末）上海教育出版社七年級(jí)第二學(xué)期《練習(xí)部分》第60頁(yè)習(xí)題14.6（2）第5題及參考答案.

題目：過(guò)下面三角形（圖3）的一個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)一條直線，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形.

圖3

參考答案（如圖4、圖5）：

圖4

圖5

小華在完成了以上解答后，對(duì)分割三角形的問(wèn)題產(chǎn)生了興趣，并提出了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解答：

問(wèn)題1如圖3， ΔABC 中， ∠A=120^° ∠B= 40^°，∠C=20^° ，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案把 ΔABC 分割成兩個(gè)小三角形，其中一個(gè)小三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)與原三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別相等，另一個(gè)小三角形是等腰三角形.請(qǐng)直接畫(huà)出示意圖并標(biāo)出等腰三角形頂角的度數(shù)（示意圖畫(huà)在答題卡上）；

問(wèn)題2如果有一個(gè)內(nèi)角為 26^° 的三角形被分割成兩個(gè)小三角形，其中一個(gè)小三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)與原三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別相等，另一個(gè)小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大內(nèi)角的度數(shù)所有可能值為 ；

問(wèn)題3如圖6，在△ABC中， ∠A=60^° ∠B= 70^°，∠C=50^° ，在 ΔDEF 中， ∠D=60^° ∠E=85^° ∠F=35^° ，分別用一條直線分割這兩個(gè)三角形，使ΔABC 分割成的兩個(gè)小三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)與ΔDEF 分割成的兩個(gè)小三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)兩種不同的分割方案，直接畫(huà)出示意圖并標(biāo)出相應(yīng)的角的度數(shù)（示意圖畫(huà)在答題卡上）.

圖6

點(diǎn)評(píng)：本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、角的平分線的作圖、作一個(gè)角等于定角、三角形內(nèi)角和定理.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是要注意用角平分線分割之后，得到的三角形的形狀及角度問(wèn)題.另外，要注意利用構(gòu)造角的平分線、構(gòu)造等角等方法，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)、角的平分線的作圖、作一個(gè)角等于定角是解題的關(guān)鍵.

3圖形折疊問(wèn)題

圖形折疊問(wèn)題是幾何變換問(wèn)題的一種，首先要明確折疊操作對(duì)圖形產(chǎn)生的影響，比如，哪些元素（如長(zhǎng)度、角度）在折疊后保持不變，哪些元素發(fā)生了變化，對(duì)比折疊前后的圖形，可以發(fā)現(xiàn)一些關(guān)鍵的等量關(guān)系或幾何特征，深入理解折疊的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握折疊前后圖形的變化規(guī)律，靈活運(yùn)用幾何基本性質(zhì).這類(lèi)題型不僅考驗(yàn)學(xué)生對(duì)幾何基本性質(zhì)的掌握，而且要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確分析折疊前后圖形的變化量和不變量.利用這些關(guān)系，我們可以更高效地解決問(wèn)題，達(dá)到事半功倍的效果.

例3（2024·江蘇鎮(zhèn)江初三期中）矩形紙片ABCD 中， AB=6 BC=10 ，點(diǎn) P 在 AB 邊上，點(diǎn) Q 在BC 邊上，將紙片沿 PQ 折疊，使頂點(diǎn) B 落在平面內(nèi)點(diǎn)E 處.

（1）折痕的端點(diǎn) P 與點(diǎn) A 重合，如圖7.

圖7

圖8

① 當(dāng) ∠CQE=40^° 時(shí)， ∠AQB=^° ② 當(dāng)點(diǎn) E 恰好在線段 QD 上時(shí)，求BQ 的長(zhǎng).

（2）若點(diǎn) E 恰好落在邊 AD 上，如圖8，當(dāng) AE=3 時(shí)，求BQ的長(zhǎng).

點(diǎn)評(píng)：這類(lèi)問(wèn)題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，核心就是要注意利用折疊性質(zhì)找到后來(lái)圖形的有關(guān)等式或者角的度數(shù)，以及圖形的形狀，有時(shí)注意利用分類(lèi)討論思想求解.

4一般求解策略

在中考數(shù)學(xué)中，操作型問(wèn)題因其實(shí)踐性強(qiáng)、綜合性高，成為重要的考查內(nèi)容.針對(duì)這類(lèi)問(wèn)題，可以總結(jié)出一套具有實(shí)踐指導(dǎo)意義的一般求解策略：首先，明確操作目標(biāo)，結(jié)合題意提煉出核心任務(wù)，如構(gòu)造特定圖形、完成圖形轉(zhuǎn)化等.其次，回歸基本原理，依據(jù)題型特征選用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)與幾何工具，比如，作圖問(wèn)題中依賴(lài)角平分線、垂直平分線、等腰三角形等基本作圖原理與幾何變換方法，確保每一步操作有理有據(jù)、符合構(gòu)造邏輯.再次，在圖形分割與組合問(wèn)題中，要注重圖形的特殊性質(zhì)與構(gòu)造策略，如利用等腰三角形與等邊三角形的角、邊特征，或者根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性和角度關(guān)系進(jìn)行拆解重構(gòu)，以揭示隱藏的結(jié)構(gòu)關(guān)系.此外，操作型問(wèn)題的解決離不開(kāi)動(dòng)態(tài)思維與空間想象力的支持，學(xué)生要善于將靜態(tài)圖形視為變化過(guò)程中的一個(gè)階段，通過(guò)動(dòng)手操作、圖形變換與數(shù)形結(jié)合的方式探尋解題路徑.最后，強(qiáng)調(diào)解題過(guò)程中的“可驗(yàn)證性”和“規(guī)范性”，如作圖中需保留清晰痕跡、折疊問(wèn)題中需標(biāo)明對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和輔助線，確保操作準(zhǔn)確.

綜上所述，操作型問(wèn)題的解題策略應(yīng)融合對(duì)基本原理的熟練掌握、圖形特征的靈活運(yùn)用、空間思維的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)換與規(guī)范表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)訓(xùn)練于一體，唯有通過(guò)持續(xù)的積累與反思，才能在中考中穩(wěn)步提升解題能力.