指向?qū)W生數(shù)學(xué)“關(guān)鍵能力”培養(yǎng)的概念課教學(xué)研究

1 問題的提出

2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷創(chuàng)設(shè)全新的試卷結(jié)構(gòu)：減少題量，給學(xué)生充足的思考時(shí)間；加強(qiáng)思維考查，強(qiáng)化素養(yǎng)導(dǎo)向，給不同水平的學(xué)生提供充分展現(xiàn)才華的空間；服務(wù)拔尖創(chuàng)新人才選拔，助推素質(zhì)教育發(fā)展，助力教育強(qiáng)國建設(shè).高考數(shù)學(xué)通過創(chuàng)新試卷結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和題目風(fēng)格，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的深刻理解，增強(qiáng)試題的靈活性和開放性1.引導(dǎo)教師把教學(xué)重點(diǎn)從總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是指學(xué)生在面對(duì)與數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)的生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索情境時(shí)，高質(zhì)量的認(rèn)識(shí)問題、分析問題、解決問題所具備的能力.高考考查的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力包括三個(gè)方面：知識(shí)獲取能力、實(shí)踐操作能力和思維認(rèn)知能力.知識(shí)獲取能力主要包括：閱讀理解能力，信息搜索能力以及信息整理能力.實(shí)踐操作能力主要包括數(shù)據(jù)處理能力，信息轉(zhuǎn)化能力，語言表達(dá)能力等.思維認(rèn)知能力主要包括形象思維能力、抽象思維能力、歸納概括能力、演繹推理能力、批判思維能力以及辯證思維能力等.

本文課教學(xué)中教師設(shè)置合理的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象概念，可以提升學(xué)生的知識(shí)獲取能力；通過讓學(xué)生自己推導(dǎo)公式、定理、方程等，可以提升學(xué)生的實(shí)踐操作能力；通過借助已有知識(shí)對(duì)定義進(jìn)行深度理解等，可以提升學(xué)生的思維認(rèn)知能力.由此可見，概念課課堂是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的重要陣地.

本文筆者以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程為”為例，對(duì)如何在概念課教學(xué)生培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力”進(jìn)行實(shí)踐研究.

2 教學(xué)內(nèi)容分析

“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是人教A版《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第三章第一節(jié)的內(nèi)容.本節(jié)課是建立在學(xué)生學(xué)習(xí)“直線和圓的方程”的基礎(chǔ)上，又是“圓錐曲線的方程”的起始課，無論是從研究內(nèi)容上，還是研究方法與路徑上，都具有承上啟下的作用.

學(xué)生通過對(duì)“直線和圓的方程”的學(xué)習(xí)，接觸一種新方法一坐標(biāo)法研究幾何圖形的性質(zhì)；了解用“坐標(biāo)法”解決平面幾何問題的基本步驟;初步感悟用坐標(biāo)法研究幾何圖形性質(zhì)的程序性與普適性；領(lǐng)會(huì)在強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)法特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，充分利用幾何性質(zhì)簡化運(yùn)算的數(shù)形結(jié)合思想.橢圓的學(xué)習(xí)也為雙曲線、拋物線的研究起到示范作用，引領(lǐng)研究的數(shù)學(xué)思想與基本方法.

3教學(xué)目標(biāo)

（1）通過實(shí)際問題情境認(rèn)識(shí)橢圓的形狀、橢圓在生產(chǎn)生活中的廣泛應(yīng)用，感受橢圓所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化，體會(huì)研究橢圓的必要性.

（2）能根據(jù)橢圓的形成過程認(rèn)識(shí)橢圓的幾何特征，從而歸納橢圓的定義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理素養(yǎng).

