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明晰線段中點與角平分線的幾何真諦

2025-08-12 00:00:00井維蘭
數(shù)理天地(初中版) 2025年12期
關(guān)鍵詞:等量平分線作圖

例1如圖1所示,在平行四邊形ABCD中,以點 B 為圓 ∴ ,以適當?shù)拈L為半徑作弧,分別交 BA .BC 于點 M,N ,又分別以 M,N 為圓心,以大于MN的長為半徑作弧,兩弧交于點O,作射線BO,交線段 AD 于點 E ,交 CD 延長線于點 F ,若 CD=3 .DE=2 ,則下列結(jié)論錯誤的是( )

圖1

(A) 1∠ABE=∠CBE (B)BC=5. (C)DE=DF · (204

答案 (D).

解析結(jié)合題意,可先通過作圖過程對(A)選項進行判斷,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到 AB= CD D,AD=BC 等內(nèi)容,再利用相似三角形的性質(zhì)判斷其他選項.

由圖1可得, BF 為 ∠ABC 的角平分線,則∠ABE=∠CBE ,故(A)正確.

因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以 AB=CD , AD=BC ,AD//BC,AB//CD, 由 AD//BC 可得 ∠CBE=∠AEB ,因為 ∠ABE=∠CBE ,等量代換可得 ∠ABE=∠AEB 則 AB=AE=CD=3 ,所以 BC=AE+ED=AB+ED=3+2=5 故(B)正確.因為 AB//CD ,可得 AB//CF ,則 ∠ABE=∠F ,又因為 ∠AEB=∠DEF ,可得到 ΔABE~ΔDEF 所以 因為 所以 DF=2 ,而 DE=DF=2 ,故(C)正確.

(D)是錯誤的.

例2如圖2所示,在 RtΔABC 中, ∠C=90° .以點 B 為圓心、任意長為半徑畫弧,分別交 AB,BC 于點 M,N ,又分別以 M,N 為圓心,以大于 的長為半徑作弧,兩弧交于點 P ,作射線 BP 交 AC 于點 D ,作 DE⊥AB ,點 E 為垂足,則下列結(jié)論不正確的是( )

圖2

( A)BC=BE ·

(B)DC=DE :

(C)BD=AD ·

(D)BD 一定經(jīng)過 ΔABC 的內(nèi)心.

答案 (C).

解析本題利用垂徑定理、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心等性質(zhì)作圖,再根據(jù)作圖過程對(A)(B)選項進行驗證,最后通過三角形的內(nèi)心的性質(zhì)對(D)選項進行判斷.

由作圖過程,可知 BD 是 ∠ABC 的角平分線,

因為 ∠C=90° ,且 DE⊥AB ,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得 CD=DE ,故(B)正確.

由角角邊(AAS)得 ΔBDC?ΔBDE ,進而可得 BC=BE ,故(A)正確.

根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得, BD 一定經(jīng)過ΔABC 的內(nèi)心,故(D)正確.

但題意并未說明 DE 是 ∠ADB 的角平分線,所以選項(C)無法證明.故(C)錯誤.

例3如圖3所示, ∠A=90°,AB=AC,BD⊥ AB,BC=AB+BD :

(1)嘗試寫出 AB 與 BD 的數(shù)量關(guān)系;

(2)延長 BC 到 E ,使得 CE=BC ,又延長 DC 到點 F ,使 CF=DC ,連接 EF ,寫出 EF⊥AB 的證明過程;

(3)在(2)的條件下,作 ∠ACE 的角平分線,交AF 于點 H ,試寫出 AH=FH 的證明過程.

解析本題第(2)問可根據(jù)題意依據(jù)倍長中線法則,將線段延長一倍構(gòu)造全等三角形;第(3)問可由題目提供的線段等量關(guān)系寫出證明過程,

圖3
圖4

(1)由題意可得 ∠A=90° .AB=AC ,可得ΔABC 是一個等腰直角三角形,

由此可得 ,又因為 BC=AB+BD ,可得

則 AB 與 BD 之間的數(shù)量關(guān)系為 BD.

(2)作圖,如圖4所示,由題意可得 BC=CE ,

∠1=∠2 ,且 CF=DC ,

所以 ΔCBD?ΔCEF ,

則可得 ∠E=∠CBD ,

可得 BD//EF .因為 BD⊥AB ,

所以可證得 EF⊥AB :

(3)作圖,如圖5所示,延長 AB 和 EF 兩條線段交于點 M ,連接 AF ,延長 CH 交 ME 于點 G

圖5

由題意和第(2)問可知 AC⊥AB,EF⊥AB ,

所以 EF // BD ,

即 ME//BD ,

可得 ∠ACG=∠EGC

由題意可知 CG 是 ∠ACE 的角平分線,

所以 ∠ACG=∠ECG ,

所以 ∠CGE=∠ECG ,

由等角對等邊可得 EC=EG ·

又因為 ΔCBD?ΔCEF ,

所以 EF=BD CE=CB ,

由等量代換可得 CB=EG ,

因為 BC=AB+BD ,

所以 EG=AB+BD=AC+EF ,

即 FG+EF=AC+EF ,

所以 AC=FG

又因為 AC//FG ,

所以 ∠CAH=∠HFG

由角角邊(AAS)得 ΔACH?ΔFGH ,由全等

形的對應邊相等可得 AH=FH :

結(jié)語

在對線段的中點及角平分線性質(zhì)的運用過程中,可借助倍長中線、線段等量關(guān)系的內(nèi)容梳理大致框架,在證明線段相等、三角形全等及利用角平分線的定義和性質(zhì)定理進行角度、長度等計算時,可根據(jù)這些關(guān)系進行等量代換,熟練運用相關(guān)技巧解決幾何的應用問題,為后續(xù)的深入探究學習奠定堅實的基礎(chǔ).

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