環形區域上非線性項中含梯度項的 Kirchhoff方程的徑向對稱解

中圖分類號：0175.8 文獻標志碼：A 文章編號：1671-5489（2025）04-1025-07

Radial Symmetric Solutions of Kirchhoff Equation of Nonlinearity with Gradient Term on Annulus

CHEN Wenjing，LI Yongxiang （College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 73007o，China）

Abstract： We discussed the existence of radial symmetric solutions of a Kirchhoff equation of nonlinearity with gradient term on an annulus in R^N（N≥2） by using the Leray-Schauder fixed point theorem. Under the nonlinearity satisfied certain conditions which allowed the nonlinearity might be superlinear growth of any order on unknown function term，and quadratic growth on the gradient term of unknown function，the existence results of radial symmetric solutions were obtained.

Keywords： Kirchhoff type elliptic equation； radial symmetric solution； existence； Leray-Schauderfixed point theorem

0引言

考慮 R^N（N?2） 中的環形區域 Ω={x∈R^N|r₁lt;|x|2} 上非線性項中含有未知函數與梯度項的Kirchhoff方程

$＼left＼{ ＼begin{array} { l l } { - ＼left（ a + b ＼right） _ { a } ＼left| ＼nabla u ＼right| ^ { 2 } ＼mathrm { d } x ＼right） ＼Delta u = f （ ＼left| x ＼right| ， u ， ＼left| ＼nabla u ＼right| ） ， } amp; { x ＼in ＼Omega ， } ＼＼ { u ＼left| _ { ＼partial ＼Omega } = 0 ＼right.} ＼end{array} $

向對稱解的存在性，其中 a，bgt;0 為常數， 為連續函數.

Kirchhoff方程是一類非經典的橢圓型偏微分方程，最早由Kirchhof[1提出，用于描述弦或膜振

動的平衡狀態，在非牛頓力學和彈性理論等數學物理問題中應用廣泛[2-4]．這類方程由于含有非局部項 ，使得其解不能逐點驗證，求解有一定困難．因此，研究Kirchhoff 方程解的存在性有一定的理論意義和應用價值.

近年來，關于低維『 R^N（1?N?3） 中有界區域 上非線性項不含未知函數梯度項的Kirchhoff方程

解的存在性與多重性研究備受關注[5-15]．方程（2）具有變分結構，上述研究應用變分方法和臨界點理論，在非線性項 f（x，u） 關于 u 次臨界及臨界增長的情形下獲得了其解及正解的存在性和多重性結果.最近，文獻[16]對 Ω?R⁴ 及臨界增長的情形，也應用變分方法獲得了方程解的存在性結果．但對更高維空間的情形，由于非局部項導致的困難，尚未見文獻報道相關的存在性結果．而對非線性中含未知函數梯度項的更一般的Kirchhoff方程，由于其沒有變分結構，通常研究方程（2）的變分方法與臨界點理論不再適用，目前研究報道較少.

本文不限制空間 R^N 的維數，研究 R^N 中環形區域 Ω={x∈R^N∣r₁lt;∣x∣2}（012lt;+∞） （2號上非線性項中含梯度項的Kirchhoff方程（1）徑向對稱解的存在性．由于方程（1）沒有變分結構，因此本文用全連續算子的Leray-Schauder不動點定理研究該問題．在非線性項 f（r，ξ，η） 滿足一些易驗證的不等式條件下，獲得了方程（1）徑向對稱解的存在性結果.

為敘述方便，引入常數

假設條件如下：

（ H₁ ）存在常數 0?α0 ， β?0，γgt;0 ，使得

（ H₂ ）對 ?Mgt;0 ，存在連續增函數 G_M ： ，滿足

使得

（ H₃ ）存在常數 0?α0 及 γgt;0 ，使得

f（r，ξ）ξ?αξ⁴+γ，（r，ξ）∈[r₁，r₂]×R.