（3）類比圓的方程，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，將橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何條件轉(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程，化簡得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.進(jìn)一步體會(huì)建立軌跡方程的基本路徑，滲透數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

4教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重難點(diǎn)：橢圓的定義的歸納抽象及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

5 教學(xué)過程

5.1 動(dòng)手操作，感知背景

教師活動(dòng)：通過PPT展示生活中的常見的橢圓;借助幾何畫板動(dòng)態(tài)展示行星的運(yùn)行軌跡是橢圓；傾斜裝有紅色液體的透明圓柱形水杯，水面是橢圓；利用Geogebra軟件演示用平面截圓錐，感受截面與圓錐的軸所成角度不同時(shí)，截面曲線為橢圓、雙曲線或拋物線.

問題1 請(qǐng)同學(xué)們舉出生活中橢圓的例子.

設(shè)計(jì)意圖 了解橢圓的實(shí)際背景，感受其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化；增強(qiáng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、描述世界的意識(shí).培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)獲取能力.

問題2 如何定義橢圓？

設(shè)計(jì)意圖 回顧通過圓上的點(diǎn)滿足的幾何特征獲得圓的定義的過程，學(xué)生探索獲得橢圓定義的方法，滲透類比的思想方法，提升遷移能力.

5.2 自主探究，抽象定義

師生活動(dòng)1：請(qǐng)兩位同學(xué)到講臺(tái)展示用教具畫圖的過程（如圖1）.

師生活動(dòng)2：教師在幾何畫板中進(jìn)行如下操作：（1）畫出定圓 F₁ ；（2）取圓外一定點(diǎn) F₂ ；（3）任取圓F₁ 上一點(diǎn) P ，連結(jié) PF₁，PF₂ ，作 PF₂ 的中垂線 l 交線段 PF₁ 于點(diǎn) M ；（4）生成動(dòng)點(diǎn) P 的動(dòng)畫，追蹤交點(diǎn) M 交點(diǎn) M 的軌跡是橢圓（如圖2）.

圖1

圖2

師生活動(dòng)3：學(xué)生按照下列步驟完成折紙游戲（如圖3）.

圖3

第一步：在圓 F₁ 內(nèi)取一點(diǎn) F₂ ：

第二步：在圓 F₁ 上任取一點(diǎn) P₁

第三步：將白紙對(duì)折，使 P₁ 與 F₂ 重合，并留下一條折痕;

第四步：連接 F₁P₁ ，使直線 F₁P₁ 與折痕交于點(diǎn) M₁ ：

第五步：在圓周上再任取其它點(diǎn)，重復(fù)第二三、四步得到點(diǎn) M₂，M₃，M₄ .··

第六步：用光滑的曲線連結(jié)點(diǎn) M₁，M₂ M₃，M₄ ·

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生經(jīng)歷橢圓的形成過程，提升信息獲取能力與動(dòng)手操作能力.

問題3請(qǐng)同學(xué)們觀察橢圓的形成過程，回答下列三個(gè)問題：（1）三個(gè)實(shí)驗(yàn)中動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡都是橢圓，那么動(dòng)點(diǎn) M 共性是什么？（2）對(duì)比圓的定義，在橢圓中有幾個(gè)定點(diǎn)，定值是什么？（3）類比圓的定義你能給出橢圓的定義嗎？

師生活動(dòng)4：教師提出問題，并個(gè)別指導(dǎo).學(xué)生通過獨(dú)立思考、自主探究抽象橢圓的定義，教師規(guī)范表達(dá)，并板書用三種不同語言表述橢圓的定義.（見表1）

設(shè)計(jì)意圖抽象橢圓的定義是本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn).教師首先讓學(xué)生觀察三種不同方法得到橢圓，歸納共性，提升數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力；其次讓學(xué)生類比探索圓的定義中的定點(diǎn)、定值的方法，探索橢圓定義中的定點(diǎn)定值，提升信息搜索與整理能力，也進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解決動(dòng)態(tài)問題時(shí)先找定點(diǎn)、定值的這種“動(dòng)中求靜，變中求定”的意識(shí)；最后讓學(xué)生類比圓的定義給出橢圓定義，滲透類比思想，培養(yǎng)“借力”意識(shí).抽象定義的環(huán)節(jié)是培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)獲取能力，提升學(xué)生的動(dòng)手操作能力最佳時(shí)機(jī).

