激發學生主動性 實現復習高效率

復習課是九年級數學教學的重要組成部分，通過復習課教學可以有效回顧學過的知識，鞏固加深對舊知的理解，使零碎化、片面化的知識經過整合之后系統化、結構化.

根據學習進程，九年級的復習課有階段復習、學期復習和應對中考的全面復習.全面復習按階段目標又可以分為基礎復習、專題復習、回扣復習三輪復習.在第一輪基礎復習階段，需要對初中三年所學知識進行全面系統的復習，在這個階段常常會出現以下問題：教師以講解為主，學生以記憶知識、機械練習為主，導致學生缺乏學習興趣，潛能得不到有效挖掘.這個階段教師應該結合學生發展需求，依據復習課的內容精心備課，從知識梳理、例題講解、鞏固訓練與反思總結等方面著力，促使學生主動學習、深度學習，提高復習效率.第一，創新知識梳理的方式，讓學生主動梳理.如學生課前自主復習，畫出知識結構框圖，完成知識梳理.又如教師在課上精心設計問題情境，在解決問題的過程中帶出各個知識點.以全等三角形的復習為例，可以給出一組三角形，讓學生找出其中全等的三角形并說出判斷依據.第二，精選典型例題包括但不限于中考真題，配備變式題進行鞏固，從一題多解到一題多變，從常規題到創新型題目，教師采用啟發式、互動式教學，激發學生探究興趣，引領學生主動進行方法探索、方法總結，提升學生發現問題、提出問題、分析問題與解決問題的能力.第三，發揮課堂小結的作用，鼓勵學生主動進行自我監控.一節課復習效果怎么樣，小結時可以讓學生對照知識梳理回顧重點知識、重點方法，整理重難點題目，將復習過的知識系統化、結構化，進而再次完善知識結構框圖，實現從知識層面到能力層面的提升，從而發展學生的數學核心素養，

筆者以九年級一輪復習階段復習課“直角三角形與勾股定理”為例，淺析如何根據復習課特點，利用好課堂主陣地，激發學生學習的主動性，提高復習課的效率.

1復習引入，知識梳理

師：關于直角三角形與勾股定理，我們學習了哪些內容？

生：有一個角是直角的三角形是直角三角形；直角三角形兩銳角互余，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方， 30^° 角所對的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；滿足兩條邊的平方和等于第三條邊平方的三角形是直角三角形；兩個內角互余的三角形是直角三角形.

師：哪位同學展示一下你的知識結構框圖？

兩位學生利用希沃視頻展臺展示自己所畫的知識結構框圖并給出了簡要說明.

2題組練習，考向探究

題組一：勾股定理與拼圖.

師：你能用圖1和圖2中的這三個直角三角形拼出一個直角梯形嗎？

生：能.

學生畫圖自主嘗試.

師：圖1中的兩個直角三角形什么關系？判斷依據是什么？

生：全等，斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（HL）.

師：展示一下你拼成的直角梯形并說明理由.

一位學生上臺展示并說明理由.

師：設圖1中的直角三角形的另外一條直角邊長為 b ，觀察拼成的直角梯形，對于 a，b，c 的關系你有什么發現？

生： a²+b²=c² .如圖3，設梯形的面積為 s ，由梯形面積公式，可得 ： （a+b）（a+b） ，而梯形的面積又可以表示成三個直角三角形的面積之和，得 從而推出 a²+b²=c²

師：我們利用什么方法證明了勾股定理？

生：等積法.

師：剛才我們得到的這個拼圖在歷史上被稱作詹姆斯·加菲爾德總統拼圖.想一想，你還知道其他證明勾股定理的方法嗎？

生：用趙爽弦圖、畢達哥拉斯拼圖也可以證明.

師：觀察下面兩組圖形（圖4、圖5），你有什么發現？同桌交流說一說你的結論.

題組二：直角三角形的性質.

師：利用直角三角形的性質完成例1，請一名學生來板書.

例1（2022·杭州改編）如圖6，在 RtΔACB 中， ∠ACB= 90^°，∠A=50^°，M 為 _AB 的中點，點 E 在線段 AM 上， EF⊥AC 于點F ，連接 CM，CE .已知 ∠ACE=30^° （1）求證： CE=CM ：

（2）若 AB=4 ，求線段 EF，FC 的長.

學生自主完成，教師巡視，重點關注學生幾何語言組織能力，并進行個別指導.

師生共同對照學生的板書梳理解題思路，

師：現在請同學們思考下面的練習1，然后邀請一 名同學當小老師講講這道題.

練習1 （2021·新疆）如圖7所示，在 RtΔABC 中，∠ACB=90^° ， ∠A=30^° ，AB=4，CD⊥AB 于點 D，E 是 AB 的中點，則 DE 的長為（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

生：因為 ∠ACB=90^°，E 是 _AB 的中點，所以 因為 ∠ACB=90^° ∠A= 30^° ，所以 ∠B=60^° 所以 ΔBCE 為等邊三角形.又CD⊥AB 于點 D ，所以 BE=1.故選：A.

師：講解準確，邏輯清晰，很好的示范！

題組三：勾股定理及其逆定理的應用.

師：利用勾股定理怎么求直角三角形的邊呢？請同學們完成例2.

例2如圖8，一棵高為 16m 的大樹被臺風刮斷.若樹在離地面6m 處折斷，則樹頂端落在離樹底部多遠處？

師：例2是個實際問題，首先應該怎么處理？

生：轉化成數學問題.如圖9，在 RtΔABC 中， ∠ACB=90^° BC+AB=16，BC=6 ，求 AC 的長.

