基于“四能\"發展的數學課堂教學實踐與探索

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標）強調了數學學科核心素養的重要性，要求學生在學習過程中學會從不同維度觀察數學事物，進而及時發現問題、提出問題，培養分析問題與解決問題的能力（簡稱“四能\"）[1.然而，高中階段學習內容繁多，數學知識抽象程度高，加之部分教師教學觀念未能與時俱進，導致學生更關注數學問題的分析與解決過程，忽視了發現問題與提出問題的環節.這一現象嚴重制約了學生個體的長期可持續發展．為此，本文針對“四能\"的培養展開深入的探索與研究.

教學過程設計

1.基礎練習，觀察問題

課堂伊始，教師運用PPT展示5道基礎題目，通過習題練習喚醒學生對直線與橢圓等基礎知識的認知，從而為本節課的深度復習夯實根基.

問題1已知圓 C：x²+y²=4 ，在圓 C 上點的橫坐標均不發生變化的情況下，使其縱坐標值為原值的一半，那么新獲得的曲線方程是怎樣的？新得的曲線屬于什么類別？

問題2已知橢圓 ，如何到該橢圓上探尋一點 P ，令其與橢圓的兩個焦點的連線互為垂直的關系？

問題3直線 x+y=1 與橢圓 ax²+ bx²=1 在點 ^A，B 處相交， AB 的中點為點 M 點 o 為原點，已知直線MO的斜率為√2 ，且 OA 與OB垂直，則 ^?_a，b 的值分別是多少？

問題4已知橢圓M： bgt;0_，^） ） AB 為該橢圓上的一條動弦， _，AB 的中點為點C，請證明：kABco=

問題5已知橢圓 C ^{bgt;0），AB} 為該橢圓上過定點 T（t，0） 的弦， x 軸上有一點 ，分別連接_AM，BM ，請證明 k_AM+k_BM=0. （204

師：以上五個問題都是直線和橢圓相關的基礎性問題.請大家在自主解題的基礎上，分析與之相關的基礎知識與方法，并將你們的想法寫在草稿紙上.

（教師巡視，選擇典型思路投影展示，供班級交流完善．）

設計意圖復習的關鍵在于從豐富的知識網絡中建立知識間的聯系，實現知識的前后關聯．這五個問題分別改編自教材例題與高考真題，難度適中．這樣的設計，一方面引導學生回顧直線與橢圓的相關知識，使其在解題過程中進入復習狀態；另一方面，讓學生通過解題激活數學思維，產生復習的內在動力，為后續課堂教學奠定基礎.鼓勵學生自主總結與提煉直線和橢圓的相關內容，有助于構建完整的知識體系.

2.積極互動，提出問題

師：大家都知道，從不同的視角去觀察與分析同一個問題，會發現不同的解題辦法.接下來，請大家在獨立思考與合作交流的基礎上，分析下列問題的解題思路.

問題6 （1）已知橢圓 與直線 y=kx+3 之間存在公共點，那么 k 的取值范圍是什么？

（2）若明確√3 為橢圓c： =1（agt;bgt;0）的離心率，一條直線的斜率為 k（kgt;0） 且過橢圓 C 的右焦點F ，這條直線與橢圓 C 分別在點A，B處相交，且AF=3FB，那么k值是多少？

（針對第二問，學生經過深入思考，提出了四種不同的解法．）

解法1設 _2c 為橢圓 C 的焦距，點F（c，0），根據離心率√3 （20 因此，橢圓的方程可轉化成a²=x²+4y². 將直線方程設為 y=k（x-c） ，并將其代入橢圓的方程，可得 （4k²+ 1）x²-8k²cx-a²+4k²c²=0. 假設點A （x₁ ，y₁），B（x₂，y₂） 則， ，= （204號 x₁，-y₁） ，根據AF=3FB可知， x₁+3x₂= _4c ，由此可得 ，因此x=4h2c-2c，把，x分別代入式子（*），獲得 （舍棄負值）.