假設條件（ ?H₁ ）是一個單邊增長條件，其限制 f（r，ξ，η） 在正向關于 ξ 至多3次增長，而不限制負向的增長，例如

滿足條件（ ?H₁ ），在負向的可 （2n+1） 次增長，其中 n∈N ．條件（ ?H₂ ）是 f（r，ξ，η） 關于 η 的 Nagumo 型增長條件，其限制 f（r，ξ，η） 關于 η 的至多2次增長．其中， G_M 可由下式確定：

ρ≥0.按式（7），易驗證式（6）定義的 f（r，ξ，η） 也滿足條件（ ）．因此，不等式條件 ?H₁ ）和（ H₂ ）易驗證.

1預備知識

若 u=u（∣x∣） 為方程（1）的徑向對稱解，令 ，則

為計算方程中的 ，做球坐標變換：

其中 r∈[r₁，r₂]，0?θ₁，θ₂，…，θ_N-2?π ， 0?θ_N-1?2π ，其Jacobi行列式

因此，

取常數

則由方程（1）， u（r） 滿足常微分方程

將方程（9）兩邊同乘 r^N-1 ，則其化為擬線性常微分方程的邊值問題（BVP）：

反之，若 u（r） 為BVP（10）的解，則由上述計算知， u（∣x∣ ）為方程（1）的徑向對稱解．下面通過討論BVP（10），獲得Kirchhoff方程（1）的徑向對稱解.

記 I=[r₁，r₂] ， R⁺=[0，+∞） ： C（I） 表示 I 上全體連續函數按最大模范數 構成的Banach空間．對 n∈N ， Cⁿ（I） 表示 I 上全體 n 階連續可微函數按范數 構成的Banach空間．在 C（I） 中，仍使用 范數 ，

設 h∈C（I） ．考慮線性常微分方程邊值問題（LBVP）：

引理 1^[17] 對 ?h∈C（I） ，LBVP（11）存在唯一解 u：=Sh∈C²（I） ，且解算子 s ： C（I）C¹（I） 為線性全連續算子.

引理2對 ?h∈C（I） ，LBVP（11）的解 u=Sh 滿足估計：

證明：對 ?h∈C²（I） ，設 u=Sh∈C²（I） 為LBVP（11）的解．則由方程（11）中的邊界條件 及Holder不等式，有

因此式（12）成立．證畢.

引理3（全連續算子的Leray-Schauder不動點定理）[18]設 E 為 Banach 空間， A ： 為全連續映射．若方程簇

u=λAu，0lt;λ?1

的解集在 E 中有界，則 A 至少有一個不動點.

設 f 連續，考慮BVP（10）．定義映射 F ： C¹（I）C（I） 為

則由 的連續性知， F \"：C¹（I）C（I） 連續，且把 C¹（I） 中的有界集映為 C（I） 的有界集．定義 s 與 F 的復合映射 A 為

A=S°F.

由 的全連續性知， 全連續．由 S 和 F 的定義知， 不動點為BVP（10）的解．本文將對 A 應用引理3證明BVP（1O）有解.

為對 A 在 E=C¹（I） 中應用Leray-Schauder不動點定理，對BVP（1O）建立如下結果：

引理4設 f ： 連續，滿足條件（ ）．則對 ?Mgt;0 ，存在僅與 M 有關的常數M₁=M₁（M）gt;0 ，使得當BVP（1O）的解 u 滿足 時，有 ：

證明：對 ?Mgt;0 ，由（ H₂ ）可知，存在滿足條件（4）的連續增函數 G_M ： ．按條件（4），存在常數 M₁=M₁（M）gt;0 ，使得

設 u∈C²（I） 為BVP（10）的一個解，滿足 ，下證

由BVP（10）邊界值條件， u（r₁）=u（r₂）=0 ．因此由Rolle中值定理知，三 ，使得u^′（s₀）=0 .反設 不成立，則 ?s₁∈I ，使得 ．顯然， s₁≠s₀ ： s₀ 與 s₁ 的大小關系及 u^′（s₁） 符號，有以下4種情形：

