探究圓錐曲線最值問題的解題方法

圓錐曲線最值問題綜合性較強，要想解決它，不僅要掌握圓錐曲線的定義，還要善于把握圓錐曲線與方程、函數、三角等相關知識，綜合應用.

1定義法

例1如圖1所示，雙曲線的方程x2-2 點 A 的坐標為 ！ B 是圓 1上的點，點 C 為其圓心，點 M 在雙曲線的右支上，則 ∣MA∣+∣MB∣ 的最小值為

思路分析本例題考查雙曲線的相關性質.首先，可根據雙曲線的方程確定雙曲線的兩個焦點，一點為點 A ，另一點設為點 D ，再連接 MD，BD ，結合雙曲線的定義求解.

解析 由題意知，雙曲線的焦點坐標為 ，所以點 A 為雙曲線的左焦點.如圖2所示，設雙曲線的右焦點為 D ，連接 MD BD ，由雙曲線的定義可知， ，則∣MA∣+∣MB∣=2a+∣MD∣+∣MB∣ .易知，當 M .B，D 三點共線時， ∣MD∣+∣MB∣ 最小，即 ∣MA∣+ ∣MB∣=2+∣MD∣+∣MB∣?2+∣BD∣ ；因為 B 是圓 上的點，點 C 為其圓心，所以 ，即 （204當點 M，B 在線段 CD 上時，不等式取等號，即∣MA∣+∣MB∣ 的最小值為

2 切線法

例2求橢圓 上的點到直線 y=x+ 的距離的最大值和最小值，以及取得最值時橢圓上點的坐標.

思路分析先求出與直線 平行的橢圓的切線，再求切線與直線 的距離，即為所求的最值，且切點就是取最值時橢圓上的點.

解析 設與直線 平行，與橢圓 y²=1 相切的 l:y=x+b ，聯立切線方程與橢圓方程，可列出 ，消 y 得， 3x²+4bx+2b²-2= 0，所以 Δ=(4b)²-4×3×(2b²-2)=0 ，解得 b=± ：

當 時，代入 ① ，解得 即切點

頭 時，有最小值 23T3當 時，代人 ① ，解得 即切

點為 時，有最大值

3代數法

例3如圖3所示，在平面直角坐標系中，圓 O （20號交 x 軸于點 F₁，F₂ ，交 y 軸于點 B₁，B₂ ，以 B₁，B₂ 為頂點， F₁，F₂ 分別為左、右焦點的橢圓 E ，恰好經過

（1）求橢圓 E 的標準方程；（2）設經過點 (-2，0) 的直線 ξ_l 與橢圓 E 交于M，N 兩點，求 ΔF₂MN 面積的最大值.

思路分析 第一問，由題意，可設橢圓 E 的標準方程為 ，易知 b=c ，再將 代入橢圓方程，求出 Π_a，b 的值，即可得到橢圓 E 的方程.（2）設出直線解析式 l:y= k(x+2) ，聯立直線與橢圓方程，得到 (1+2k²)x²+ 8k²x+8k²-2=0 ，再利用韋達定理，用含有 k 的關系式表示出 ΔF₂MN 的面積，由函數的性質分析得到答案.

解析 （1）由題意設橢圓 E 的標準方程為 ，焦距為 2c ，則 b=c ，所以 a²= （20

b²+c²=2b² ，即橢圓 E 的標準方程為 1(a>b>0 ），將點 代入橢圓方程，解得 b²= 1，所以橢圓 E 的標準方程為

（2）如圖3所示，設直線 l:y=k(x+2)

M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂) ，由 消去 y （204

得， (1+2k²)x²+8k²x+8k²-2=0. 因為 Δ>0 ，

得 ，且

（204 （204 所以

（204號 又因為點 F₂(1，0) 到直線 ξ_l 的距離 所以 此時，令 1+2k²=t ，那么 t∈(1，2) ，所以 不難發現， ，即 時， S_ΔF2MN 有最

大值，為 ，此時 綜上， ΔF₂MN 面積的

最大值為 4結語

總而言之，遇到圓錐曲線最值問題時，可以從上述三種方法的角度分析解決問題，以準確把握解題思路，提高解題效率.