解法2分別過點A與點B作直線l的垂線， ?A₁，B₁ 為垂足（見圖1），結合橢圓的第二定義，得 ?AA₁=3BB₁ ．假設FB=m，FA=3m ，則 結合圖形易得 ?k=tan∠BAA₁= （204號

解法3設點 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 因為 ，所以 y₁=-3y₂ ，因為 e= V3，設a=2t，b=t，c=√3t，所以x2+4y²-4t²=0. 將直線 _AB 的方程設為 x= ，以代入法消除 ，得 （s²+4） · 所以， y₁+y₂= （20 由此可得 s²= 所以， 1=√2（舍棄負值）.

解法4如圖2所示，假設 BF=n ，AF=m ， α 為 AB 的傾斜角，根據余弦定理與橢圓的第一定義可知， 4c²- 4cncos （π-α）+n²=（2a-n）²① 4c²- 4cmcoso ι+m²=（2a-m）²（2） 由 ①-② ，得4c（m+n）cosα=4a（m-n）. 又 m=3n ，所 所以 ·師：非常好！大家提出了不同的解題方法，現在請大家一起分析各種解題方法有什么特點.

生8：解法1和解法3均為常用的代數法，這類解題方法存在的問題是運算量大，容易出現計算失誤；解法2從平面幾何與橢圓的第二定義著手解決問題，這種方法運算較為簡單；解法4從橢圓的第一定義與余弦定理著手解題，過程相對簡便

師：評價非常客觀.本題為一道高考真題，在教材中能找到它的原型這也告訴我們，在日常學習中不能脫離教材，要在“以教材為本\"的基礎上展開學習.大家都知道與圓相關的如下結論：若圓 x²+y²=a² 的直徑為 AB ，點P 為該圓上的任意點， _，AP，BP 的斜率不為0，則 k_AP?k_BP=-1 ，這個結論能和橢圓扯上關系嗎？

生9：可以，比如將圓方程 C：x²+

y2=a2轉化為C'：

點 P 為轉化而來的橢圓上的任意點，

再逐步分析推導 1

師：太棒了！把與圓相關的結論遷移到橢圓內，這是一種值得推廣的方法．它不僅揭示了橢圓的本質特征，還能幫助大家利用這一結論解決實際問題.

問題7如圖3所示，已知平面直角坐標系 _xOy 內，一條過原點 o 的直線與橢圓 相交于點 ^A，P， 且點 P 位于第一象限，過點 .P 作坐標橫軸的垂線， c 為垂足，將 ?_AC 連接起來并延長，使其與橢圓相交于點 B ，設k（kgt;0） 為直線 AP 的斜率，證明 ：AP 與BP垂直.

學生獨立思考并解決問題，教師巡視時適當點撥，隨后選擇部分解法進行班級投影展示.

師：若將此問推廣形成一般性結論，應如何表述？

生10：若過原點且斜率大于0的直線與橢圓 C 相交于點A， P 且點 P 位于第一象限，過點P 作坐標橫軸的垂線， C 為垂足，將 _?AC 連接起來并延長，使其與橢圓相交于點 B ，則 同時，在 a²=2b² 的條件下， k_AP?k_BP?-1，AP 與BP垂直.

生11：根據問題4與問題6所推廣的結論，可證明過橢圓+ bgt;0_.^? ）上的一個定點 P（x₀，y₀） 引出 AP 5BP兩條弦，滿足 則直線AB 必然過原點.

師：看來大家的思維都很活躍，并能靈活應用相應的知識.上述結論是否成立呢？請大家交流分析.

設計意圖鼓勵學生獨立思考、合作交流、實踐探究，不僅能提升學生的解題能力，還能促使學生積極思考，拓展思維，為歸納一般性結論奠定基礎．學生在對問題的推廣過程中逐步建構一般性結論，這一過程有助于揭示數學本質，也為后續靈活解決更多復雜問題提供了保障.