表1：橢圓的定義

問題4是否存在點(diǎn) M（x，y） 滿足下列條件，如果存在，點(diǎn) M 的軌跡是什么？

（1） （20（2） （3） （2（4） （204號(hào)

師生活動(dòng)5：學(xué)生獨(dú)立思考后，匯報(bào)答案.在這一過程中教師讓學(xué)生之間互相補(bǔ)充，互相點(diǎn)評(píng)，最后教師點(diǎn)評(píng)，并進(jìn)一步規(guī)范作答.

結(jié)論（1）（2）點(diǎn) M（x，y） 的軌跡是橢圓；（3）點(diǎn) M（x，y） 的軌跡是線段；不存在滿足條件（4）的點(diǎn)M（x，y） ：

設(shè)計(jì)意圖 問題2是對(duì)橢圓定義的辨析.學(xué)生通過比較四個(gè)問題的聯(lián)系與區(qū)別，進(jìn)一步理解橢圓的定義，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，學(xué)生的辯證思維能力與批判性思維能力得到發(fā)展.

追問：（1）（2）中橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù) 2a 分別是什么？師生活動(dòng)6：學(xué)生思考并回答問題，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)反饋.

結(jié)論（1）中橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0）；（2）中橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，-3），（0，3）；（1）（2）中參數(shù) 2a 都是10.

設(shè)計(jì)意圖進(jìn)一步熟悉橢圓中的定點(diǎn)、定值與動(dòng)點(diǎn)，以及三者之間的關(guān)系，明確橢圓上的任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和都等于同一個(gè)定值，培養(yǎng)形象思維能力，滲透數(shù)學(xué)結(jié)合思想.

5.3合作探究，建立方程

問題5 請(qǐng)根據(jù)橢圓的幾何特征： ∣MF₁∣+ ∣MF₂∣=2a ，令 |F₁F₂|=2c ，其中 2agt;2c. 選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立橢圓的方程.

師生活動(dòng)7：教師提出問題，學(xué)生小組合作，完成任務(wù)，小組派代表匯報(bào)本組成果.

結(jié)論各小組匯報(bào)上來的答案有 （a²-c²）（x-c）²+a²y²=a²（a²-c²）; （204 （a²-c²）（x+c）²+a²y²=a⁴-a²c² （a²-c²）x²+a²y²=a²（a²-c²）;

設(shè)計(jì)意圖任務(wù)驅(qū)動(dòng)，激發(fā)求知欲；把坐標(biāo)系的選擇、方程的建立、方程的化簡等任務(wù)交給學(xué)生，學(xué)生進(jìn)一步熟悉求軌跡方程的基本步驟，鍛煉動(dòng)手操作能力，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；培養(yǎng)學(xué)生從多個(gè)視角觀察、思考同一個(gè)問題的意識(shí)，提升辯證思維能力；學(xué)生靈活地、創(chuàng)造性地運(yùn)用不同方法解決問題，提升發(fā)散思維能力.

追問1：以上答案都正確嗎？

學(xué)生1：都正確.

追問2：為什么會(huì)產(chǎn)生不同的答案？

學(xué)生2：選擇的坐標(biāo)系不同造成的，

追問3：你認(rèn)為怎樣選擇坐標(biāo)系橢圓的方程形式最簡單？

學(xué)生3：以 F₁F₂ 所在直線為 x 軸，線段 F₁F₂ 的中垂線為 y 軸建立坐標(biāo)系.

追問4：請(qǐng)“以 F₁F₂ 所在直線為 x 軸，線段 F₁F₂ 的中垂線為 y 軸建系”的小組派代表回答，你們?yōu)槭裁磿?huì)選擇這種建系方式？

學(xué)生4：橢圓跟圓一樣，具有對(duì)稱性，在建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，考慮對(duì)稱性，以圓心為原點(diǎn)建系，所以 F₁F₂ 所在直線為 x 軸，線段 F₁F₂ 的中垂線為 y 軸建系，得到橢圓方程為 （a²-c²）x²+a²y²=a²（a²- c² ）.

