關注立體幾何教學 發展數學核心素養

立體幾何是在平面幾何基礎上的進一步拓展，是探索三維空間的基本工具，也是培育學生數學學科核心素養的重要載體．相較于代數，立體幾何具有獨立的公理化體系，能夠引導學生從更高的視角認識數學知識，發展數學思維.然而，當前部分教師針對立體幾何教學，在知識傳授、教學過程設計、教學方法運用以及思維培養等方面仍存在不足，導致教學效率低下.為此，教師應高度重視立體幾何教學，通過多樣化的教學手段激發學生的學習興趣，為學生數學學科核心素養的發展奠定堅實基礎.

現狀分析

雖有平面幾何作為知識基礎，但引導學生獨立探索立體幾何仍存在一定難度．其核心原因在于學生尚未形成結構化的思維模式，難以從整體視角思考與探究空間問題.事實上，幾何與代數的本質區別在于研究方法的差異一幾何研究需要基于圖形維度展開空間分析.然而，部分教師在教學過程中存在重知識表面傳授、輕問題深度探究的傾向，致使學生難以構建結構化的認知體系.在執教“直線與平面垂直的判定\"這一課時，教師可從知識儲備、研究方法、思維發展等維度分析學情，通過科學的教學設計優化學生的思維結構，幫助學生在學習過程中逐步構建知識體系與探究策略，從而為數學學科核心素養的發展奠定堅實基礎，

教學過程設計

1.情境導入，定義生成

（1）生活素材導入概念

借助多媒體展示圖1，要求學生觀察這三幅圖，分別闡述人民英雄紀念碑、旗桿與書本各自與地面、桌面的位置關系，并思考以下問題.

問題1如果要給一條直線與平面之間的垂直位置關系下定義，該如何描述？

問題2天安門廣場上的旗桿與地面之間形成的角度是多少？

問題3隨著太陽的緩慢移動，旗桿與其影子所構成的角度是否會發生變化？

問題4旗桿與地面上不過旗桿底部的直線之間存在何種位置關系？

問題5將書本豎立在桌面上，若把書本的脊背看作一條直線，那么這條直線與它所接觸的桌面之間存在怎樣的位置關系？

問題6書脊所在的直線與書本內每一個頁面和桌面的交線之間存在怎樣的位置關系？

設計意圖多媒體所展示的三幅圖選取學生熟悉的生活情境作為導入素材，這樣的設計能夠降低學生理解知識的思維起點，激發學習興趣，為后續提煉數學概念做好鋪墊．前四個問題的設計，旨在引導學生直觀感知旗桿與地面始終保持垂直的關系；后兩個問題則從不同角度出發，引導學生自主抽象直線與平面的垂直關系，并進一步拓展思維，思考書脊所在直線與交線的垂直關系．這一循序漸進的問題串，通過層層遞進的方式不斷啟發學生思考，促使學生在自主觀察與分析的過程中，逐步提升抽象思維、直觀想象和概括歸納能力，為后續課堂教學的順利開展奠定堅實基礎.

（2）問題探索辨析概念

問題7觀察圖2，分析圖中的直線與平面α是否為垂直的關系.

問題8如圖3所示，可否在平面 α 上找到與直線垂直的直線？若有，有幾條？

設計意圖從平面內的斜足處可探究發現直線 m 與直線l垂直．在教學中，可借助教具直觀演示這一位置關系，引導學生認識到：當直線l與平面 α 不垂直時，滿足該條件的直線有無數條．這一現象揭示了線面垂直定義中提到的“任意”與大眾所理解的“無數”并不等同[1．通過類比這兩個問題與導入環節的問題，不僅能深化學生對知識的理解，還能增強學生對數學學科的理性認知，助力學生養成嚴謹的數學學習習慣.

2.實操活動，揭露定理

活動設計：要求學生取出課前準備好的三角形卡紙，將其命名為△ABC.借助折疊法研究卡紙的折痕與平面（桌面）內的直線的位置關系，分析通過哪些條件能夠推導出線面垂直的結論.

學生以小組為單位開展實操交流，并將各組成果在班級中展示（見圖4、圖5）.

師：在圖4與圖5中，滿足什么條件能使折痕AD與桌面α垂直？

生1：若折痕AD分別與BD，CD垂直，則A D 與桌面α垂直.實際上，AD為△ABC底邊上的高.

師：回答得很好！還有其他折疊方法嗎？

生2：如圖6所示，我們組在BC邊上任取一點進行折疊，折痕DE分別與BD，CD垂直.

學生合作探究．學生通過交流討論，提出圖6所示的折疊方法，充分展現了數學學習的趣味性，這樣的設計，不僅突出了教學重點，還挖掘了學生的學習潛能，鍛煉了學生手、腦、口的協調能力，助力學生在積極的學習體驗中發展數學合情推理與創新能力.

3.邏輯分析，求證定理

探索一個定理，不僅需要運用直觀想象素養，更離不開邏輯推理素養的支撐．因為只有經過嚴謹的求證，初步形成的結論才能成為具有普遍適用性的定理.為提升本節課的教學效果，教師以“向量\"這一通用的數學工具為依托，引導學生對線面垂直判定定理進行求證，幫助學生理解該定理的內在邏輯，從而認同其合理性.

師：同學們自主抽象得出的線面垂直判定定理是本節課的核心內容現在，我們將這個定理轉化為命題形式，對其進行嚴謹的證明.

師：這個想法很有創意！通過這些探索，大家能總結出什么共性？

命題已知平面 內存在兩條相交直線 m，n ，若直線分別與直線 m n 垂直，求證：直線垂直于平面

生3：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線就與該平面垂直.

