指向邏輯推理能力培養(yǎng)的分式方程變式訓(xùn)練

在新課標(biāo)背景下，教師要重視培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。分式方程是初中數(shù)學(xué)學(xué)科的重要內(nèi)容，教師可結(jié)合分式方程知識的特點(diǎn)，構(gòu)建“以思導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)模式，并探究如何通過結(jié)構(gòu)性、層次性、啟發(fā)性的變式訓(xùn)練，有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

一、邏輯推理能力培養(yǎng)與分式方程教學(xué)的關(guān)聯(lián)

在新課標(biāo)背景下，教師要讓學(xué)生在真實(shí)問題情境中提升數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性和連貫性。在分式方程學(xué)習(xí)中，學(xué)生在面對分母含有未知數(shù)的方程時(shí)，需要通過邏輯分析區(qū)分其與整式方程的本質(zhì)差異。在解方程的過程中，學(xué)生在去分母時(shí)需要有效運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，并運(yùn)用逆向思維分析轉(zhuǎn)換過程的邏輯正確性。正向運(yùn)算和逆向驗(yàn)證有機(jī)結(jié)合的思維訓(xùn)練符合數(shù)學(xué)證明的基本要求，能讓學(xué)生在解方程過程中自然形成因果推理的思維習(xí)慣。

分式方程課程中的邏輯推理要素具有多種特征。第一，在概念理解層面，邏輯推理的分析性較為明顯。學(xué)生需要通過對比分析建立概念網(wǎng)絡(luò)，了解分式方程與分式、整式方程的外延差異，理解分式方程的內(nèi)涵。在對比分析中，學(xué)生需要運(yùn)用歸納推理的方法提煉數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性，并通過演繹推理的方法明確概念間的邏輯關(guān)系。第二，在解法探究層面，邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性較為明顯。分式方程的知識與其他知識存在密切的聯(lián)系，學(xué)生在學(xué)習(xí)本課知識時(shí)，需要結(jié)合多個(gè)方面的內(nèi)容，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?。第三，在?yīng)用建模層面，邏輯推理的系統(tǒng)性較為明顯。學(xué)生需要將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號，并在假設(shè)驗(yàn)證的過程中，先通過合情推理分析變量間的關(guān)系，再通過演繹推理構(gòu)建方程模型，最后通過邏輯檢驗(yàn)確認(rèn)模型的適切性。這種完整的問題解決過程，能使學(xué)生將數(shù)學(xué)建模思維與邏輯推理要素緊密聯(lián)系起來[1]

二、開展分式方程變式訓(xùn)練的基本原則

（一）以結(jié)構(gòu)性變式夯實(shí)認(rèn)知基礎(chǔ)

結(jié)構(gòu)性變式設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)在維持?jǐn)?shù)學(xué)問題本質(zhì)屬性的前提下，對非本質(zhì)特征進(jìn)行多維度的調(diào)整。在分式方程知識教學(xué)中，這種變式設(shè)計(jì)具體表現(xiàn)為系數(shù)符號的交替設(shè)置、分母結(jié)構(gòu)的組合變化、未知數(shù)位置的策略性調(diào)整等。例如，教師可將原來的單項(xiàng)式分母改為多項(xiàng)式分母，以此引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同代數(shù)結(jié)構(gòu)下通分的共性規(guī)律。這類變式訓(xùn)練能夠讓學(xué)生突破思維的限制，結(jié)合表面特征的動態(tài)變化建立穩(wěn)定的概念圖式，培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力[2]。

（二）以層次性遞進(jìn)搭建思維階梯

在開展分式方程變式訓(xùn)練時(shí)，教師要遵循層次性遞進(jìn)原則，構(gòu)建難度合理的問題鏈。這種遞進(jìn)性體現(xiàn)在知識載體的復(fù)雜性、思維操作的抽象性、問題情境的真實(shí)性三個(gè)方面。在初級階段，教師可設(shè)計(jì)純數(shù)學(xué)情境的基礎(chǔ)變式題，聚焦分式方程的標(biāo)準(zhǔn)解法，通過逐步增加方程項(xiàng)數(shù)和提升分母復(fù)雜度，幫助學(xué)生掌握解題的基本過程。在中級階段，教師應(yīng)設(shè)計(jì)半結(jié)構(gòu)化應(yīng)用題，引入現(xiàn)實(shí)情景與數(shù)學(xué)模型。例如，教師可設(shè)計(jì)需要篩選有效解的工程問題，讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際問題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)問題現(xiàn)實(shí)化的雙向思維過程。在高級階段，教師要整合多個(gè)知識點(diǎn)，設(shè)計(jì)綜合變式問題。比如，教師可將分式方程與函數(shù)圖像、不等式組等知識相結(jié)合，設(shè)計(jì)需要進(jìn)行多步推理的復(fù)合型問題。教師遵循層次性遞進(jìn)原則，設(shè)計(jì)難度螺旋上升的變式題目，能有效激發(fā)學(xué)生的探究動力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

