單元教學的關鍵是厘清課時知識的“來”與“去”

問題的提出

基于《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）的新課程教學已實施多年。新課標強調知識的整體性，倡導構建結構化的知識網絡，注重學習的連貫性與思維的連續性，明確了單元教學設計的重要地位。通過單元教學設計，教師對數學知識的整體把握能力得到顯著提高，教學的全局意識也有所增強。然而，受教材知識一般以線性方式呈現這一特征的影響，在課時落實過程中，教師的教學常常又回歸到知識點的碎片化狀態，知識之間的聯系變得松散，教學行為呈現出“雖有整體意識，但缺乏整體行動”的割裂局面。如何在較小的知識單元，甚至具體的課時教學中，持續體現知識的整體性，凸顯知識間的潛在聯系，已成為落實單元設計理念的關鍵所在。筆者在課時教學中深入挖掘知識的“來”“去”關系，積極強化課時內知識及課時間知識的聯系，并在課時知識的小結過程中引導學生逐步構建知識網絡，以此提升單元教學效果。

課時教學的基本認識

新課標致力于提升學生的核心素養，提出“三會”的高標準要求，這就意味著要明晰知識的來龍去脈和前后聯系，將知識系統化，形成知識鏈條，構建知識網絡，培養學生的鏈式思維、發散思維和批判性思維。

知識從何而來？又將走向何方？新課標在各個環節均有相關提示與說明。以“直線與平面的位置關系”一課為例，在本課時的學習過程中，教師可借助長方體作為載體，運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等方法，引導學生認識和探索空間圖形的基本性質，歸納并證明相關定理，從而幫助學生樹立空間觀念。又如“空間向量及其應用”這一單元，教師可以引導學生通過類比平面向量的方法來研究空間向量。新課標還強調融入數學史，闡述立體幾何的發展歷程，要求利用組合體的性質和度量解決簡單的實際問題，并建議選擇部分典型問題作為探究活動課的主題，從而幫助學生理解和掌握圖形的幾何性質。由此，歸納出新課程教學基本認識并加以可視化（見圖1）。

依據新課標精神，我們能夠從“類比思維、現實情境、直觀感知、操作、論證、度量”等多個維度探尋知識和思維的來源與去向；借助探究活動深化對知識的整體認知，通過綜合應用強化知識的遷移功能，彰顯知識在新情境下的創新價值。

三、展現知識“來處”的教學設計

（一）從單元整體思維的來處出發進行構思

立體幾何教學中的知識與思維方式可類比上位的平面幾何教學，線面位置的教學也可類比線線位置的教學等。通過類比，學生不僅能夠習得概念、規則、定理、公式、知識載體等顯性知識，還能對典型的研究方法與思路、知識的拓展與延伸、數學思想方法等隱性知識進行內化，進而構建出基于單元整體的直線與平面位置關系課時知識結構圖，具體如圖2所示。

因此，在“直線與平面的位置關系”課時教學中，要持續引導學生進行類比，讓學生在類比過程中掌握所需的知識與方法，逐步形成立體幾何學習的基本流程和思維模式，切實落實“既要重視教，更要重視學，促進學生學會學習”的新課標理念。

（二）課時教學時知識的來處設計

1.新知識引入

在課時教學中，教師可通過類比、現實情境、直觀感知、操作體驗等方式引入教學知識，這些引入視角更貼合學生實際，便于學生理解接受。例如，在引入線面位置關系時，設計以下問題：

類比性問題：我們已知的空間直線有幾種位置關系？其分類標準是什么？類似的，空間直線與平面又存在幾種位置關系？

情境性問題：教室窗框所在的直線與教室各個墻壁所在平面有幾種位置關系？

感知性問題：如圖3，正方體中所有棱和對角線與底面 ABCD 有幾種位置關系？

操作性問題：以書桌為平面、筆為直線，通過不同的擺放方式，你認為直線與平面有幾種位置關系？它們的分類標準是什么？請給出相應的定義。

這些問題基于學生的最近發展區，每個學生都能找到思考的切入點，擁有自己的感受和體驗。學生經歷“問題提出一實際觀察一直觀感受一操作模型”的過程，為建立圖形概念、準確理解數學定義做好充分準備。這種由“總”到“分”、從具體到抽象、層層深入的方式，更易激發學生參與學習活動的積極性，讓學生快速進入學習主題。

2.新知識鋪墊

對于抽象程度較高的知識，教師在教學中應創造機會，通過不斷滲透讓學生在論證過程與度量需求中體會知識研究的邏輯必要性與可行性，同時分散教學難點，使學生的學習更加順暢。

在直線與平面性質定理的教學中，輔助平面是教學難點，需要在教學過程中逐步滲透、鋪墊，學生才能體會其“借面找線，降維轉化”的價值。為此，教師可在直線與平面判斷定理的形成與證明過程中穿插相關內容。例如，教師可以引導學生探究判定定理的不同證明方法（見圖4）。

