齊次化方法在圓錐曲線中的應用類型分析

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16-0057 -04

分析近五年的全國高考數學試卷，2020年全國理科Ⅰ卷第20題、2020年新高考Ⅰ卷第22題，以及2022年新高考Ⅰ卷第21題都考查了定點、定值問題.這些題目用齊次化方法去求解，可以減少計算量，有助于培養學生多角度觀察和解決問題的能力.

1圓錐曲線中齊次化的類型分析

1.1 圓錐曲線上一點與曲線上另外兩點的斜率之和（或之積）問題

對于點在圓錐曲線上，運用齊次化方法解題可以采用兩種方法：一是平移坐標系，將該點移成新坐標系下的原點；二是對圓錐曲線和直線的方程進行構造，出現斜率式子中的分子和分母，然后再進行齊次化.下面我們用齊次化方法推導一般性結論.

定理1 直角弦性質：張角為直角，直線過定點

過橢圓 上任意定點 P（x₀ y₀ ）作直線 PM 與 PN 交橢圓于 M，N 兩點，當 PM⊥ PN 時，直線 MN 過定點

由 MP⊥NP ，則 即 （x₀-x₁）（x₀-x₂）+（y₀-y₁）（y₀-y₂）=0. 其中 所以 又因為直線MN不過點 P（x₀，y₀） ，所以 kx₀-y₀+m≠0 所以 a²（y₀+kx₀+m）-b²（y₀+kx₀-m）=0. 即 （a²-b²）y₀=k（b²-a²）x₀-（a²+b²）m. （204號 即直線 MN 過定點

證法2 將坐標原點移至點 P ，這樣在新坐標系下橢圓方程為： 化簡，得 b²（x+x₀）²+a²（y+y₀）²-a²b²=0. 由 b²x₀²+a²y₀²=a²b² ，得 設直線 MN 在新坐標系下方程為 mx+ny=1 ，將 b²x²+a²y²+2（b²x₀x+a²y₀y）（mx+ny）=0 化簡，得 （b²+2b²mx₀）x²+（a²+2a²ny₀）y² （204號

等式兩邊同時除以 x² ，令 ，得（ a²

（

兩根為k和k，由-1=kk=（a2+2a2ny） ，則 直線MN在新坐標系下過定點

-2a2），再將坐標系平移回去，得

可得直線MN過定點 證法3 收圓卞積x2

，展開化簡，得

設直線 ，將直線

l_yN 方程和 ① 式聯立，得

化簡，得

在上式等號兩邊同時除以 （x-x₀）² ，令 k （20

方程的兩根分別是 k_PM，k_PN ，由題目條件 k_PMk_PN =-1 和韋達定理可得 即 代入直線 l_MN 方程有 得定點坐標 用上述齊次化的方法，我們可以得出雙曲線、拋物線中直角弦的性質.

定理2 過雙曲線 上任 意定點 M（x₀，y₀） 作直線 MA 與 MB 交雙曲線于 ^A，B 兩點，當 MA⊥MB 時，直線 AB 過定點（

定理3 過拋物線 y²=2px（pgt;0） 上任意定點M（x₀，y₀） 作直線 MA 與MB交拋物線于 ^A，B 兩點，當 MA⊥MB 時，直線 AB 過定點 （2p+x₀，-y₀）.

說明 上述定理1和定理2的結論可以統一為過定點 -2），其中e為離心率.

1.2圓錐曲線上一定點與圓錐曲線上另外兩點連線的傾斜角互補，兩點連線斜率為定值

定理4過圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）上一定點傾斜角互補的兩條直線與該圓錐曲線的另兩個交點的連線的傾斜角為定值.

下面我們以橢圓證明為例，給出此性質的證明，雙曲線和拋物線證明方法可以參照橢圓的證明方法.

在上述定理1證法3中的 ② 式，由兩條直線傾斜角互補可得 k₁+k₂=0 ，再由韋達定理可得 =0，所以kMN = 直線 l_MN 斜率為定值.