（三）以啟發(fā)性引導(dǎo)激發(fā)推理興趣

在分式方程知識教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生具備一定的解題經(jīng)驗(yàn)后，教師要遵循啟發(fā)性引導(dǎo)原則，設(shè)計(jì)啟發(fā)性變式問題，以此幫助學(xué)生突破思維瓶頸，激發(fā)學(xué)生的推理興趣。啟發(fā)性變式問題能幫助學(xué)生突破程式化訓(xùn)練的限制，讓學(xué)生進(jìn)行自我反思：為何要選擇這種解題策略？增根產(chǎn)生的本質(zhì)是什么？不同解法之間存在怎樣的關(guān)系？在這樣的反思性實(shí)踐中，學(xué)生能充分掌握分式方程的解法，形成基于邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)思維方式[3]

三、分式方程變式訓(xùn)練開展策略

（一）設(shè)計(jì)方程結(jié)構(gòu)變式，夯實(shí)結(jié)構(gòu)認(rèn)知基礎(chǔ)

在分式方程知識教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)方程結(jié)構(gòu)變式能有效培養(yǎng)學(xué)生的分類推理能力，加深學(xué)生對分式結(jié)構(gòu)的認(rèn)識。在培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的過程中，教師要設(shè)計(jì)多樣的分式方程，讓學(xué)生歸納解法的共性，培養(yǎng)分類討論意識。

1.多樣的方程設(shè)計(jì)

在開展分式方程變式訓(xùn)練活動時(shí)，教師要精心設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)不同的分式方程，如 ， 等，以此讓學(xué)生了解方程結(jié)構(gòu)的多樣性。

2.歸納解法的共性

在學(xué)生解結(jié)構(gòu)不同的方程的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察并深入分析不同方程在解法上的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，從而讓學(xué)生自主歸納出通用的解法。例如，在學(xué)生解 這三個(gè)方程時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析，讓其明白雖然這三個(gè)方程結(jié)構(gòu)不同，但在求解時(shí)，我們都可通過“去分母”將其轉(zhuǎn)化為整式方程來求解。

3.培養(yǎng)分類討論意識

為了培養(yǎng)學(xué)生的分類討論意識，提升學(xué)生邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，教師要引導(dǎo)學(xué)生對結(jié)構(gòu)不同的方程進(jìn)行分析，使學(xué)生養(yǎng)成依據(jù)方程結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分類討論的習(xí)慣。例如，在學(xué)生完成上述案例的求解后，

教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行全面、深入的總結(jié)與分析，讓學(xué)生明白 個(gè)方程的求解過程的差異，學(xué)會根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來選擇不同的求解方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的分類討論意識。

（二）探索多樣解法，提升推理能力

在夯實(shí)學(xué)生結(jié)構(gòu)認(rèn)知基礎(chǔ)的基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生探索多樣的解法，以此培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。例如，在解 x+3+x+1=4這一變式方程時(shí)，我們既可采用直接通分求解的常規(guī)方法，也可通過設(shè)輔助未知數(shù)的方法（如設(shè) ）對原方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求出方程的解。前者體現(xiàn)了代數(shù)運(yùn)算的規(guī)范性，后者則展現(xiàn)了換元策略的靈活性。在對比分析兩種解法的邏輯鏈條后，學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)，直接通分求解的方法適用于項(xiàng)數(shù)較少的情況，而設(shè)輔助未知數(shù)的方法則更適用于項(xiàng)數(shù)較多的分式方程。這樣的教學(xué)能培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)方程特征選擇最優(yōu)解法的能力，提升學(xué)生的邏輯推理能力[4]

