探試題之解法 研變式與拓展

摘 要：筆者從圖形的結構特征入手，對福州市九年級一道幾何質檢試題展開研究。基于網(wǎng)絡上的一個復雜解法，得出兩個更能彰顯問題本質的解法。此外，探討試題的變式和拓展，能夠幫助學生提高運用所學知識分析問題和解決問題的能力，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

關鍵詞：幾何問題；相似三角形；圓；解法；變式

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）14-0020-03

收稿日期：2025-02-15

作者簡介：林厚暖，本科，中學高級教師，從事初中數(shù)學教學研究。[FQ）]

2023—2024學年第一學期福州市九年級質檢填空壓軸題是一道以半圓為載體的幾何問題，筆者在網(wǎng)絡上看到一個較為復雜的解法，整個求解過程作了較多的輔助線，思路復雜且不自然，遂考慮能否簡化其求解過程，并給出了問題的變式。現(xiàn)將研究過程整理如下，幫助學生提高問題解決能力。

1 試題呈現(xiàn)

如圖1，AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點，D為AC的中點，AB，DC的延長線交于點E。若DCCE=32，AC=26，則AB的長是。

本題看似簡單，但細品之下，卻覺難以入手，題設所給的三個條件比較分散，所求線段與已知條件之間的邏輯關系非常隱蔽，想要將其串聯(lián)在一起并非易事。本題能夠較好地考查學生對數(shù)學基礎知識的掌握情況及基本數(shù)學思想方法的運用能力，其綜合性較強，對學生而言具有一定的難度。

2 解法探析

解法1 如圖2，連接DO，BC，延長AC，作EN⊥AC于點N。因為D為AC的中點，所以DO⊥AC，AM=MC=6。因為BC⊥AC，所以DO∥BC∥NE。因為△DMC∽△ENC，所以DMNE=MCCN=DCCE=32，所以CN=263。設MO=a，因為△AMO∽△ANE，所以MONE

=AMAN=38，所以NE=83a，所以DM=32NE=4a，AO=DO=5a。在Rt△AMO中，由勾股定理可得AM2=AO2-MO2=24a2=6，所以a=12，AB=10a=5。

本題中存在兩個關鍵的條件，其一是“D為AC的中點”，此條件可轉化為AD=DC或DO垂直平分AC。AD=DC無法與其他條件構建有效聯(lián)系，故嘗試連接DO，將“D為AC的中點”這一條件轉化為“DO垂直平分AC”。其二是“DCCE=32”，該條件又將如何轉化？首選將其轉化為其他邊之比，此時可連接BC，可得BC⊥AC，與DO⊥AC相結合，即可打開問題的求解思路。或過點C作AE的平行線，將“DCCE=32”轉化為半徑OD上兩條線段的長度之比。

解法2 如圖3，連接DO，交AC于點M，連接BC。因為D為AC的中點，所以DO⊥AC，AM=MC=6。因為BC⊥AC，所以DO∥BC。設MO=a，因為O為AB中點，且DO∥BC，所以BC=2MO=2a。因為DO∥BC，所以△DOE∽△CBE，所以DOBC=DECE=52，所以DO=5a。在Rt△AMO中，易得AM2=AO2-MO2=24a2=6，所以a=12，AB=10a=5。

解法3 如圖4，連接DO，交AC于點M，過點C作AE的平行線交OD于點N。因為D為AC的中點，所以DO⊥AC，AM=MC=6。設MO=a，由于AM

=CM，∠AMO=∠CMN，∠AOM=∠CNM，所以△AMO≌△CMN，所以NO=NM+MO=2MO=2a。由NC∥AE可得DNNO=DCCE=32，故DN=3a，AO=OD=5a，在Rt△AMO中，由勾股定理可得AM2=AO2-MO2=24a2=6，所以a=12，AB=10a=5。

點評 解法1構造了4條輔助線，使用了兩次三角形相似，才得到AO=5a，整個求解過程在多個三角形中進行數(shù)量轉換，求解思路較為復雜，對學生的能力要求極高。解法2通過對“D為AC的中點”這一條件的轉化，得到DO⊥AC，結合∠ACB=90°，自然能夠得到DO∥BC，從而得到△DOE∽△CBE，再結合DCCE=32，最終構建DO與MO的關系。解法3類似于解法2，不同之處在于解法3通過構造平行線，將條件DCCE=32轉化為DNNO=32。解法2和解法3充分關注到題設條件與圖形的特征，使問題得以簡潔求解，體現(xiàn)了“多思少算”這一解題策略，彰顯了轉化思想和數(shù)形結合思想在問題求解中的引領作用。