追問5：觀察圖4，你能從中找出表示 Δ_a ，c ，以及 的線段嗎？

圖4

學(xué)生5： |PF₁|=

學(xué)生

結(jié)論令 ，則橢圓方程為 b²x²+ a²y²=a²b² ，進(jìn)一步化簡得到方程 ① gt;bgt;0 ）.橢圓上任意一點(diǎn) M（x，y） 的坐標(biāo)都滿足方程 ① ，以方程 ① 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上.

我們稱方程 ① 為橢圓的方程，因?yàn)榻裹c(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在原點(diǎn)，稱為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

追問6：如圖5，如果讓橢圓的焦點(diǎn)落在 y 軸上，即F₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c），a，b 意義不變，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，橢圓的方程是什么？

學(xué)生7 bgt;0 ）

圖5

追問7：怎么這么快得到結(jié)論？

學(xué)生 7：x，y 根據(jù)圖形特征互換位置即可.

師生活動(dòng)8：師生共同完成表二.

表二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

追問8：請(qǐng)判斷方程為 3x²+4y²=1 的橢圓焦點(diǎn)在 x 軸上還是 y 軸上？

學(xué)生一起回答：在 x 軸上追問9：為什么？

學(xué)生8：方程可以化簡為 ，因?yàn)? ，所以

學(xué)生9：橢圓的方程類似于直線的截距式方程令 ，所以橢圓在 x 、y 軸上的截距分別為 因?yàn)? 所以焦點(diǎn)在在 x 軸上.

結(jié)論對(duì)于方程 mx²+ny²=1 ，當(dāng) ngt;mgt;0 時(shí)，表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓；當(dāng) mgt;ngt;0 時(shí)，表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓;當(dāng) n=mgt;0 時(shí)，表示圓.

設(shè)計(jì)意圖 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立是本課時(shí)的重難點(diǎn)之一.教師通過問題鏈與任務(wù)單，讓學(xué)生體會(huì)根據(jù)橢圓的幾何特征優(yōu)化橢圓方程；引導(dǎo)學(xué)生完善橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并進(jìn)行辨析；引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)與形另個(gè)不同的角度去判斷已知方程的橢圓的焦點(diǎn)位置；引導(dǎo)學(xué)生將直線中所學(xué)到知識(shí)與技能遷移到橢圓這一新問題情境中來.這一過程有效提升學(xué)生的實(shí)踐操作能力與思維認(rèn)知能力.

5.4及時(shí)鞏固，熟練運(yùn)用

例1已知橢圓 c 的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為 F₁（-3 ，0）， F₂（3，0） ，點(diǎn) 是橢圓 C 上一點(diǎn)，求橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程.

師生活動(dòng)9：教師給出例題，學(xué)生動(dòng)腦思考，動(dòng)手操作.

問題6 完成的同學(xué)可以說一下具體的思路

學(xué)生10：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，根據(jù) a²-b²=9 ，并將點(diǎn) ）代人，求得橢圓方程為+6

學(xué)生11： c=3 ，根據(jù) 2a=∣MF₁∣+∣MF₂∣=10 求得橢圓方程為

設(shè)計(jì)意圖 鞏固橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的概念，

5.5 梳理歸納，感悟本質(zhì)

問題7 回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？用了哪些方法？

結(jié)論：

設(shè)計(jì)意圖組織學(xué)生聚焦核心問題進(jìn)行梳理與反思，并將其轉(zhuǎn)化為后續(xù)學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生深刻理解概念內(nèi)涵，完善認(rèn)知圖式，提升遷移能力；學(xué)生在反思過程中不斷完善、優(yōu)化自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力得到進(jìn)一步提升.

6 目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

題1設(shè) F₁，F(xiàn)₂ 為橢圓 C 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在 c 上，若 ，則 ∣PF₁∣ ：

A.1 B.2 C.4 D.5

設(shè)計(jì)意圖考查學(xué)生對(duì)橢圓的定義，以及標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù) ^a，b，c 的理解與掌握情況.