（三）問題變式設(shè)計(jì)，培養(yǎng)建模能力

在開展分式方程變式訓(xùn)練時(shí)，教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)基于真實(shí)問題情境的變式問題，以此培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。以工程效率問題的講解為例，教師可從實(shí)際施工場景切入，設(shè)計(jì)生活化問題：某市有兩條受損路需要修復(fù)，分別由甲、乙兩個(gè)修路速度不同的施工隊(duì)完成。如何結(jié)合分式方程量化分析修路速度差異對工期的影響？通過引入這樣的生活化問題，教師能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的探究動力。在此基礎(chǔ)上，教師可展示原題：甲隊(duì)單獨(dú)修400米所用時(shí)間是乙隊(duì)修600米所用時(shí)間的1.5倍，且甲隊(duì)每天比乙隊(duì)少修10米，求兩隊(duì)的修路速度。在解決此問題時(shí)，我們要先根據(jù)明確的條件關(guān)系寫出分式方程，如設(shè)乙隊(duì)修路速度為 x 米/天，則甲隊(duì)修路速度為 （x-10） 米／天，進(jìn)而根據(jù)時(shí)間關(guān)系可得方程： ，在解題過程中，教師要讓學(xué)生從題目中提取數(shù)學(xué)要素，經(jīng)歷“問題 $$ 符號 $$ 方程”的建模過程。在開展相應(yīng)的變式教學(xué)時(shí)，教師可將原題調(diào)整為逆向結(jié)構(gòu)的問題：已知甲隊(duì)修路速度提升 20% 后，完成400米所需時(shí)間比乙隊(duì)原本修600米所需時(shí)間少2天，且甲隊(duì)原本每天比乙隊(duì)少修10米，求兩隊(duì)原來的修路速度。此變式問題對相應(yīng)的條件進(jìn)行了重構(gòu)，能促使學(xué)生重新梳理變量之間的邏輯關(guān)系。具體解題思路如下：設(shè)乙隊(duì)原修路速度為 x 米／天，則甲隊(duì)原修路速度為 （x-10） 米/天。根據(jù)問題條件可得，甲隊(duì)修路速度提升后為 1.2（x-10） 米／天，此時(shí)甲隊(duì)修400米所需時(shí)間比乙隊(duì)修600米的時(shí)間少2天，由此可建立方程。這樣的逆向結(jié)構(gòu)問題能培養(yǎng)學(xué)生由結(jié)果反推條件的能力。之后，教師可引導(dǎo)學(xué)生對比原題與變式問題中修路速度變化的呈現(xiàn)方式，并讓學(xué)生通過試值法檢驗(yàn)解的合理性，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)敏感性。在此基礎(chǔ)上，教師可進(jìn)行變式拓展教學(xué)，引入“多隊(duì)協(xié)作”“資源限制”等復(fù)雜場景，以此推動學(xué)生建模能力的發(fā)展。

（四）借助錯(cuò)例辨析，促進(jìn)邏輯推理

在分式方程教學(xué)中，教師運(yùn)用錯(cuò)例辨析策略能從批判的維度培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。例如，對于學(xué)生在解方程 時(shí)普遍忽略檢驗(yàn)增根的問題，教師可呈現(xiàn)典型錯(cuò)誤解法，引導(dǎo)學(xué)生分析解題步驟。

對于=1 這一方程，學(xué)生常見的錯(cuò)誤解法（21如下：先兩邊同時(shí)乘以 （x-3） ，得到 ，然后對式子進(jìn)行去括號運(yùn)算，最終得到 x=-1 。在這個(gè)解題過程中，學(xué)生采用交叉相乘的方式求解，表面上看符合解方程的方法，但忽略了分式方程中分母不能為0這一重要條件，這是學(xué)生在解分式方程時(shí)常犯的錯(cuò)誤。深入分析學(xué)生的整個(gè)解題過程我們能發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在一開始面對原方程時(shí)，并沒有對分母進(jìn)行分析，而是直接進(jìn)行交叉相乘等運(yùn)算，這樣很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。對此，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考相關(guān)問題，讓學(xué)生了解在去分母之前應(yīng)分析分母不能為0這一條件。在這樣的引導(dǎo)下，學(xué)生便能充分意識到自己存在的問題。在此基礎(chǔ)上，教師需要找到學(xué)生的邏輯斷裂點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生代入解進(jìn)行檢驗(yàn)，分析結(jié)果是否都是正確的。

