一道教材習題引發的變式探究及其教學啟示

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）17-0041 -03

教材中的習題是數學教學的重要資源，看似簡單的習題往往蘊含著豐富的數學內涵.在初中數學教學中，對教材習題進行適當變式探究，可以挖掘其潛在的教育價值[1]，幫助學生更好地掌握所學知識，發展學生的數學核心素養.筆者以北師大版數學教材八年級上冊中的一道習題為例，展示其變式探究過程和從中獲得的教學啟示，供讀者參考.

1 習題呈現

北師大版八年級數學上冊第17頁第6題如下：

問題1 如圖1，直角三角形三邊上的半圓面積之間有什么關系？

此問題是“勾股定理”復習題中的一道習題，主要用于鞏固勾股定理知識，提高學生的問題解決能力.此習題涉及半圓面積公式、勾股定理等知識，它將幾何圖形的面積與直角三角形三邊關系巧妙結合，讓學生運用勾股定理解決實際問題，發展學生的抽象能力、運算能力、推理能力、幾何直觀等核心素養.

2 習題解析

設直角三角形的兩條直角邊長分別為 a，b ，斜邊長為 根據半圓面積公式 可知，兩條直角邊上的半圓的面積分別為 斜邊上的半圓的面積為 S₃ 根據勾股定理可知 a²+b² =c2，所以（a2+b2） ，即 S₁+S₂=S₃ .因此，斜邊上的半圓的面積等于兩條直角邊上的半圓的面積之和.

點評以上解答過程體現了轉化與化歸的數學思想方法.首先根據半圓的面積公式，將三個半圓的面積關系轉化為直角三角形三條邊的長度關系，然后運用勾股定理得到結論.

3 習題變式

改變原習題中半圓的位置，可得到如下變式：

變式1如圖2，在 RtΔABC 中， AC⊥BC ，分別以邊 AB，AC，BC 為直徑作半圓.探究所得的陰影部分的面積與 ΔABC 的面積之間的關系.

解析設 BC=a，AC=b，AB=c ，由勾股定理得c²=a²+b² .根據半圓面積公式可知， AB 邊上的半圓的面積S半圓AB ， AC 邊上的半圓的面積S半圓AC 邊上的半圓的面積S半圓BC ，所以 S₁+S₂ 即陰影部分的面積之和等于 ΔABC 的面積.

變式1結論優美，陰影部分形似月牙，因此被稱為月形定理[2].

將原習題中的半圓改為正三角形，可得如下變式：

變式2如圖3，在 RtΔABC 中， AC⊥BC ，分別以 _{AB，BC，AC} 為邊作正三角形.探究所得的三個正三角形的面積之間的關系.

解析設 BC=a，AC=b，AB=c ，由勾股定理，得 c²=a²+b² .根據正三角形面積公式可知， AB 邊上的正三角形的面積S△ABD 邊上的正三角形的面積S△BCE ，AC邊上的正三角形的面 ，所以 .因此，直角邊上的兩個正三角形的面積之和等于斜邊上的正三角形的面積.

事實上，變式2可以進一步推廣，將正三角形改為正 n 邊形，可得如下變式：

變式3在 RtΔABC 中， AC⊥BC ，分別以 BC，AC為邊作正 n 邊形.探究所得的三個正 n 邊形的面積之間的關系.

解析設 BC=a，AC=b，AB=c ，由勾股定理，得 c²=a²+b² .根據正 n 邊形面積公式可知， BC 邊上的正n邊形的面積 S，= 4tan180/n' 邊上的正n邊形的面積 S =4tan（180/n） 邊上的正 n 邊形的面積S= ．因此，直角邊上的兩個正 n 邊形的面積之和等于斜邊上的正 n 邊形的面積.

將變式2中的正三角形改為其他三角形，是否有類似的結論呢？

變式4如圖4，在 RtΔABC 中， AC⊥BC ，分別以 AB，BC，AC 為斜邊作等腰直角 ΔABD，ΔBCE ΔACF. 探究所得的三個等腰直角三角形的面積之間的關系.

解析設 BC=a，AC=b，AB=c ，由勾股定理，得 c²=a²+b² .易知 ，所以 -c2.同理可得S△BCE b2，所以S△BCE+S△ACF2 =S_ΔABD .因此，直角邊上的兩個等腰直角三角形的面積之和等于斜邊上的等腰直角三角形的面積.

在變式2和變式4中，所作的三角形都是相似的，將其一般化為任意相似三角形，可得如下變式：

變式5如圖5，在 RtΔABC 中， AC⊥BC ，分別以 AB，BC，AC 為邊作相似三角形，即 ΔABD～ ΔBCE～ΔACF. 探究所得的三個相似三角形的面積之間的關系.

解析如圖6，過點 D 作 AB 邊上的高，垂足為J. 過點 E 作 BC 邊上的高，垂足為 K. 過點 F 作 AC 邊上的高，垂足為 L. 易知 AB 邊上的三角形的面積 邊上的正三角形的面積 S_ΔBCE （20 BC·EK，AC邊上的正三角形的面積S△ACFAC·FL 因為△ABD△BCE△CAF，所以DB （204 故 （20號 所以S△BCE 于是 （20由勾股定理可知 BC²+AC² =AB² ，所以 =S_ΔABD .因此，直角邊上的兩個三角形的面積之和等于斜邊上的三角形的面積.

4教學啟示

4.1 深入挖掘教材習題

在初中數學教學中，教師應意識到教材習題不僅是簡單的練習，更是知識拓展和思維培養的重要素材.在教學進程中，教師要深入剖析習題背后涉及的多個知識點以及它們之間的聯系，引導學生嘗試對習題進行變式推廣，幫助他們鞏固所學知識，構建更完整的知識體系，為進一步學習奠定基礎.

4.2 培養學生思維的靈活性

教師通過多種變式探究，能夠有效培養學生思維的靈活性.例如，本文所探究的習題，從半圓位置的變換到圖形形狀的變換，再到條件的多樣化，能夠促使學生深入理解問題的本質.同時，這有助于培養學生的類比思維（如從半圓的結論類比到正多邊形的情況）和歸納思維（如總結出在不同三角形條件下面積關系的共性）.

5 結束語

教材習題是一座寶藏，等待著教師和學生共同去挖掘.這道習題的變式探究顯現出了它在知識鞏固、思維培養等多方面的價值.在今后的教學中，教師應更加重視教材習題的開發利用，引導學生積極參與探究活動.與此同時，學生也應學會主動思考、勇于創新，從教材習題中汲取營養，不斷提高數學學習能力和綜合素養.

參考文獻：

[1］梅鵬.一道教材習題的多解探究與教學價值[J].數理化學習（初中版），2024（6）：25-27.

[2]華興恒.有趣的月形定理[J].數理天地（初中版），2020（7）：34-35.

[責任編輯：李慧嬌]