假設直線 a 與平面 a 相交，記 a∩a=P 。因為 a//b ，所以 Δ_a 、 b 可以確定一個平面，記為 β ○顯然 a∩β=b 。

因為， P∈a 所以 P∈β 又因為 a∩a=P ，所以 P∈α_c 0 所以 P∈b ，即 a∩b=P ，與a//b矛盾，故alla。

通過讓學生探索不同的證明過程，在形成論證思路的過程中，體會輔助面的構造策略，以及輔助面將空間問題轉化為平面問題的降維轉化功能，為線面平行性質定理的學習埋下伏筆，同時也明確輔助面的功能定位。

在線面平行之后為何要研究線面垂直？從知識關聯角度來看，在“線面位置關系”這一大概念下，平行與垂直是并列知識，二者融合可形成新的下位知識直線與平面的距離。而下位知識又會反過來促使學生對上位知識一直線與平面垂直展開研究。基于圖5的思路，設計如下基于度量需求的研究性問題：如圖6，在正方體中， EF，B₁C₁ 都和平面 ABCD 平行，如何區分？你認為需要做哪些研究？

開放性問題有助于激發學生的發散思維，促使學生從多個角度思考問題，是推動學生進行創造性學習的重要動力。開放題思維發散性強，通過對不同解題過程的探索，學生能夠從多個層面加深對知識的體驗與感悟，強化對所學知識和基本圖形價值的整體認識。尤其是，在不同學習階段對知識與基本圖形的開發利用，更能幫助學生深刻領悟知識的來龍去脈。

【例1】在正方體 ABCD//B₁C₁D₁ 中，

（1）在線段 BD 上是否存在點 E ，使 C₁E// 平面AB₁D₁ ？（線面平行判斷新課）

（2）如果 4，CE與平面ABD位置關系如何？請給出相關證明。在線段 BD 上滿足 C₁E// 平面 AB₁D₁ 的點有多少？（線面平行判斷作業）

對于問題（1），多數學生能夠發現 B 、 D 兩點，以及 BD 的中點，并給出證明過程。該問題的設計意圖在于讓學生在變化的情境中理解判定定理的關鍵一一如何尋找平行線，既可以找已知直線的平行線，也可以構造平行關系來尋找。其中，中點的作用尤為重要，充分體現了尋找平行線的主動性，以及借面找線的降維轉化思想，再次為性質定理的學習埋下伏筆。當學生將 B /D 兩點和中點聯系起來，思維會得到進一步提升，認識到整個直線 BD 上的點都滿足條件。

問題（2）有一定難度，學生出現了如下解法：

教師讓學生課后深入思考，嘗試分析研究方向和重點，下節課展示研究問題。由此，引出線面垂直研究的必要性，同時也為后續距離定義的學習做好鋪墊。

四、突出知識“去向”的教學策略

依據“直線與平面的位置關系”所在單元“空間直線與平面”的教學要求與內容分析，結合教學案例的經驗，在教學實踐中，可從以下幾個方面入手，強化知識的“去向”聯系。

（一）設計開放題，豐富知識的“去向”聯系

如圖7所示，連接 CE 交 ?_AB"于 M ，作 MN//BB₁"交A₁B₁"于 N， 交 AB₁"于 F ，連接C₁N 交 B₁D₁ 于 G ，連接 FG

根據平行線分線段成比例定理 （204 0 所以 RtΔNFGΔRtΔCEC₁ 所以 ∠NGF=∠CEC₁₀ 過 M 作 MT//C₁E 交 C₁N 于 T 則 ∠CEC₁=∠TMC=∠NTE ，所以 ∠NGF=∠NTM ，故而MTIIFG，所以 FG//C₁E ，所以 C₁E//AB₁D₁

還有學生通過延長 GF 交 CM 延長線于 S ，或者延長 C₁E 交 NM 延長線于 L 用相似或平行線分線段成比例定理完成證明的；也有學生延展平面 C₁D₁E ，尋找平面 C₁DE 與平面 AB₁D₁ 交線完成證明的，這里不再贅述。

能夠解答該問題的學生，主動構造平面的能力得到顯著提高，尋找輔助面的意識增強，解題目標更加明確，逐漸養成主動思考的習慣。該問題進一步為性質定理的學習做鋪墊，同時讓學生對面面平行有了直觀感知，為后續面面平行的研究奠定基礎。

（3） P 為 CC₁ 的中點，在底面 ABCD 上是否存在點E ，使 PE// 平面 AB₁D₁ ？若存在求出 E 的軌跡長度，若不存在說明理由。（用于面面平行新課教學）

