次線性期望下的END序列加權和的強極限定理

中圖分類號：O211.4 文獻標志碼：A 文章編號：1671-5489（2025）04-1032-07

Strong Limit Theorems for Weighted Sums of END Sequence under Sub-linear Expectations

XIAN Wei1，YOU Tianshu2 （1.Schoolof Mathematics and Statistics，Changchun Unversityof Science and Technology，Changchun l30022，China; 2. School of Electrical and Computer Engineering， Jilin Jianzhu University，Changchun 130l19，China）

Abstract： By using the definition of sub-linear expectation and corresponding inequalities，we gave the strong limit theorems for weighted sums of END sequence under sub-linear expectations，and further studied the Marcinkiewicz-Zygmund type strong law of large numbers and Strassen-type invariance principle.

Keywords： strong limit theorem;weighted sum; END sequence; sub-linear expectation

引言與預備知識

傳統極限理論建立在概率和期望的可加性基礎上，適用于模型確定的情況．但實際問題通常不滿足這種可加性，因而傳統極限理論無法解決這類問題，需引人非線性期望解決此類問題．目前，關于次線性期望的研究已有很多結果[1-15]．例如：Peng[1-2]系統介紹了非線性期望的定義，進而引入獨立、同分布、中心極限定理和大數定律等相關概念和定義；Chen等[3」在一定條件下討論了次線性期望下相依序列的大偏差原理；Zhang[4-6]相繼給出了次線性期望下的 Rosenthal不等式、指數不等式及Lindeberg中心極限定理；Liu等[7]證明了次線性期望下由獨立序列生成的線性過程的中心極限定理.

設 （Ω，F） 是一個度量空間， H 是定義在其上的線性泛函，滿足當 X₁，X₂，…，X_n∈H 時，對任意的φ∈C_l，Lip（Rⁿ） ，有 φ（X₁，X₂，…，X_n）∈H， 其中 C_l，Lip（Rⁿ） 為滿足下列條件的局部Lipschitz連續函數 φ 構成的線性空間：

|φ（a）-φ（b）|?C（1+|a|^ε+|b|^ε）|a-b|，?a，b∈Rⁿ，

中 cgt;0 ， k∈R 僅依賴于 φ ，顯然，當 A∈F 時，所有示性函數 I_A 都包含在 H 中.

定義 1^[2] （20 若 X，Y∈H ，映射 E ： H[-∞，+∞] 滿足如下性質：

1）單調性：當 X?Y 時，有 E[X]?E[Y] ：

2）保常數性： ， ?c∈R ;

3）次可加性：E X+Y]?E[X]+E[Y] 0

4）正齊次性： ， y_λ?0

則E稱為次線性期望， （Ω，H，E） 稱為次線性期望空間， E[X]：=-E[-X] 稱為E的共軛期望.

定義2[16] 如果 V ： F[0，1] 滿足下列條件：

1） V（O）=0 ， ：

2） V（A）?V（B） ， ?A?B∈F.

則 V 稱為容度.

引入上容度/期望和下容度/期望如下：

其中 P 為 M 的非空子集， M 為 上所有概率測度組成的集合．由上述定義可知， V（???） 為容度， I（θ?θ） 為 V（σ?σ） 的共軛容度， E[?] 為次線性期望， E[?] 為 E[?] 的共軛期望.

定義 3^[16] 記Choquet 積分為 ，其中 V 可由上容度 V 和下容度 y 替換.

定義 4^[17] 如果存在常數 L?1 ，使得 ，則次線性期望空間 （Ω，H，E） 上的隨機變量序列 {X_k ， k?1} 稱為END（extended negatively dependent）序列，其中非負函數 φ_i∈C_l，Lip（R） 為非減（或非增）的.

定義 5^[18] 如果存在正常數 A ，使得

則次線性期望空間 上的隨機變量序列 {X_k ， k?1} 稱為被隨機變量 X 隨機控制.

隨機變量序列加權和的極限性質研究是概率極限理論的關注熱點之一．本文若無特殊說明，記{Z_k，k?1} 為次線性期望空間 （Ω，H，E） 上的END 隨機變量序列； {d_ki ， 1?i?k ， k?1} 為實數陣列； 為加權和， C 表示正常數，不同之處可表示不同值.

2 END序列加權和的強極限定理

引理 1^[17] 假設 {Z_k ， k?1} 為 END 隨機變量序列， g₁（x），g₂（x），…∈C_l，Lip（R） 均為非增（或非降）的函數，則 {g_k（Z_k），k≥1} 仍然為END隨機變量序列.

引理2[19] 假設g（y）為非負非降的函數，則對任意的y，有V（Y≥y）≤E[g（Y）].