師：然后呢？

生： BC+AB=16，BC=6 ，則

AB=10 ，在 RtΔABC 中由勾股定理可以直接求出AC=8

師：同學們思路清晰，勾股定理運用得很熟練.現在再來思考下面這個問題.

練習2如圖10，小梅同學折疊一個直角三角形的紙片，使點 A 與點 B 重合，折痕為 DE ，若 AB= 10cm BC=6cm ，你能求出 CE 的長嗎？

學生自主完成，教師巡視指導.

師：求 CE 的主打思路是什么？

生：如圖11，連接 BE ，在 RtΔBCE 中利用勾股定理來求解.

師：具體呢？

生：在 RtΔABC 中， ∠ACB= 90^°，AB=10cm，BC=6cm ，由勾股定理得 AC=8cm .設 CE=x ，則 AE=8-x ，由題意 DE 是 AB 的垂直平分線，所以 BE=AE=

8-x ，在 RtΔBCE 中由勾股定理求出 cm.

師：比較例2和練習2，你發現了什么？

生：兩道題目涉及利用勾股定理求直角三角形的邊的兩種基本思路.第一種是直接求，當知道直角三角形的兩邊，運用勾股定理可直接求第三條邊；第二種是間接求，當知道直角三角形的一邊以及另外兩邊的關系，可由勾股定理構建方程來求未知的邊.

師：總結到位，給力！其實涉及高的問題往往都可以借助于勾股定理這個強有力的工具解決，比如下面的例3.

例3如圖12所示，在 RtΔABC 中， ∠ACB= 90^°，AC=4，BC=3，CD⊥AB 于點 D ，則這個直角三角形斜邊上的高CD長為多少？

師：求CD有哪些方法？請同學們獨立完成后小組內進行交流.

師：哪個小組分享一下你們的方法？

組1：利用等積法，根據三角形面積的不同表示方法建立方程求出 CD 的長；也可以利用勾股定理，設AD 的長為 x ，在 RtΔACD 和 RtΔCBD 中分別表示出高 CD 的平方，列出方程求出 x ，再求 CD 即可.

師：還有別的方法嗎？

組2：利用三角形相似建立方程，根據 RtΔACD 或者 RtΔBCD 與 RtΔABC 相似，利用對應邊的比相等可以求出 CD ：

師：答案是2.4，也可以寫成 ，你們做對了嗎？不錯，都做對了.下面我們挑戰本題的一道變式題，也是一道典型的易錯題.

教師出示變式題，學生自主嘗試.

變式（2021·齊齊哈爾）直角三角形的兩條邊長為3和4，則這個直角三角形斜邊上的高為

師：本題和例題3有區別嗎？

生：條件不同，本題中并未指明3和4是直角三角形的什么邊，需要分類討論，即分3和4為兩條直角邊，3為直角邊4為斜邊兩種情況.

師：說出你們的答案. （204號

生：

師：關于三角形的問題，有時候需要作出高構造直角三角形來解決問題.現在我們來探究這種情況.

課件展示練習3，給學生留足思考時間.一段時間后學生合作交流.

練習3如圖13，在 4×4 正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點.若 ΔABC 的頂點均是格點，則 cos∠BAC 的值是

師；如何求 cos∠BAC 的值？

生：利用定義，需要構造直角三角形.

師：如何構造直角三角形呢？構造出直角三角形之后具體如何求呢？

生：如圖14，作 CD⊥AB 于點 D ，用等積法求出CD ，再利用勾股定理求出 AD ，進而求出 cos∠BAC 師：求 CD 也可以用勾股定理，還有別的方法嗎？

生：如圖15，延長 AC 交 4×4 正方形網格于格點E ，連接 BE ，利用勾股定理逆定理可以證明三角形ABE 是直角三角形，進而求出求 cos∠BAC

師：也可以由 ΔBEC 兩側的兩個直角三角形全等推出 ∠BEC=90^° ：

學生整理思路，求出正確答案

3系統總結，能力提升

師生共同回顧和總結本節課知識，畫出的知識結構圖如圖16所示.

{定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形（1）直角三角形的兩個銳角互余（2）在直角三角形中，如果一個銳角等于 30^° ，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半性質（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（4）勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為直角三角形 二 a_λ，b 邊為 c 90^° 三角形是直角三角形（2）兩個內角互余的三角形是直角三角形判定（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長 _a，b，c 滿足 a²+b²=c² ，那么這個三角形是直角三角形面積：SR△ABC 2ch，其中a，b為兩條直角邊長，c 為斜邊長， ?h 為斜邊上的高.等積法：用于勾股定理的探索過程及解決與高相關的求思想 長度問題.方法 ①單勾股方程思想 ② 雙勾股：利用公共邊列方程③ 利用面積相等列方程

4教學思考

直角三角形是特殊的三角形，在初中數學中占有非常重要的地位.筆者這節課依據課標要求，剖析教材內容，結合學生學情，創新教學方式方法，一方面注重基礎，系統復習了直角三角形的定義、性質、判定和面積等知識，另一方面，滲透數學思想方法，注重學生的能力提升.整個教學實踐充分發揮了學生的主體地位，激發了學生的學習主動性，學生獲得了“四基”，強化了“四能”，發展了數學核心素養.