（4）如果（3）中 E 為線段 BD 上的點，上述結論又將如何？（作為面面平行課后探究內容，在學習空間向量時再次探討）

學生解答如下：

思路1：如圖8所示，學生借助（3）中 BC 與 CD 的中點 H，L 形成的平行平面 PHL ，設 PE// 平面 AB₁D₁ ，平面 C₁CE 交平面 AB₁D₁ 于，交 HL 于 K ，連接 PK ，則有PEI。平面PHL//平面 AB₁D₁ ，所以PK/l，故PE/PK，與題目相交矛盾！所以 PE 與平面 AB₁D₁ 不平行。

思路2：學生借助問題（2）的圖形與結論 C₁E// FG ，若PE//平面 AB₁D₁ ，則必有PEIIFG，所以PEIC₁E ，與它們相交矛盾！

思路3：有學生發現，面C₁CE 就是對角面，設 A₁C₁與 B₁D₁ 交于 O_?1 ，如果PEI/平面 AB₁D₁ ，必須 PE//O₁A由等角定理易得 ∠A₁AO₁=∠C₁PE ，所以 "Rt△GEP所以A0= CE，而

，矛盾！

思路4：也有學生在對角面 ACC₁A₁ 中，延長 C₁E 與 O₁A ，發現它們是相交的。這時教師必須指導學生完成理論證明，做好直觀想象與數學抽象的有機結合，突出形與數的雙向溝通。

問題（3）是對問題（1）（2）的進一步深化，是探索與驗證相結合的過程，實現了證明與度量的有機融合。

問題（4）綜合運用線線、線面、面面平行關系，充分體現了平行關系之間的緊密聯系與相互轉化。從問題（1）（2）到問題（3）（4）的過渡與串聯，體現了核心素養培育的階段性與連續性，也反映出知識關系的復雜性。在空間向量學習階段可以重新探討問題（4），通過對比，讓學生體會向量在解決探究性問題中的優勢。

（二）在操作尋找中厘清知識的“去向”關系

通過在正方體、長方體等知識載體中探尋相關位置關系，既能增強學生的空間立體感，又能鍛煉學生的邏輯推理能力，深化學生對位置關系相互轉化的認識。

在垂直關系的學習過程中，在不同階段引導學生對正方體進行如圖9所示的操作，有助于學生理解垂直知識的“去向”及其與相關知識的聯系。

在線面垂直、三垂線定理、面面垂直等不同學習階段，學生從不同角度尋找垂線或垂面，進一步體會了三種垂直關系之間的相互轉化。問題（1）（2）讓學生認識到線線垂直是線面垂直和尋找垂面的起點，也是面面垂直的基礎；問題（3）是問題（2）的綜合應用；問題（4）則對學生提出了更高要求，旨在培養學生的概括和抽象思維能力。這些知識的“來去”關系基于圖10所示的“判斷”與“性質”的邏輯關系建立，體現了充分性與必要性在構建數學知識聯系中的重要作用。

（三）設計探究活動，挖掘知識的“去向”聯系

數學建模活動通常所需課時較長，而探究性活動靈活多樣，更適合在課時教學中穿插開展。在教學中設計一到兩個探究性問題，有助于聚焦學習過程，實現“以學定教”“教學合一”的目標。探究性活動的開展，能夠激發學生主動研究，促使學生對知識的學習更加全面、深入、立體，進而增強知識的整體性。

以學習線面所成角概念為例，教材中出現如圖11所示的基本圖形，可從以下環節挖掘知識的“去向”聯系。

1.深入研究知識本體，全面認識各元素關系

在學習多面體與旋轉體之后，針對上述圖形，鼓勵學生盡可能多地提出問題，促使學生主動研究知識，回顧以往學習內容，實現深度學習。學生提出了如下問題：

（1）四面體 PABO 中，有多少線面垂直、線線垂直、面面垂直？有多少直角三角形？

（2）若 AB=a ， OB=b ， OP=c ，有多少對異面直線？所成角是多少？求所有的線面角、二面角大小以及各個點到面的距離。

（3）外接球的球心在哪里？表面積、體積是多少？內切球的表面積、體積是多少？

學生提出的這些問題涵蓋了立體幾何的證明、度量，以及球的外接、內切等內容，知識豐富多樣，使學生對線面角基本圖形有了更全面的認識。在這一系列探究活動中，各個階段的知識都得到了復習鞏固，通過一張圖匯聚了立體幾何的眾多知識，充分發揮了圖形的價值，實現了知識的整合與拓展。

2.挖掘知識形成過程中蘊藏的其他知識

在探究線面角唯一性和最小性的過程中，教師可以引導學生發現，平面 α 上過 A 點的直線中，（ 1）CPAB=θ （ θ 為線面所成角）的只有一條（射影）；（2）∠PAB∈（θ，π/2） 為兩條（對稱）； （ 3）∠PAB= π/2 為一條（與射影垂直）。