1） s₁0 ， u^′（s₁）gt;M₁ ：

2） s₁gt;s₀ ， u^′（s₁）gt;M₁ ：

3） s₁0 ， u^′（s₁）lt;-M₁ ：

4） _s1gt;s0 ， u^′（s₁）gt;-M₁ ：

本文僅考慮情形1），其他3種情形類似．令

則由 u^'（r） 的連續性及上下確界的性質知， ，且

當 時，由方程（10）及式（16），有

因此有

將式（17）在 上積分，并進行變量替換

因為 N-1M，故由式（18），有

式（19）與式（15）矛盾，因此 ．證畢.

2 主要結果

定理1設 f 連續，滿足條件 （H₁），（H₂） ，則Kirchhoff方程（1）至少有一個徑向對稱解.

證明：設 A ： C¹（I）C¹（I） 為式（14）定義的全連續算子，下面對 A 應用Leray-Schauder不動點 定理證明其有不動點，為此，考察方程簇

u=λAu，0lt;λlt;1，

證明方程簇（20）的解集在 C¹（I） 中有界.

設 u 為方程簇（20）中某個參數 λ∈（0，1） 對應方程的解，則 u=λAu=S（λF（u）） .由 s 的定義知， u 為 h=λF（u）∈C（I） 對應的線性方程LBVP（11）的解，因此 u∈C²（I） 滿足方程

將方程（21）兩邊同乘以 u（r） ，并在 I 上積分，右端應用條件（ ）和式（12），有

對式（22）左端應用分部積分公式，得

從而得

因為 0?α0 ，由式（3），（8），有

因此，有

取正常數

對式（23）右端第二項 ，取 應用平方不等式 2pq?p²+q² ，得

由不等式（23），有

從而有

對 ?r∈I ，由式（27）及Holder不等式，有

因此，

對方程（21），因為 ，故其非線性項滿足與 λ 無關的Nagumo型條件（ H₂ ）．因此，由引理4及式（28）知，存在僅與 M 有關的常數 M₁gt;0 ，使得 ．從而

即方程簇（20）的解集在 C¹（I） 中有界．由Leray-Schauder不動點定理知， A 在 C¹（I） 中有不動點 u₀ ，該不動點為BVP（10）的解．從而 u₀（Ω|x|Ω ）為Kirchhoff方程（1）的徑向對稱解．證畢.

此時，由式（6）， G_M（ρ） 恒為正常數，故條件（ ?H₂ ）自然成立．因此由定理1，有：

定理2設 f ： 連續，滿足條件（ H₃ ），則Kirchhoff方程（3O）至少有一個徑向對稱解.

由于條件（ ?H₃ ）允許 f（r，ξ） 關于 ξ 在負向任意次增長，又因為區域 所在的空間 R^N 可以是任意維的，因此定理2的存在性結果不能從文獻[5-16」中獲得，是一個新的存在性結果.

例1考慮 R⁵ 中環形區域 Ω={x∈R⁵∣1lt;∣x∣lt;2} 上的Kirchhoff 型橢圓邊值問題：

對應于方程（1），相應的非線性項為

而式（3）確定的常數

對 ?（r，ξ，η）∈[1，2]×R×R⁺ ，由式（32）有

為 α=9∠b₀ ，故由式（33）知， f（r，ξ，η） 滿足條件（ H₁ ），其中相應的 β=0，γ=16.

對 ?Mgt;0 ，當 |ξ|?M 時，由式（32）有

其中 M₀=8M³+5M⁷+8gt;0 取 G_M（η）=3Mη²+M₀ ，則其在 R⁺ 上單調遞增，滿足條件（4）．由式（34）知， f（r，ξ，η） 滿足條件（ H₂ ）．因此，由定理1知，方程（31）有徑向對稱解.

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（責任編輯：趙立芹）