引理 3^[4] 假設 {B_k ， k?1} 為一事件列， V 為可數次可加的容度．如果 ，則

V（B_ki.o.）=V（?_k=1^∞?_i=k^∞B_i）=0.

引理 4^[4] （ 假設E為可數次可加的，則E

定理1 對某個 0lt;αlt;1 以及

假設 sup_kE[∣Z_k∣^2+α]lt;∞ ，當 d_ki?0 時，有

當 d_ki{≤0 時，有

其中 K 為一正常數.

證明：記 顯然

由式（1）可知，存在 bgt;0 ，使得

首先證明下式成立：

（7）～（9） ρ_s≥0

顯然 f_c（?）∈C_l，Lip（R） ，由引理1可知 {Z_i^′-E[Z_i^′]} 仍為 END序列，再結合END 序列定義，由式（11）可知，

在式（12）中取 s=logk ，由引理2可知當 時，有

于是由引理3可知 ，從而式（10）成立，因為 V（B）= 1-V（B^c） ：

下面證明

當 2^l?klt;2^l+1 時，由式（9）可知

注意到sup E[∣Z_k∣^2+α]lt;∞ ，則由引理2對任意的 εgt;0 ，有

從而由引理3和式（15）可知

進而由式（14）和式（16）以及 ε 的任意性可知式（13）成立.

最后證明

類似式（14）和式（15）的證明過程可知

從而式（17）成立.

聯立式（6），（10），（13），（17）可知式（2）成立．由引理1可知 {-Z_k ， k?1} 仍然為END序列，用-Z_k 代替 Z_k 重復上述證明過程可知式（3）成立．式（4）和式（5）證明過程類似，故略．證畢.

定理2 對某個 0lt;αlt;1 以及

假設 sup_kE[∣Z_k∣^2+α]lt;∞ ，則當 d_ki?0 時，有

當 d_ki{?0 時，有

特別地，當 V 為上連續的且 E[Z_i]=E[Z_i]（i≥1） 時，有

證明：令 由式（18）可知 當 d_kigt;0 時，由定理1可知 ，注意到

從而 ，由引理1可知 {-Z_k，k?1} 仍為 END 序列，用一 Z_k 代替Z_k 重復上述證明過程可知式（20）成立．式（21）和式（22）證明過程類似，故略．證畢.

特別地，在定理2中取 d_ki=k^-1/p ， 1?i?k ， 0

推論1假設 sup_kE[∣Z_k∣^2+α]lt;∞ ，對某個 0lt;αlt;1 ，當 0

特別地，當 V 為上連續的且 E[Z_k]=E[Z_k]（k?1） 時，有

證明：注意到當 0 ，則由定理2可直接證得結論.證畢.

下面考慮有限二階矩情形，即定理1和定理2中 α=0 的情形.

推論2假設 {Z_k ， k?1} 被隨機變量 Z 隨機控制且 C_V（∣Z∣²）lt;∞ ．進一步，假設式（18）成立且E是可數次可加的，則定理2的結論仍然成立.

證明：由定理1的證明過程可知，只需驗證下式成立即可：

令 ，滿足當 時， l_δ（y）=0 ，當 y?1 時， ，其中 0lt;δlt;1 ．則易知

由引理4和式（24）可得

從而式（23）成立．證畢.

推論3假設集合 P 中的元素個數有限， {Z_k ， k?1} 被隨機變量 Z 隨機控制且 E[|Z|²]lt;∞ 進一步，假設式（18）成立，則定理2的結論仍然成立.

證明：由定理1的證明過程可知，只需驗證式（23）成立即可．記 N 為 P 中元素的個數，則由式（24）可得

從而式（23）成立．證畢.

3 Strassen型不變原理

下面考慮 R 上連續泛函 φ（?） 的Strassen型不變原理.

定理3 假設定理1的條件均成立，則當 d_ki?0 時，有

當 d_ki?0 時，有

證明：令 ．對固定的 ω∈A 及任意的 ηgt;0 ，存在L=L_η（ω） ，使得當 kgt;L 時，有 ，因此

由 φ（?） 的連續性，令 η0 ，可知 lim sup ，從而

由定理2可得

從而由引理1可知 {-Z_k ， k?1} 仍然為END序列，用一 Z_k 代替 Z_k 重復上述證明過程可知式（26）成立．式（27）和式（28）證明過程類似，故略．證畢.

注1擴展獨立和 ND（negatively dependent）序列都是 END序列的特例，因此本文的結論對擴展獨立和ND序列仍然成立，從而本文推廣了文獻[8]的結果.

注2當 {Z_k，k?1} 為同分布序列時，可推出 {Z_k ， k?1} 被隨機變量 Z₁ 隨機控制，從而推論2和推論3的結論對同分布序列仍然成立.

