巧用“1\"的代換解題

“1\"是奇妙的數(shù)字，也是基本的數(shù)字，它在有些數(shù)學(xué)題中起到了缺“1\"不可的作用，“1”的代換往往能產(chǎn)生出奇制勝的效果，它不僅能建立已知條件與所求結(jié)論的聯(lián)系，而且能讓學(xué)生從整體的角度去審視問題、分析問題和解決問題

1 “1\"在三角函數(shù)中的妙用

在三角函數(shù)求值問題中，有 sin²α+cos²α=1 tan- 4 =1，….當(dāng)題目中出現(xiàn)某個(gè)三角函數(shù)關(guān)系式等于“1\"時(shí)，可以考慮將它整體代換.

例1若tan θ=3 ，則

由題意可知

cosθ（sinθ+cosθ）=

點(diǎn)求解本題的關(guān)鍵是將原式化簡(jiǎn)后，把分母“1”用 sin²θ+cos²θ 替換，繼而通過分子、分母同時(shí)除以 cos²θ ，實(shí)現(xiàn)了向正切的轉(zhuǎn)化，為已知條件的運(yùn)用創(chuàng)造了條件.

例2若 則

解析

中 可得

所以 即tan ，則

故選D.本題根據(jù)兩角和的正切公式化簡(jiǎn)得tan θ= ，再根據(jù)二倍角的正弦公式及同角三角函

數(shù)的基本關(guān)系得解，順利化簡(jiǎn)的關(guān)鍵是把“1”看成

tan

例3若 sinα+sin²α=1 ，則 cos²α+cos⁴α= 因?yàn)?sinα+sin²α=1 ，且 cos²α+sin²α=1 所以 sinα=1-sin²α=cos²α ，故cos²α+cos⁴α=cos²α（1+cos²α）= sin α（1+sinα）=sinα+sin²α=1. 號(hào)本題根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系 cos²α+ sin²α=1 化簡(jiǎn)得s ，再將 cos²α+ cos⁴α 轉(zhuǎn)化為 sinα+sin²α ，最后利用已知條件整體代換得出答案.

2“1\"在基本不等式中的妙用

對(duì)于多元最值問題，為避免多次運(yùn)用基本不等式，常常將條件等式的右側(cè)變形為“1\"的形式，然后利用\"1\"的代換將待求最值的代數(shù)式變形為可一次運(yùn)用基本不等式求最值的模型，

例4 已知 ΔABC ，點(diǎn) D 在線段 BC 上（不包括端點(diǎn)），向量 ，則 的最小值為（ ）.

A. B. 設(shè) ，則 故 .結(jié)合 可得 x+y=1 ，且 xgt;0，ygt;0 ，故

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，等號(hào)成立，即 的最小值為 ，故選D.

點(diǎn) 本題根據(jù)向量的線性運(yùn)算確定 x+y=1 ，且評(píng) xgt;0，ygt;0 ，再將 轉(zhuǎn)化為+ 1+2）（x十y），將其展開后利用基本不等式即可求得答案.

例5 已知正數(shù) a_λ，b_λ 滿足 a+2b=1 ，則 的最小值為

由題意可得 a+1+2b=2 ，則

當(dāng)且僅當(dāng) ， a+2b=1 ，即 a= 時(shí)，等號(hào)成立，故 的最小值為

根據(jù)題意可得a+1+2b ，進(jìn)而利用“1”的代換將待求最值的代數(shù)式變形為 ，并結(jié)合基本不等式輕松解題.

3“1\"在其他方面的妙用

“1\"的代換作為一種整體思想，還可以用來解決其他問題，如復(fù)數(shù)中的運(yùn)算、求代數(shù)式的值、解方程等，

例6設(shè)非零復(fù)數(shù) x，y 滿足 x²+xy+y²=0 ，則

A.2-1989 B.-1C. 1 D.以上答案都不對(duì)

令 y=ωx ， ω≠1 ，代人已知條件得 1+ω+ω²=0?（1-ω）（1+ω+ω²）=0， 即 ω³=1 ，則

故選B.

在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，若 ，則 ω³=1 ，-（ω+ω²）=1 ，利用該結(jié)論可以對(duì)相關(guān)復(fù)數(shù)計(jì)算問題實(shí)施“1”的代換，以減小計(jì)算量.

例7 （1）已知 ab=1 ，求 的值.

（2）若 abc=1 ，解關(guān)于 x 的方程

（1）由題意可得

（2）因?yàn)?abc=1 ，所以

則

所以

即 5x=1 ，解得

本題第（1）問根據(jù)題意將 ab=1 代入式中化簡(jiǎn)計(jì)算即可得解；本題第（2）問將 abc=1 代入方程后化簡(jiǎn)計(jì)算即可得解，從中可以看出“1”的代換的奧妙.

（完）