單元教學中的深度學習實踐探索

1教材分析

1.1內容分析

勾股定理在數學發展史上有重要的地位和作用，是定量幾何的基礎定理，它揭示的是直角三角形中三邊的數量關系，可以用來解決直角三角形中的計算問題，是解直角三角形的主要根據之一。學生通過勾股定理的學習，對直角三角形有進一步的認識，為后續學習解直角三角形打下基礎。

1.2學情分析

學生已具備一定的幾何證明基礎，能夠進行一般的推理論證。學生已經學習了直角三角形的性質及推論，但對于邊的數量關系沒有明確思考方向。本節課從學習無理數時的遺留問題出發，借助面積割補法來猜想、驗證勾股定理。

1.3教學目標

理解用面積割補方法證明勾股定理的思路，初步掌握勾股定理，能用勾股定理解決一些簡單的計算問題。

經歷“探索——研究——運用”的過程，體會數形結合的數學思想和由特殊到一般的研究問題方法，增強學習數學的興趣和探究學習的意識。

通過參與驗證勾股定理的活動，積累數學活動的經驗，增強幾何直觀和實際操作能力，培養合作學習及嚴謹的學習態度。

2教學過程

2.1問題引入

問題：我們已經研究過三角形哪些邊、角關系？

教學說明：從學生已有的知識體系入手構建研究路徑，明確本節課研究目標。

2.2探索新知

問題1 "在直角三角形中，直角邊與斜邊有怎樣的大小關系？為什么？

定理：在直角三角形中，斜邊大于直角邊。

教學說明：思考直角邊與斜邊大小關系，使學生對“斜邊大于直角邊”有定性的認識。

問題2 "在直角三角形中，斜邊和兩條直角邊間有沒有某種等量關系？

在七年級，我們進行過如下操作：把邊長為1的兩個正方形分別沿著一條對角線剪開，把所得的四個直角三角形拼成一個面積為2的正方形”

思考2-1：如何說明所拼圖形是正方形？

思考2-2：如圖，兩個小正方形邊長為1，由它們所分成的四個等腰直角三角形拼成一個大正方形，面積是______。

分別以小等腰直角三角形的各邊為邊向外部作正方形，S1=______，S2=______，S3=______。滿足怎樣的等量關系？在Rt△ABC中，AB2=______，AC2=______，BC2=______。此時Rt△ABC三邊滿足怎樣的等量關系？

教學說明：指向直角三角形中斜邊與兩直角邊的等量關系，引導學生從數量方面進一步探索。調動學生已有知識經驗，從面積關系探討邊長關系，從特殊到一般進行分析。

思考2-3：如圖1，若兩個小正方形邊長為m（m為正實數），由它們所分成的四個等腰直角三角形拼成一個大正方形，其面積是______。

此時，S1=______，S2=______，S3=______。滿足怎樣的等量關系？在Rt△ABC中，AB2=______，AC2=______，BC2=______。此時Rt△ABC三邊滿足怎樣的等量關系？

教學說明：將小正方形邊長由1改為m，引向對一般等腰直角三角形的探究。

問題3 "等腰直角三角形“兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”的性質，兩直角邊不相等的直角三角形是否也具有呢？

教學說明：由等腰直角三角形推向一般直角三角形提出猜想。圖形從特殊到一般的變化，直觀呈現問題3提出的命題。

活動：如圖，用4個全等的直角三角形拼出一個邊長為c的正方形。

教學說明：作為等腰直角三角形拼正方形的自然延伸，充分運用學生已有知識經驗，小組展示分享。

思考3-1：正方形ABDE的面積是多少？

思考3-2：圖中空白部分的四邊形FCHG的形狀是什么？

思考3-3：正方形FCHG的面積是多少？

思考3-4：正方形ABDE的面積還可以如何計算？

※當a與b越來越接近時，b-a趨近于 0，大正方形內部出現的空隙面積越趨近于0。等腰直角三角形的拼法是本拼法的特例。

教學說明：借助幾何畫板演示說明，加強直觀性和動態感。

小結：“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”為真命題，a2+b2=c2、[S1=S2+S3]成立。

勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。

符號語言：在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，

∴AC2+BC2=AB2．

教學說明：教師板書，總結歸納，并用數學語言敘述勾股定理。