3.實踐探索，分析與解決問題

問題8如圖4所示，已知平面直 角坐標系 _xOy 內的點A， B 分別為橢圓 2+2=1的左、右兩個頂點，點F為該 橢圓的右焦點，若直線TA，TB均過 點 T（t，m） ，并與橢圓分別相交于點 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） ，且 y₁gt;0，y₂lt;0，mgt;0.

（1）如果點P滿足 FP²-BP²=4 ，那么點P的軌跡是什么？（2）若 的值分別為2與 ，那么點T的坐標是什么？（3）若t值為9，請證明直線MN恒過坐標橫軸上的某個定點.

（解題過程略）

設計意圖在學生已有認知基礎上，提出具有實踐性的問題，引導學生自主分析與解決，是發展“四能”的重要途徑．這些問題不僅與本節課的教學主題緊密相關，還與此前提出的問題相互關聯，并進行了進一步的拓展與延伸．如此設計，旨在培養學生舉一反三的解題能力，促使學生在問題分析過程中，洞悉數學本質，這才是發展學生學力的根本所在.

幾點思考

1.問題是驅動\"四能\"的基礎

縱觀本節課的教學，教師從學生實際認知水平出發，采用“知識問題化\"的模式，有效驅動學生思考與交流.教學過程中，學生以“四基\"為依托，逐步發現并提出問題，進而抽象出解決直線與橢圓問題的基本方法，隨著問題不斷深人，學生通過自主觀察、思考、探索與交流，不僅把握了知識的本質，還掌握了一定的解題技巧與方法，領悟了“幾何問題代數化\"的思想，為發展“四能\"奠定了堅實基礎．以問題6為例，其四種不同的解題方法，本質上是從不同維度分析幾何條件，靈活運用代數工具，這也進一步提升了學生的解題能力.

2.引導是發展\"四能\"的關鍵

學生在課堂中占據主體地位，但教師的引導作用同樣至關重要．教師作為課堂的組織者與引導者，首先要對學生的實際認知水平有明確的認識，并在學生認知經驗基礎上設計問題，才能讓教學達到預期的成效[2].本節課，教師立足學情，由淺入深設計問題鏈，引導學生思維拾級而上.學生不僅深化了對直線與橢圓相關問題的理解，還在思考與探索中，系統提升了發現、提出、分析和解決問題的能力.特別是在拓展類問題的探究中，教師通過巧妙引導，充分挖掘學生潛能，切實推動了“四能\"的發展.

3.應用是獲得“四能\"的靈魂

復習教學一方面是為了夯實學生的知識基礎，促使學生在復習探究中形成融會貫通的解題能力；另一方面是讓學生通過思考與交流，培養良好的“四能”，促進高階思維發展，為培育核心素養創造條件.在本節課中，教師摒棄了過多的“說教\"模式，而是通過實實在在的問題，逐步啟迪學生思維，引導學生在知識的實際應用中體會數學思維的靈活性與深刻性，促使學生在解題與反思過程中完善知識網絡.教師精心選取的每一道例題都具有內在關聯性，各個問題環環相扣、逐層遞進，在方法與思想層面體現出緊密的邏輯關系，這類問題對于發展學生的創新意識具有重要意義．由此可見，知識的實際應用是培養“四能\"的關鍵所在.

總之，“四能\"的培養是一個長期過程，需要師生雙方的共同努力，以及教學方式的優化配合，充分利用課堂資源逐步實現.教師應根據教學目標設計問題，為學生提供充足的觀察、提問、分析與解決問題的時間和空間，并在必要時進行適當引導，這不僅是發展“四能\"的有效途徑，也是提升學生核心素養的重要方法.

參考文獻：

[1］黃水連.芻議新課程理念下高中數學教學中信息技術的應用[J].數學教學通訊，2021（27）：55-56.

[2]龔維維，董白英.基于問題串下的高中數學教學設計—以等差數列的前 項和公式為例[J].數學學習與研究，2023（14）：122-124.