其中，（1）體現了形成線面角的可行性；（2）體現了圖形的對稱性。由此可得出射影是角平分線等結論，進一步還能得到相應三棱錐頂點射影是內心等結論，通過類比又可得到垂心、外心等相似結論，充分挖掘了圖形的潛在價值，為后續幾何體的學習做好鋪墊。（3）與射影同樣具有唯一性。教師引導學生思考其能否用于度量斜線，促使學生深入研究，發現由于所有角均為 90^° ，無法區分，所以不能用于度量；同時還發現其與射影所成角也為 90^° ，從而引出三垂線定理及逆定理，為定理的學習提供了思路來源。

追求三個角的精確關系，得到三余弦定理：cos ∠PAB=cos （20 ∠PAO?cos∠OAB 。由三垂線定理及逆定理可得：當 PA 為斜線時，cos ∠PAB=0? COs ∠OAB= 0?∠PAB=90^°?∠OAB=90^° 。此外，通過特殊化、控制變量等方法，還可構造出其他問題。這一基本圖形在幾何體性質與度量中應用廣泛，需要教師在教學中不斷強化，以便充分發揮其遷移運用的價值。

五、構建單元知識圖譜，加強知識“來去”聯系

知識的“來”與“去”是一個有機整體，知識的來源往往是上位知識的延伸應用，通常涉及多個知識的融合，或是邏輯關系的“逆”與“否”轉化過程。知識的勾連整合就是知識整體化、結構化的過程，也是構建知識網絡的過程。知識圖譜能夠直觀地展示知識之間的關系，有助于學生將離散、碎片化的數學知識進行結構化和系統化，從而提高教學質量和學生的學習效率。在課堂教學中，應及時在小結環節明確知識之間的聯系，并隨著課時教學的推進，逐步構建單元知識圖譜，幫助學生形成對單元知識的整體認知，如圖12所示（因篇幅限制僅展示部分內容）。

單元知識圖譜是在課時教學過程中逐步豐富完善的，它依據學生的認知發展規律建立，是教師引導與學生自主構建相結合的成果。這樣的知識圖譜融合了知識、方法和思想，構建起緊密的知識網絡。根據教學需要，還可在圖譜中加入基本圖形、典型范例等內容，從而進一步豐富圖譜內涵。通過每節課持續構建單元知識圖譜，讓學生在知識的相互連接中體會知識的“來龍去脈”，感悟知識應用的邏輯順序，拓寬知識理解的視角，為后續知識的遷移、擴張與創新奠定堅實的基礎。

六、總結與展望

強化課時知識的“來去”聯系，以系統化思維設計知識生長點，不僅能將零散的課時內容串聯成連續發展的知識鏈條，還能顯著增強知識間的互動關聯，使學生的思維在知識的融通中實現向廣度與深度的拓展。在這一過程中，學習不再是孤立知識點的機械堆砌，而是通過知識的溯源與延伸，充分展現學科知識的整體性與連通性。這種教學實踐促使單元教學從教師的理論認知層面，切實轉化為可操作、可感知的課堂行動與學生的學習體驗，讓知識體系真正在師生的協同建構中煥發生命力。

借助開放性問題創設與探究性學習活動的開展，將多元知識整合于同一學習載體，既能引導學生深度剖析載體本質，又能促進知識的跨界融合與遷移應用，實現知識網絡的緊密咬合。從單元教學的起始課開始，教師便注重隱性知識的滲透，將核心研究方法與數學思想融入課堂細節，幫助學生逐步構建起科學的認知框架。以此為指導，學生可自主探索后續知識。持續創設應用場景則使隱性知識逐步顯性化，這不僅彰顯了學科研究方法的普適價值，還深化了數學思想的統領作用，更推動了學生形成主動構建知識體系的思維自覺。

加強課時知識的內在聯系，既是凸顯知識整體性的有效策略，也是串聯單元知識、構建跨單元知識網絡的重要紐帶，更是破解單元教學浮于表面等問題的關鍵路徑。這種教學方式兼具理論價值與實踐可行性，將之融入日常教學，能持續強化知識的系統性，為學生數學核心素養的持續發展與深度培育提供有力支撐。值得注意的是，強化課時知識聯系僅是單元教學研究的一個切入點，未來如何進一步深化單元內知識的有機融合，尤其是探索不同數學領域知識間的內在邏輯關聯，仍需教育工作者在實踐中不斷探索、總結與突破。

［本文系上海市第五期名師名校長工程攻關計劃侯寶坤高中數學項目“數學方法論視角下的教材開發與教學實踐的行動研究”（項目編號：SMGC-202405）階段性研究成果]

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侯寶坤上海市向明中學，正高級教師。