一道2024年北京大學暑假學堂數學試題的探究

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16-0033-03

2024年北京大學暑假學堂數學試題的考查內容比較豐富，涵蓋函數與方程、不等式、數論、平面幾何、排列組合等，對考生的數學素養和綜合能力進行了全面而深入的考查.試題的總體難度介于全國高中數學聯賽預賽和賽區決賽一試之間，其中第1題是一道有限制條件的三元最值問題，該題簡潔且內涵豐富，很有新意.本文呈現該試題解法，并對試題進行變式與拓展探究，供讀者參考.

1題目呈現與解答

題目 （2024年北京大學暑假學堂數學試題第1題）已知正實數 a，b，c 滿足 a+b+c=1 ，求 的最大值.

解法1 由均值不等式，得

于是

又由 可得 從而，有 （204號

當 時，等號成立.同理，得 （204號故

所以當 時

的最大值為解法2 由均值不等式，得

同理

結合權方和不等式，得

所以當 時 的最大值為

解法3 設 +λ（a+b+c-1） ，則 則 于是 a=b=c ，結合 a+b+c=1 ，解得 從而有 所以當 時 的最大值為

解法4 先證：當 x∈（0，1] 時， 因為 ，所以 當 時，等號成立.

由 ^a，b，c 是正實數，且 a+b+c=1 ，可得 a∈ （0，1] ，b∈（0，1]，c∈（0，1] 于是，可得 （204號所以 所以當 時 的最大值為

評注解法4的解題思路是切線放縮：設 f（x） 故 f（x） 在（0，1]上是上凸函數，且 從而 f（x） 雞在難 處的切線為 所以恒有 切線放縮是解答與凸函數有關問題的常用做法，解法巧妙、自然[1]

2 試題的變式

變式 已知非負實數 a，b，c 滿足 a+b+c=1 ， 求 的取值范圍.

解析由 ^{a，b，c} 是非負實數，且 a+b+c=1 ，可得 a∈[0，1]，b∈[0，1]，c∈[0，1]，

先證：當 x∈[0，1] 時 因為 1，得證，當 x=0 或 x=1 時，等號成立.

從而，可得

故當 ?a，b，c 中有兩個為0，且另一個為1時， 的最小值為 結合原題，可知 的最大值為

所以 的取值范圍為

3試題的拓展

拓展1 已知正實數 ?a，b，c 滿足 a+b+c=1 ， 求 的最小值.

解析先證：當 x∈（0，1] 時 因為 所以 當x 時，等號

成立.由 ^{a，b，c} 是正實數，且 a+b+c=1 ，可得 a∈

（0，1] ，b∈（0，1]，c∈（0，1]. （2所以 所以

所以當 時 的最小值為

拓展2 已知非負實數 a，b，c 滿足 a+b+c μ=1Λ ，求 的取值范圍.

解析由 ^a，b，c 是非負實數，且 a+b+c=1 ，可得 a∈[0，1]，b∈[0，1]，c∈[0，1].

由權方和不等式，可得 先證：當 x∈[0，1] 時 因為 ，所以 ，當 x=0 或 x=1 時，等號成立.所以 當 a=1，b=c=0 時，等號成立.所以 的取值范圍為

4 結束語

學數學離不開解題.在解題過程中，我們要聯系所學知識，認真思考，善于轉化條件，從不同思維角度探尋多種解題方法，積極嘗試一題多解.同時，數學試題靈活多變，恰當的試題變式與拓展有助于深化理解，對強化解題思想和方法具有積極作用.因此，我們要重視題目的變式訓練，注重總結與反思，積累并完善解題方法.如此，便能串聯數學知識，拓寬解題思路，提升自身的解題能力.

參考文獻：

[1］黃俊峰.例談切線放縮法在函數不等式證明中的應用[J].中學數學研究，2022（04）：45-46.