圓錐曲線斜率定值問題的兩種解題思路

例題 點 F 是橢圓 C 的右焦點，若經過點（2，0）的直線 l 與橢圓 c 相交于 A，B 兩點，設直線 AF，BF 斜率分別為 k₁，k₂（k₂≠0 ），試k1求證：k2 為定值.

1一般直線解析式

一般式是指假設與圓錐曲線相交的直線解析式為 y=kx+b 或 x=ky+b ，其中 k 是斜率， b 是截距，假設一般解析式思路適用大部分圓錐曲線的斜率問題.運用一般直線解析式求解問題，具體步驟為：（1）假設與圓錐曲線相交的直線解析式，代入圓錐曲線中消元；（2）根據一元二次方程式和韋達定理，得到交點坐標之間的關系式；（3）用橫縱坐標表示直線斜率，化簡求對應問題即可.

解法1設 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 直線 _AB iB：x=ty+2 ，將解析式代人橢圓 c 可得 （2+t²）?y²+4ty+2=0 由 Δ=8（t²-2）gt;0 可得 ，由韋達定理可得y1+y2=2+2

所以

故 為定值. 解法2設 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，

直線 AB：x=ty+2

將解析式代入橢圓 c

可得 （2+t²）y²+4ty+2=0

由韋達定理可得y1+y2=2+2

所以 ，故 為定值.

思考 兩種不同解法都對直線解析式做出一般式的假設，根據過點（0，2）這個已知條件得到假設的一般式 x=ty+2 ，代入橢圓方程中消元得到一元二次方程式，就能憑借韋達定理得到 x₁…x₂，y₁ 、y₂ 之間的關系，就能得到斜率比值的表達式，此時化簡求最終值，即可證明 是定值.

2 點斜直線解析式

設點斜式也是比較常見的一種假設思路，在直線斜率存在的前提下點斜式更加直觀，即根據直線經過的定點 （a，b） 假設直線解析式 k（x-a） ，代入圓錐曲線方程中消元求解斜率相關問題.假設點斜式直線思路解答圓錐曲線的斜率問題，具體步驟為：（1）根據定點假設點斜式的直線解析式，代入圓錐曲線方程中消元；（2）結合一元二次方程式求直線上點坐標之間的關系；（3）用交點坐標表示斜率，得到表達式并化簡，對問題進行最終解答.

解法3 易知直線 AB 斜率存在，設直線 AB：y=k（x-2）（k≠0） ，將解析式代入橢圓 C 中，可得 （1+2k²）x²-8k²x+（8k²-2）=0 由韋達定理可得 即x2= 0因為

所以 故 為定值.

思考點斜式的假設與一般式具有一定區別，適用情況也不相同.點斜式需要直線經過定點的基礎前提，并且要求斜率存在，才能假設并代入計算.因此該題可以假設直線為 y+0=k（x-2） ，代入橢圓后借助一元二次方程式的韋達定理解題，即可得到斜率表達式并證明成立.

3結語

從一道圓錐曲線斜率之比為定值的不同證明思路分析過程中，可以窺探到圓錐曲線的斜率問題的不同證明角度，對不同思路對應解題步驟的區分與映射，有助于學生理解斜率問題，從而提升解題的正確率與效率.

參考文獻：

[1]黃瑞平，周仕榮.解答圓錐曲線中直線的斜率之和（積）為定值問題的兩種途徑[J」.語數外學習（高中版下旬），2024（01）：35—36.

[2]牛志忠，郭清源.高考圓錐曲線動點與斜率和積問題之妙解[J].中學生數理化（高二數學），2022（12）： ^17-19+23.