參數方程在解析幾何中的應用賞析

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A

參數方程是曲線方程的一種表示形式，它是解析幾何的重要工具.對于高中數學中的解析幾何題，學生常用普通方程進行解答，不但運算量大，而且容易出錯.若巧妙構建直線和圓錐曲線的參數方程，能夠快速有效地解決相關問題[1]，下面筆者通過具體實例加以說明.

1 利用參數方程求最值問題

最值問題是解析幾何中的常見題型之一，解決此類問題可運用函數思想、幾何性質、均值定理、參數方程、向量法等多種方法.

例1設 A 為橢圓 上的一動點，又已知點 C（8，4） ，以 AC 為對角線作矩形ABCD，使 AB//x 軸， AD//y 軸，求矩形ABCD 面積的最大值.

解析 設點 ，則矩形ABCD的面積 S=（8-4cosθ）（4-2sinθ）=8[4 .令 t=sinθ+cosθ ，兩邊平方得 代人化簡得 S=4（t-2）² +12 因為 ，所以當 t=1 時， S_max=16 ，即文章編號：1008-0333（2025）16-0024-03矩形ABCD面積的最大值為16.

例2已知傾斜角為 α 的直線 ξ_l 經過點 M（2， 0），且直線 ξ_l 與曲線 x²+2y²=1 相交于 ^A，B 兩點，求 ∣MA∣?∣MB∣ 的最小值.

解析 設直線 l 的參數方程為 t是參數）， 0?αlt;π ，代入曲線方程整理，得（1+sin²α）t²+4tcosα+3=0 ，判別式 Δ=16cos²α ，解得 設點 M，N 對應的參數分別為 t₁，t₂ ，由參數 χ_t 的幾何意義得 所以 ∣MA∣?∣MB∣ 的最小值是

2利用參數方程求取值范圍問題

取值范圍問題是解析幾何中常見的考查內容之一，該問題類型較多，解法靈活多變，常見的有代數方法和幾何方法，若轉換思維方式，用參數法來解則可以鍛煉學生的一題多解能力.

例3 已知 E，F 是橢圓 上的兩點，收稿日期：2025-03-05作者簡介：趙林，本科，高級教師，從事高中數學教學研究.

線段 EF 的垂直平分線與 x 軸相交于點 G（k，0） ，求k 的取值范圍.

解析設點 E（4cosθ，3sinθ），F（4cosφ，3sinφ） 由垂直平分線的性質可知 ∣GE∣²=∣GF∣² .于是（k-4cosθ）²+（3sinθ）²=（k-4cosφ）²+（3sinφ）² 展開化簡得 7（cos²θ-cos²φ）=8k（cosθ-cosφ） .又因為線段 EF 的垂直平分線與 x 軸相交，所以cosθ-cosφ≠0 因此 ，且 cosθ+cosφ ?∈（?-2，2） .從而 即 k 的取值范圍是

例4已知M為橢圓C10 上的點， N 為圓 C₂：x²+（y-6）²=2 上的點，求IMNI的取值范圍.

解析設點 ，圓心 C₂（0，6） ，半徑 ，則 因為 -1?sinθ?1 ，所以 -1?3sinθ+2?5. 因此5 .由題意得 即IMNI的取值范圍是

3利用參數方程求動點軌跡問題

動點軌跡方程是解析幾何中的重要內容，也是近幾年各省高考的基本題型之一，解決這類問題的方法較多，需要依據問題的內部規律及知識之間的相互聯系找到最優解法.

例5已知橢圓 的長軸的左、右頂點分別為 ^A，B，C 是橢圓上任一點，引 AD⊥AC，BD⊥BC 且 AD 與 BD 的交點為 D ，求動點 D 的軌跡方程.

解析設點 C（3cosθ，sinθ） ，由題意知 A（ε-3 0）， B（3，0） ，且 cosθ≠±1，sinθ≠0. 所以

故直線AD的方程為y=_3（cos0+1） 直線BD的方程為y=_3（cos0 -1） ①×②得y2=9（cos20-1） 化簡整理得 ，即為動點 D 的軌跡方程.