師：完全正確！這就是本節課我們要探索的重要內容——線面垂直判定定理（通過PPT展示完整的定理）.

設計意圖從常規思維來看，學生在實操活動中通常會選擇過頂點A折疊△ABC來探究問題．為激發學生的創新意識，引導其在自主探索中拓展思維，教師組織開放性活動鼓勵

師：大家結合已有的認知經驗，證明 l⊥α.

生4：若想證明 l⊥α ，根據線面垂直的定義，需要證明直線與平面 內的任意直線都垂直.我們可在平面 α 內任取一條直線，構建該直線與直線m，n 的聯系，再依據 m，n 與直線的垂直關系進行分析，從而完成證明.

師：哪位同學愿意給大家展示一下證明過程？

生5：在平面 α 內任取一條直線，命名為 ，在直線 g，m，n ，l上分別提取非零向量 _{g，m，n，l.} 已知直線 m，n 相交，所以向量 ^?m，n 必然不平行，根據共面向量定理可知，存在唯一實數對（x，y） ，使得 g=xm+yn ．根據題設條件“直線分別與直線 m，n 垂直\"可知，m?l=n?l=0 ，則 g?l-x（m?l）+y（n?l）=0 所以 l⊥g. 因為直線g是平面 內的任意一條直線，所以 l⊥α.

設計意圖在教師的引導下，學生從向量的視角分析線面垂直判定定理．在探索過程中，學生能夠感知向量位置關系與數量關系之間的內在聯系，深刻體會數量積在求證過程中的核心作用，進一步強化向量運算能力．這樣的設計，旨在幫助學生更全面、深入地理解線面垂直判定定理，構建結構化的知識體系，培養和發展數學邏輯推理能力.

4.練習訓練，應用定理

練習1如圖7所示，在正方體ABCD//B₁C₁D₁ 中，直線 _{4D，CC1，AD1} 分別與哪些平面垂直？

練習2如圖8所示，已知圓0的直徑為AB，點 C 位于圓周上， AP 與該圓所在的平面垂直，則圖中一共有幾個直角三角形？

練習3在橫線上填寫你認為正

確的條件：已知直三棱柱A BC-A₁B₁C₁的 BC=CC₁ ，那么底面 ∣₁B₁C₁ 在滿足時， AB₁ 與 BC₁ 垂直.

設計意圖這三道練習題分別從正方體、長方體與其他立體幾何圖形三個維度出發，循序漸進地啟發學生思維，逐步提升學生識別圖形的能力，引導學生學會借助定理探究圖中各個空間元素之間的位置關系．練習3這個開放式問題，意在進一步強化學生對概念的理解，夯實學生的數學建模能力，推動核心素養在教學實踐中落地生根.

5.歸納總結，反思提升

要求學生從以下幾點進行歸納總結：① 知識層面：總結課堂涉及的知識點；② 方法層面：分析在探索線面垂直判定定理的過程中，運用了哪些常見的數學思想方法；③ 思想層面：分享本節課的收獲與感悟.

學生從知識、方法與思想等層面對課堂內容進行總結提煉，并以圖示的方式呈現定理的探索流程.教師選取具有代表性的圖示進行投影展示（見圖9）.

實操活動 抽象定理/應用定理 證明定理

設計意圖“編筐編簍，重在收口.”對于一節課而言，課堂總結與反思的重要性恰似筐簍的收口，教師引導學生從知識、方法與思想等層面進行回顧、梳理與總結，不僅能幫助學生構建清晰的研究思路，還能讓學生進一步領悟探索立體幾何問題的思想方法與研究路徑．這樣的設計，旨在深化學生對知識與技能的掌握，提煉轉化與化歸、數形結合等思想方法，同時鞏固課堂中培養的數學直觀想象與邏輯推理等核心素養，

教學思考

1.立體幾何教學利于滲透數學思想方法

掌握基礎知識與技能是課堂教學的基本目標，而滲透思想方法、發展核心素養才是教學的終極目標.數學思想方法的滲透能夠活化學生的思維，使學生將所學知識融會貫通，進而獲得舉一反三的能力．立體幾何與平面幾何之間存在高度關聯性，因此在探索立體幾何問題時，可將其轉化為平面問題進行分析，實現從未知到已知的轉化，這一過程涉及轉化與化歸、數形結合、類比、聯想等思想方法．學生掌握這些數學思想，能夠為后續探索更多數學問題奠定堅實的方法基礎.

2.立體幾何教學利于發展直觀想象素養

直觀想象素養是數學學科核心素養的重要組成部分，其旨在培養學習者從幾何直觀與空間想象等維度對事物形態產生感知，并基于圖形視角解決問題的能力．立體幾何教學包含基于空間視角理解事物的形態變化、位置關系與運動規律等內容，對提升學生的空間想象力與直觀想象素養具有重要價值[2.在本節課中，通過對線面垂直定義的探索，學生在實際操作的基礎上直觀感知直線與平面之間的垂直關系，并借助圖形輔助對探索所得結論進行證明，最終形成線面垂直判定定理.整個教學過程有效提升了學生的數學思維，促進了直觀想象素養的發展

綜上所述，對立體幾何圖形的探索，不僅能夠引導學生主動提煉思想方法，發展數學邏輯推理、直觀想象等素養，還能促使學生理性融合直觀感知與空間想象，從根本上推動數學學科核心素養的發展.

參考文獻：

[1］張輝．從立體幾何定理教學談數學核心素養的落實一以“直線與平面垂直的判定”一節課的教學為例[J].高中數學教與學，2020（11）：1-3.

[2]翁艷萍.高中生數學直觀想象素養測評研究——以\"向量與幾何\"知識團為例[D].福建師范大學，2017.