一道教材習(xí)題引發(fā)的變式探究及其教學(xué)啟示

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2025）17-0041 -03

教材中的習(xí)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源，看似簡(jiǎn)單的習(xí)題往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)教材習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)變式探究，可以挖掘其潛在的教育價(jià)值[1]，幫助學(xué)生更好地掌握所學(xué)知識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者以北師大版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)中的一道習(xí)題為例，展示其變式探究過程和從中獲得的教學(xué)啟示，供讀者參考.

1 習(xí)題呈現(xiàn)

北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第17頁第6題如下：

問題1 如圖1，直角三角形三邊上的半圓面積之間有什么關(guān)系？

此問題是“勾股定理”復(fù)習(xí)題中的一道習(xí)題，主要用于鞏固勾股定理知識(shí)，提高學(xué)生的問題解決能力.此習(xí)題涉及半圓面積公式、勾股定理等知識(shí)，它將幾何圖形的面積與直角三角形三邊關(guān)系巧妙結(jié)合，讓學(xué)生運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生的抽象能力、運(yùn)算能力、推理能力、幾何直觀等核心素養(yǎng).

2 習(xí)題解析

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為 a，b ，斜邊長(zhǎng)為 根據(jù)半圓面積公式 可知，兩條直角邊上的半圓的面積分別為 斜邊上的半圓的面積為 S₃ 根據(jù)勾股定理可知 a²+b² =c2，所以（a2+b2） ，即 S₁+S₂=S₃ .因此，斜邊上的半圓的面積等于兩條直角邊上的半圓的面積之和.

點(diǎn)評(píng)以上解答過程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.首先根據(jù)半圓的面積公式，將三個(gè)半圓的面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形三條邊的長(zhǎng)度關(guān)系，然后運(yùn)用勾股定理得到結(jié)論.

3 習(xí)題變式

改變?cè)?xí)題中半圓的位置，可得到如下變式：

變式1如圖2，在 RtΔABC 中， AC⊥BC ，分別以邊 AB，AC，BC 為直徑作半圓.探究所得的陰影部分的面積與 ΔABC 的面積之間的關(guān)系.

解析設(shè) BC=a，AC=b，AB=c ，由勾股定理得c²=a²+b² .根據(jù)半圓面積公式可知， AB 邊上的半圓的面積S半圓AB ， AC 邊上的半圓的面積S半圓AC 邊上的半圓的面積S半圓BC ，所以 S₁+S₂ 即陰影部分的面積之和等于 ΔABC 的面積.

變式1結(jié)論優(yōu)美，陰影部分形似月牙，因此被稱為月形定理[2].

將原習(xí)題中的半圓改為正三角形，可得如下變式：

變式2如圖3，在 RtΔABC 中， AC⊥BC ，分別以 _AB，BC，AC 為邊作正三角形.探究所得的三個(gè)正三角形的面積之間的關(guān)系.

解析設(shè) BC=a，AC=b，AB=c ，由勾股定理，得 c²=a²+b² .根據(jù)正三角形面積公式可知， AB 邊上的正三角形的面積S△ABD 邊上的正三角形的面積S△BCE ，AC邊上的正三角形的面 ，所以 .因此，直角邊上的兩個(gè)正三角形的面積之和等于斜邊上的正三角形的面積.

事實(shí)上，變式2可以進(jìn)一步推廣，將正三角形改為正 n 邊形，可得如下變式：

變式3在 RtΔABC 中， AC⊥BC ，分別以 BC，AC為邊作正 n 邊形.探究所得的三個(gè)正 n 邊形的面積之間的關(guān)系.

解析設(shè) BC=a，AC=b，AB=c ，由勾股定理，得 c²=a²+b² .根據(jù)正 n 邊形面積公式可知， BC 邊上的正n邊形的面積 S，= 4tan180/n' 邊上的正n邊形的面積 S =4tan（180/n） 邊上的正 n 邊形的面積S= ．因此，直角邊上的兩個(gè)正 n 邊形的面積之和等于斜邊上的正 n 邊形的面積.

將變式2中的正三角形改為其他三角形，是否有類似的結(jié)論呢？

變式4如圖4，在 RtΔABC 中， AC⊥BC ，分別以 AB，BC，AC 為斜邊作等腰直角 ΔABD，ΔBCE ΔACF. 探究所得的三個(gè)等腰直角三角形的面積之間的關(guān)系.

解析設(shè) BC=a，AC=b，AB=c ，由勾股定理，得 c²=a²+b² .易知 ，所以 -c2.同理可得S△BCE b2，所以S△BCE+S△ACF2 =S_ΔABD .因此，直角邊上的兩個(gè)等腰直角三角形的面積之和等于斜邊上的等腰直角三角形的面積.

在變式2和變式4中，所作的三角形都是相似的，將其一般化為任意相似三角形，可得如下變式：

變式5如圖5，在 RtΔABC 中， AC⊥BC ，分別以 AB，BC，AC 為邊作相似三角形，即 ΔABD～ ΔBCE～ΔACF. 探究所得的三個(gè)相似三角形的面積之間的關(guān)系.

解析如圖6，過點(diǎn) D 作 AB 邊上的高，垂足為J. 過點(diǎn) E 作 BC 邊上的高，垂足為 K. 過點(diǎn) F 作 AC 邊上的高，垂足為 L. 易知 AB 邊上的三角形的面積 邊上的正三角形的面積 S_ΔBCE （20 BC·EK，AC邊上的正三角形的面積S△ACFAC·FL 因?yàn)椤鰽BD△BCE△CAF，所以DB （204 故 （20號(hào) 所以S△BCE 于是 （20由勾股定理可知 BC²+AC² =AB² ，所以 =S_ΔABD .因此，直角邊上的兩個(gè)三角形的面積之和等于斜邊上的三角形的面積.

4教學(xué)啟示

4.1 深入挖掘教材習(xí)題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)意識(shí)到教材習(xí)題不僅是簡(jiǎn)單的練習(xí)，更是知識(shí)拓展和思維培養(yǎng)的重要素材.在教學(xué)進(jìn)程中，教師要深入剖析習(xí)題背后涉及的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)以及它們之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生嘗試對(duì)習(xí)題進(jìn)行變式推廣，幫助他們鞏固所學(xué)知識(shí)，構(gòu)建更完整的知識(shí)體系，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

4.2 培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

教師通過多種變式探究，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.例如，本文所探究的習(xí)題，從半圓位置的變換到圖形形狀的變換，再到條件的多樣化，能夠促使學(xué)生深入理解問題的本質(zhì).同時(shí)，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的類比思維（如從半圓的結(jié)論類比到正多邊形的情況）和歸納思維（如總結(jié)出在不同三角形條件下面積關(guān)系的共性）.

5 結(jié)束語

教材習(xí)題是一座寶藏，等待著教師和學(xué)生共同去挖掘.這道習(xí)題的變式探究顯現(xiàn)出了它在知識(shí)鞏固、思維培養(yǎng)等多方面的價(jià)值.在今后的教學(xué)中，教師應(yīng)更加重視教材習(xí)題的開發(fā)利用，引導(dǎo)學(xué)生積極參與探究活動(dòng).與此同時(shí)，學(xué)生也應(yīng)學(xué)會(huì)主動(dòng)思考、勇于創(chuàng)新，從教材習(xí)題中汲取營(yíng)養(yǎng)，不斷提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和綜合素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1］梅鵬.一道教材習(xí)題的多解探究與教學(xué)價(jià)值[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2024（6）：25-27.

[2]華興恒.有趣的月形定理[J].數(shù)理天地（初中版），2020（7）：34-35.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]