例6已知直線l 和橢圓 ^°=1 ，從坐標原點 o 出發的射線與直線 l 和橢圓 E 分別相交于 ^A，B 兩點，若點 G 在線段 OA 上，且滿足∣OB∣²=∣OA∣?∣OG∣ ，求動點 G 的軌跡方程

解析 設射線所在直線的參數方程為

χ_t 是參數），分別代人直線 l 和橢圓 E 的

方程得： 及

設 t₁，t₂，t 分別是點 B，A，G 所對應的參數，由參數的

幾何意義得 ∣OB∣=t₁，∣OA∣=t₂，∣OG∣=t ，代人，得

因為 x=tcosα，y=tsinα ，所以 ③ ④ 又因為 ∣OB∣²=∣OA∣?∣OG∣ ，所以 t₁²=t₂?t ③÷④ ，得 所以動點 G 的軌跡方程是 6x²+8y²-3x-4y=0.

4利用參數方程求定點問題

解析幾何中的定點問題是歷年數學高考的難點之一，在求解過程中往往伴隨復雜的運算.提高解決此類問題的效率，對學生的思維深度、解題的專注度以及運算能力的培養，都有非常積極的意義.

例7已知過點 P（0，1） 且斜率為 k（k≠0） 的直線l 與橢圓 交于 ^A，B 兩點，點 Q 與點 B 關于 y 軸對稱，證明直線 AQ 過定點，并求出該定點坐標

解析 設點 A（cosα，2sinα），B（cosβ，2sinβ） θ（ε-cosβ，2sinβ） ，因為 k_PA=k_PB ，所以 去分母得 2sin（α-β）=-（cosα-cosβ） 即 因為α≠β ，所以 直線 AQ 的方程為 ，令 x=0 ，則

所以直線 AQ 過定點，該定點坐標是（0，4）.

例8 已知直線 ξ_l 與拋物線 C：y²=8x 相交于A，B 兩點，且直線 ξ_l 與 x 軸交于點 M ，若 為常數，證明點 M 為定點，并求點 M 的坐標

解析設點 M（m，0） ，直線 AB 的參數方程為 （ χ_t 是參數），將其代入拋物線方程，整理得 t²sin²α-8tcosα-8m=0. 設 ^A，B 兩點對應的參數分別為 t₁，t₂ ，則 t₁，t₂ 是方程的兩根，由韋達定理得 于是 （20當且僅當 m=4 時 為常數.

所以點 M 為定點，點 M 坐標為（4，0）.

5 利用參數方程求定值問題

解析幾何中的定值問題涉及的知識面廣，綜合性強.很多學生受思維定式的影響，往往采用代數法來做，解題過程很復雜，不如參數法簡單.

例9已知橢圓 G 的上頂點為 C 右頂點為 D ，若 M 是橢圓 G 上一點，直線 MC 與 x 軸交于點 E ，直線 MD 與 y 軸交于點 F ，求證： ∣DE∣? ∣CF∣ 為定值.

解析 設點 M（3cosθ，2sinθ） ，因為點 C（0，2） ，D（3，0），直線MD的方程為y=3cos0-3 ，令χ =0，得y=1-cos0 則 直線MC的方程為 ，令 y=0 ，得 x_E 則 ．即有 ∣DE∣θ?α

所以 |DE|?|CF| 為定值.

評注本題的一般方法是設直線 l 的方程是 y ξ=kx+m ，再根據已知條件得到 k 和 ?_m 之間的等量關系，消去 m 就可以求出 k 的值.但計算過程十分煩瑣，而采用參數法來做，可取得事半功倍的解題效果.

6 結束語

參數方程在解析幾何中是一枝獨秀的奇葩，它不僅是一種描述幾何對象的有效工具，還是解決幾何問題的重要方法[2].通過引入參數，可以將復雜的幾何問題轉化為簡單的代數問題，將二元問題轉化為一元問題，從而簡化問題的求解過程，這對于培養學生的解題能力、思維能力和創新能力都有著十分重要的作用.

參考文獻：

[1］周花香.圓錐曲線參數方程在數學解題中的使用［J].數理化學習，2022（11）：10-12.

[2]張超.巧構參數方程妙解數學問題[J].中學數學，2022（15）：59-61.

[責任編輯：李慧嬌]