3 試題延伸

從試題的已知條件和所求結論來看，已知條件為“D為AC的中點，DCCE=32，AC=26”，求解得到的結論為“AB=5”。將所求結論與三個已知條件逐個互換，所構造得到的三個命題是否成立？

情形1：如圖1，已知D為AC的中點，如果DCCE=32，AB=5，那么AC=26。

由解法2易得AO=5MO，又因為AB=5，所以AO=52，MO=12。由垂徑定理及勾股定理可得AC=2AM

=2AO2-MO2=26。

情形2：如圖1，已知D為AC的中點，如果AB=5，AC=26，那么DCCE=32。

與解法2類似，易得BC=AB2-AC2=1。因為△DOE∽△CBE，所以DOBC=DECE=52，故DCCE=32。

情形3：如圖1，如果AB=5，DCCE=32，AC=26，那么無法得到D為AC的中點。

如圖5，分別過點D，C作DF⊥AE，CH⊥AE，垂足分別為F，H，可得DF∥CH，所以△DFE∽△CHE，所以DFCH=DECE=52。在Rt△ACB中，AB=5，AC=26，由勾股定理得BC=1，從而由12AC×BC

=12AB×CH得CH=265，所以DF=52CH=6。因為DF=6lt;52，所以D點位置有兩處，其一為AC的中點，其二為圖4中的D′點，易知D與D′的對稱軸過點O且垂直于AB。為此，由AB=5，DCCE=32，AC=26，無法得到D為AC的中點。

點評 《易經(jīng)》中有這樣一句話：“窮則變，變則通，通則久”，意思是說生活中一件事情發(fā)展到了極致就需要變化，而這種變化讓接下來事物的發(fā)展不會受到阻礙[1]。這句話映射到數(shù)學解題教學中亦是這個道理：解題教學一定要做到靈活變通、活學活用。教師通過上述試題延伸，能夠為學生創(chuàng)造更多的思考機會，提升學生分析問題和解決問題的能力，鍛煉學生的理性思維，培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

4 試題拓展

在對試題有了較深入理解之后，可以嘗試研究更一般的情形。打破“D為AC的中點”這一條件的限制，改變D點位置，使得直線DC與直線AB交點E落在點B右側，如圖6，則D點的位置、AB的長度、AC的長度與DCCE的值存在怎樣的聯(lián)系？

如圖7所示，連接DO，BC，過點D作DD′⊥AE，過點C作CC′⊥AE，垂足分別為D′，C′，設直線DO與直線AB的夾角為θ。根據(jù)已知條件可求得DD′

=AB2sinθ，在Rt△ACB中，易知12AC·BC=12AB·CC′，所以CC′=AC·BCAB=AC·AB2-AC2AB。因為DD′∥CC′，所以CEDE=CC′DD′，從而可得DCCE=DECE-1=DD′CC′-1=AB2sinθ2AC×AB2-AC2-1。

點評 式子DCCE=AB2sinθ2AC×AB2-AC2-1建立起了原試題條件與結論之間的數(shù)量關系，揭示了問題的本質。給上述式子賦予特殊值并改變問題條件，還可命制一系列相關試題。

5 結束語

在初中數(shù)學復習教學過程中，教師可以嘗試對典型試題進行“一題多解”或“一題多變”，采用從不同角度解決問題，不斷變化試題的結構，改變試題的條件或轉換試題的問法等策略，讓試題變得煥然一新，卻又讓人感覺似曾相識，引導學生掌握數(shù)學思維和方法，使學生面對新的研究對象時，懂得如何去分析，如何去思考，最終在解題中真正做到靈活變通、游刃有余。這樣的解法探究和變式研究，能夠培養(yǎng)學生獨立、質疑的創(chuàng)新意識，引領他們逐步學會分析問題，從而提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

參考文獻：［1］ 危志剛。高三數(shù)學復習課應如何開展解題教學：以“函數(shù)值域的求法”為例[J]。中學數(shù)學月刊，2022（2）：26-29。

［責任編輯：李慧嬌］