參考文獻

[1]PENG S G. Survey on Normal Distributions，Central Limit Theorem，Brownian Motion and the Related Stochastic Calculus under Sublinear Expectations [J].Science in China，Series A：Mathematics，2O09，52（7）：

[2]PENG S G. Nonlinear Expectations and Stochastic Calculus under Uncertainty[M].Berlin：Springer，2O19：1-48.

[3]CHEN Z J，FENG X W.Large Deviation for Negatively Dependent Random Variables under Sublinear Expectation [J]. Communications in Statistics： Theory and Methods，2016，45（2）：400-412.

[4]ZHANG L X. Rosenthal’s Inequalities for Independent and Negatively Dependent Random Variables under Sub-linear Expectations with Applications [J]. Science China： Mathematics，2Ol6，59（4）：751-768.

[5]ZHANG L X. Exponential Inequalities under the Sub-linear Expectations with Aplications to Laws of the Iterated Logarithm [J]. Science China：Mathematics，2016，59（12）：2503-2526.

[6]ZHANG L X. Lindeberg's Central Limit Theorems for Martingale-Like Sequences under Sub-linear Expectations [J].Science China：Mathematics，2021，64（6）：1263-1290.

[7]LIU W，ZHANG Y. Central Limit Theorem for Linear Processes Generated by IID Random Variables under the Sub-linear Expectation [J].Applied Mathematics：A Journal of Chinese Universities（Series B），2O21，36（2）： 243-255.

[8]FENG X W.Law of the Logarithm for Weighted Sums of Negatively Dependent Random Variables under Sublinear Expectation [J]. Statistics amp; Probability Letters，2019，149：132-141.

[9]FENG X W，LAN Y T. Strong Limit Theorems for Arrays of Rowwise Independent Random Variables under Sublinear Expectation [J]. Acta Mathematica Hungarica，2019，159（1）：299-322.

[10]WU Q Y，JIANG Y Y. Strong Law of Large Numbers and Chover’s Law of the Iterated Logarithm under Sub-linear Expectations [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications，2018，46O（1）： 252-270.

[11]譚希麗，張凱麗，張勇，等．次線性期望下WOD隨機變量序列加權和的幾乎處處收斂性［J]．吉林大學學報 （理學版），2022，60（2）： 295-302.（TAN X L，ZHANG K L， ZHANG Y，et al. Almost Sure Convergence of Weighted Sums for Sequences of WOD Random Variables under Sublinear Expectations [J]. Journal of Jilin University（Science Edition），2022，60（2）：295-302.）

[12]WU Y，WANG X J. General Results on Precise Asymptotics under Sub-linear Expectations [J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2022，511（2）：126090-1-126090-18.

[13]HU MS，JIANG L Z， LIANG G C，et al. A Universal Robust Limit Theorem for Nonlinear Levy Processes under Sub-linear Expectation [J]. Probability，Uncertainty and Quantitative Risk， 2O23，8（1）：1-32.

[14］劉倫義，吳群英．次線性期望空間下 END列 Jamison型加權和的幾乎處處收斂性［J]．吉林大學學報（理學版）， 2023，61（4）： 808-814. （LIU L Y，WU QY. Almost Sure Convergence of Jamison Type Weighted Sums of END Sequences in Sub-linear Expectation Space [J]. Journal of Jilin University（Science Edition），2O23，61（4）： 808-814.）

[15]譚希麗，董賀，孫佩宇，等．次線性期望下 λ_m -END 序列加權和的幾乎處處收斂性［J]．吉林大學學報（理學版）， 2023，61（5）： 1073-1082. （TAN X L，DONG H，SUN P Y，et al. Almost Sure Convergence of Weighted Sums for m -END Sequences under Sub-linear Expectations [J]. Journal of Jilin University（Science Edition），2023， 61（5）：1073-1082.）

[16]CHOQUET G. Theory of Capacities [J]. Annales de L'institut Fourier，1954，5：131-295.

[17]ZHANG L X. Strong Limit Theorems for Extended Independent Random Variables and Extended Negatively Dependent Random Variables under Sub-linear Expectations[J]. Acta Mathematica Scientia： Series B（English Edition），2022，42（2）：467-490.

[18]DING X，ZHANG Y. Chover's Law of the Iterated Logarithm for Weighted Sums under Sub-linear Expectations [J]. Communications in Statistics： Theory and Methods，2024，53（17） ： 6055-6075.

[19]CHEN Z J，WU P Y，LIB M. A Strong Law of Large Numbers for Non-aditive Probabilities [J]. International Journal of Approximate Reasoning，2013，54（3）： 365-377.

（責任編輯：趙立芹）