在檢驗(yàn)中我們沒有發(fā)現(xiàn)增根，對此，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考問題：為何教材強(qiáng)調(diào)必須檢驗(yàn)？教師可對原題進(jìn)行調(diào)整，設(shè)計(jì)變式問題，讓學(xué)生解方程x-2=x+2+x-2。學(xué)生在解答時(shí)，可先兩邊同時(shí)乘以 （x+2）（x-2） ，得到 x+2=3（x-2）+2x（x+2） ，然后展開整理后得到 x²+3x-4=0 ，最終求得 _x=1 或者 x=-4 。此時(shí)，部分學(xué)生沒有對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，就直接給出答案。

針對這一問題，教師可要求學(xué)生進(jìn)行檢驗(yàn)分析。通過檢驗(yàn)分析我們能發(fā)現(xiàn)，當(dāng) _x=1 時(shí)，原方程分母x^-2=-1≠0. ， x+2=3≠0 ，且將結(jié)果代入原方程后，方程式成立； x=-4 時(shí)，原方程分母 x-2=-6≠0 ， x+2= -2≠0 ，且將結(jié)果代入原方程后，方程式也成立。此時(shí)，學(xué)生則會提出困惑：為何兩次檢驗(yàn)均未出現(xiàn)增根？檢驗(yàn)是否多余？

基于此，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度的邏輯分析，讓學(xué)生明白去分母的操作可能會擴(kuò)大解集，引入使

公分母為零的根，如果我們不進(jìn)行檢驗(yàn)，就可能會出現(xiàn)錯(cuò)誤。那何時(shí)才會產(chǎn)生增根呢？對此，教師可給出相應(yīng)的例子（如方程 ，讓學(xué)生明1

白當(dāng)去分母后所得整式方程的解恰好使某個(gè)分母為零時(shí)，才會出現(xiàn)增根。

教師要讓學(xué)生明白檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，了解去分母操作是在“假設(shè)分母不為零”的前提下進(jìn)行的。這一假設(shè)可能會使分式方程在去分母后出現(xiàn)定義域擴(kuò)大的情況。為此，我們需要對求得的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，以此排除通過去分母操作得到的整式方程中不屬于原方程定義域的解，確保兩者的解集是相同的。這樣的教學(xué)能使學(xué)生意識到檢驗(yàn)并非機(jī)械的流程，而是必要的驗(yàn)證過程，促進(jìn)學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展。

教師要通過錯(cuò)誤重現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識到檢驗(yàn)步驟的必要性，讓學(xué)生接受系統(tǒng)的錯(cuò)例變式訓(xùn)練，同時(shí)在講解檢驗(yàn)步驟的過程中讓學(xué)生明確去分母操作可能會引入非原方程的解，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)反思能力[5]

結(jié)語

總而言之，教師通過開展分式方程變式訓(xùn)練，能有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。在分式方程知識教學(xué)中，教師可通過方程結(jié)構(gòu)辨析、方程解法分析、建模優(yōu)化及錯(cuò)例反思等策略，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，讓學(xué)生在動態(tài)問題解決過程中發(fā)展分類討論思維、因果推理思維與批判性思維。

［參考文獻(xiàn)]

[1]章飛，顧繼玲，馬復(fù)，等.促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)能力發(fā)展的初中數(shù)學(xué)教科書設(shè)計(jì)：以北師大版初中數(shù)學(xué)新教材為例［J］.天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)（基礎(chǔ)教育版），2025，26（1）：7-12.

[2］李武裝，司樂凡.數(shù)學(xué)“教學(xué)評一體化”教學(xué)模式分析：以分式方程為例［J］.安陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2024，26（5）：154-156.

[3］譚琳，張永勝，陳如仙，等.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的教育數(shù)學(xué)實(shí)證研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2024，33（1）：21-27.

[4］倪軍.初中數(shù)學(xué)整體化思維的挑戰(zhàn)與對策：邁向深度理解之路[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2024，63（1）：20-23.

[5］萬志建，陳鋒.基于“三觀”結(jié)構(gòu)情境的立體認(rèn)知教學(xué)實(shí)踐：以“用一元二次方程解決實(shí)際問題”教學(xué)為例［J］.教育科學(xué)論壇，2023（29）：33-36.