1.3在圓錐曲線外的一點與圓錐曲線上兩點連線斜率之和（或之積）為定值問題

例1已知橢圓的中心為 o ，長軸、短軸的長分別為 2a，2b（agt;bgt;0），A，B 分別為橢圓上的兩點，且 OA⊥OB ，求證 為定值[1].

證明 因為 o 是坐標原點，所以橢圓方程不用變形，我們設直線 l_AB ： mx+ny=1 與橢圓方程聯立，得

在方程的兩邊同時除以x2，令k =-0， 有

兩根為 k_OA，k_OB ，由 OA⊥OB 和韋達定理可得

整理化簡，得 所以

其中 h 為原點 o 到直線 l_AB 的距離.由點到直線的距離公式可得 所以 即 為定值.

1.4給出的斜率關系不明顯，經過轉化才可以變成兩斜率之和或之積的問題.

例2已知 ^A，B 分別為橢圓 E 1）的左、右頂點， G 為 E 的上頂點， 為直線 x=6 上的動點， PA 與 E 的另一交點為 δ_C，PB 與 E 的另一交點為 D

（1）求 E 的方程；

（2）證明：直線 CD 過定點.

解析 （1）橢圓 E 的方程為

（2）設 P（6，t） ，其中 t∈R ，則 且 k_PB=3k_PA

又由橢圓的第三定義可得，

我們不妨設直線 CA 的斜率為 k ，則直線 BD 的斜率為 3k ，直線 CB 的斜率為

則

構造橢圓方程 +y²=1 ，化簡得

設直線 l_cD ： m（x-3）+ny=1 和 ③ 聯立，得 整理化簡，得

-3）y=0.方程兩邊同時除以（-3）2，令 =-0，

即 =0，兩根為kBc，kBD·由條件 和韋達定理可得

解得 直線 l_cD ： 令 y=0 ，可得直線 CD 過定點

1.5 斜率關系確定，但是曲線方程不明顯，要求出動點的軌跡方程

例3過橢圓 的右焦點 F 作兩條相互垂直的弦 AB，CD ，弦 AB，CD 的中點分別為 M，N. （20證明：直線 MN 過定點.

證明設動點 M（x，y） ，由弦中點的性質，運用

點差法，可以得到

化簡，得 這是動點 M，N 所在的曲線方程 C ，將曲線方程

+1）=0 化簡，得 C^′ ： 設直線 l_MN ： m（x-1）+ny=1 和曲線 C^′ 方程

聯立，則 展開整理，得

在方程兩邊同時除以（x-1）2，令k =-0， 則 兩根為 k_FM，k_FN ，再由題目條件 FM⊥FN 和韋達定理可得kFmkN=-1=3+3m， ，求出 （2直線 l_MN ，令 y=0 可得定點坐標為

2 結束語

應用齊次化方法求解圓錐曲線問題，關鍵在于找出兩直線斜率之積或之和為定值的條件，通過構造齊次方程，運用方程思想求解相關問題，這要求學生熟練掌握坐標系平移、方程拆分化簡、曲線軌跡求解以及幾何圖形的代數轉化等知識.此類題目綜合性強，著重考查學生綜合分析與解決問題的能力.圓錐曲線知識兼顧了幾何和代數的特點，具有圖形美、結論美、思想美等特點.在高三復習過程中，教師應該引領學生回歸教材，引導學生從多角度對題目進行分析和探究，重視挖掘試題的根源，嘗試一題多解[2]，讓學生動手去算，對每一種類型的題型給出訓練的變式和方法總結，提升學生整理化簡計算的能力，多角度、多方法活躍學生思維，培養學生的數學核心素養.

參考文獻：

[1］人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書人教A版：數學（選修4-4坐標系與參數方程）[M].北京：人民教育出版社，2005.

[2]楊永清.借題生長廣探究，挖掘本真妙化歸：與斜率有關的圓錐曲線定點及定值齊次化法求解初探［J]．中學數學教學參考（上旬），2024（31） ：38 -40.

[責任編輯：李慧嬌]