題2已知橢圓 C 過 試求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程

設(shè)計(jì)意圖 考查學(xué)生對(duì)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法的掌握水平.

題3在 ΔABC 中，邊 AB=2 ，且滿足 sinA+ sinB=2sinC ，求頂點(diǎn) c 的軌跡方程

設(shè)計(jì)意圖 考查學(xué)生對(duì)橢圓定義的理解及思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

題4已知圓 C₁：（x+3）²+y²=1 ，圓 C₂：（x- 3）²+y²=64 ，動(dòng)圓 c 與圓 C₁ 外切，與圓 C₂ 內(nèi)切，試 判斷動(dòng)圓圓心 C 的軌跡，并求出軌跡方程.

設(shè)計(jì)意圖 考查學(xué)生對(duì)橢圓定義的理解與求軌跡方程的基本步驟的掌握水平.

7.教學(xué)反思

7.1重視“過程”教學(xué)是培養(yǎng)知識(shí)獲取能力的有效途徑

在教學(xué)實(shí)踐中教師要讓學(xué)生經(jīng)歷過程去索取結(jié)果，而不是向他們傳遞結(jié)果而消減過程.在數(shù)學(xué)概念、定義的教學(xué)中，注重通過“創(chuàng)設(shè)情境，類比已有概念的研究方法”等手段對(duì)概念與定義進(jìn)行抽象與歸納過程.如本節(jié)課中讓學(xué)生觀察師生活動(dòng)1，2，3中獲得的橢圓的幾何特征，類比圓的定義的歸納方法，抽象出橢圓的定義.重視數(shù)學(xué)公式與定理的獲取與推導(dǎo)的過程，如橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，學(xué)生經(jīng)歷過，才有“觀察幾何特征，優(yōu)化代數(shù)運(yùn)算或表示”的意識(shí)等等.教師在平時(shí)的教學(xué)中足夠重視“過程”教學(xué)，學(xué)生的知識(shí)獲取能力才能得以提升，在解決較新型的問題如創(chuàng)新題等問題時(shí)才能快速且準(zhǔn)確的理解題意.

7.2 重視學(xué)生的主體地位是增強(qiáng)實(shí)踐操作能力的主要途徑

在教學(xué)實(shí)踐中教師不再是知識(shí)的唯一傳遞者，而是引導(dǎo)者、合作者與評(píng)價(jià)者，學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體.課堂中教師把時(shí)間還給學(xué)生，讓學(xué)生通過獨(dú)立思考、自主探究及合作交流等方式獲得解決問題的思路；讓學(xué)生通過探索解題的不同路徑，提升運(yùn)算素養(yǎng)與思維的靈活性等.如本節(jié)課中教師讓學(xué)生獨(dú)立思考，抽象概括橢圓的定義，而不是把橢圓的定義直接“塞”給學(xué)生；教師讓學(xué)生自已建立且完善橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而不是“代替”學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)筆.教師教學(xué)中把課堂時(shí)間“還”給學(xué)生，就能讓學(xué)生養(yǎng)成自主動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)筆的習(xí)慣，“增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐操作能力”這句話才會(huì)得到落實(shí).

7.3落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是發(fā)展思維認(rèn)知能力的根本途徑

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指合理運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法，有效整合數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的相關(guān)能力，高質(zhì)量的認(rèn)識(shí)問題、分析問題解決問題的綜合品質(zhì).它是數(shù)學(xué)課程自標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn).本節(jié)課中，學(xué)生從三個(gè)方法獲得的橢圓中尋找共性，歸納抽象橢圓的定義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理素養(yǎng)；學(xué)生在建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等等.在教學(xué)實(shí)踐中教師需要通過不同的教學(xué)策略落實(shí)核心素養(yǎng)，學(xué)生的思維認(rèn)知能力才能得到一定程度的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)

[1]何正文.從思維角度剖析2024年數(shù)學(xué)高考卷［J].數(shù)理化解題研究，2024，（25）：75-81.