一道教材習(xí)題引發(fā)的變式探究及其教學(xué)啟示

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）17-0041 -03

教材中的習(xí)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源，看似簡單的習(xí)題往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對教材習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)變式探究，可以挖掘其潛在的教育價(jià)值[1]，幫助學(xué)生更好地掌握所學(xué)知識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者以北師大版數(shù)學(xué)教材八年級上冊中的一道習(xí)題為例，展示其變式探究過程和從中獲得的教學(xué)啟示，供讀者參考.

1 習(xí)題呈現(xiàn)

北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊第17頁第6題如下：

問題1 如圖1，直角三角形三邊上的半圓面積之間有什么關(guān)系？

此問題是“勾股定理”復(fù)習(xí)題中的一道習(xí)題，主要用于鞏固勾股定理知識，提高學(xué)生的問題解決能力.此習(xí)題涉及半圓面積公式、勾股定理等知識，它將幾何圖形的面積與直角三角形三邊關(guān)系巧妙結(jié)合，讓學(xué)生運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生的抽象能力、運(yùn)算能力、推理能力、幾何直觀等核心素養(yǎng).

2 習(xí)題解析

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為 a，b ，斜邊長為 根據(jù)半圓面積公式 可知，兩條直角邊上的半圓的面積分別為 斜邊上的半圓的面積為 S₃ 根據(jù)勾股定理可知 a²+b² =c2，所以（a2+b2） ，即 S₁+S₂=S₃ .因此，斜邊上的半圓的面積等于兩條直角邊上的半圓的面積之和.

點(diǎn)評以上解答過程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.首先根據(jù)半圓的面積公式，將三個半圓的面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形三條邊的長度關(guān)系，然后運(yùn)用勾股定理得到結(jié)論.

3 習(xí)題變式

改變原習(xí)題中半圓的位置，可得到如下變式：

變式1如圖2，在 RtΔABC 中， AC⊥BC ，分別以邊 AB，AC，BC 為直徑作半圓.探究所得的陰影部分的面積與 ΔABC 的面積之間的關(guān)系.

解析設(shè) BC=a，AC=b，AB=c ，由勾股定理得c²=a²+b² .根據(jù)半圓面積公式可知， AB 邊上的半圓的面積S半圓AB ， AC 邊上的半圓的面積S半圓AC 邊上的半圓的面積S半圓BC ，所以 S₁+S₂ 即陰影部分的面積之和等于 ΔABC 的面積.

變式1結(jié)論優(yōu)美，陰影部分形似月牙，因此被稱為月形定理[2].

將原習(xí)題中的半圓改為正三角形，可得如下變式：

變式2如圖3，在 RtΔABC 中， AC⊥BC ，分別以 _AB，BC，AC 為邊作正三角形.探究所得的三個正三角形的面積之間的關(guān)系.

解析設(shè) BC=a，AC=b，AB=c ，由勾股定理，得 c²=a²+b² .根據(jù)正三角形面積公式可知， AB 邊上的正三角形的面積S△ABD 邊上的正三角形的面積S△BCE ，AC邊上的正三角形的面 ，所以 .因此，直角邊上的兩個正三角形的面積之和等于斜邊上的正三角形的面積.

事實(shí)上，變式2可以進(jìn)一步推廣，將正三角形改為正 n 邊形，可得如下變式：

變式3在 RtΔABC 中， AC⊥BC ，分別以 BC，AC為邊作正 n 邊形.探究所得的三個正 n 邊形的面積之間的關(guān)系.

解析設(shè) BC=a，AC=b，AB=c ，由勾股定理，得 c²=a²+b² .根據(jù)正 n 邊形面積公式可知， BC 邊上的正n邊形的面積 S，= 4tan180/n' 邊上的正n邊形的面積 S =4tan（180/n） 邊上的正 n 邊形的面積S= ．因此，直角邊上的兩個正 n 邊形的面積之和等于斜邊上的正 n 邊形的面積.

將變式2中的正三角形改為其他三角形，是否有類似的結(jié)論呢？

變式4如圖4，在 RtΔABC 中， AC⊥BC ，分別以 AB，BC，AC 為斜邊作等腰直角 ΔABD，ΔBCE ΔACF. 探究所得的三個等腰直角三角形的面積之間的關(guān)系.

解析設(shè) BC=a，AC=b，AB=c ，由勾股定理，得 c²=a²+b² .易知 ，所以 -c2.同理可得S△BCE b2，所以S△BCE+S△ACF2 =S_ΔABD .因此，直角邊上的兩個等腰直角三角形的面積之和等于斜邊上的等腰直角三角形的面積.

在變式2和變式4中，所作的三角形都是相似的，將其一般化為任意相似三角形，可得如下變式：

變式5如圖5，在 RtΔABC 中， AC⊥BC ，分別以 AB，BC，AC 為邊作相似三角形，即 ΔABD～ ΔBCE～ΔACF. 探究所得的三個相似三角形的面積之間的關(guān)系.

解析如圖6，過點(diǎn) D 作 AB 邊上的高，垂足為J. 過點(diǎn) E 作 BC 邊上的高，垂足為 K. 過點(diǎn) F 作 AC 邊上的高，垂足為 L. 易知 AB 邊上的三角形的面積 邊上的正三角形的面積 S_ΔBCE （20 BC·EK，AC邊上的正三角形的面積S△ACFAC·FL 因?yàn)椤鰽BD△BCE△CAF，所以DB （204 故 （20號 所以S△BCE 于是 （20由勾股定理可知 BC²+AC² =AB² ，所以 =S_ΔABD .因此，直角邊上的兩個三角形的面積之和等于斜邊上的三角形的面積.

4教學(xué)啟示

4.1 深入挖掘教材習(xí)題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)意識到教材習(xí)題不僅是簡單的練習(xí)，更是知識拓展和思維培養(yǎng)的重要素材.在教學(xué)進(jìn)程中，教師要深入剖析習(xí)題背后涉及的多個知識點(diǎn)以及它們之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生嘗試對習(xí)題進(jìn)行變式推廣，幫助他們鞏固所學(xué)知識，構(gòu)建更完整的知識體系，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

4.2 培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

教師通過多種變式探究，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.例如，本文所探究的習(xí)題，從半圓位置的變換到圖形形狀的變換，再到條件的多樣化，能夠促使學(xué)生深入理解問題的本質(zhì).同時(shí)，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的類比思維（如從半圓的結(jié)論類比到正多邊形的情況）和歸納思維（如總結(jié)出在不同三角形條件下面積關(guān)系的共性）.

5 結(jié)束語

教材習(xí)題是一座寶藏，等待著教師和學(xué)生共同去挖掘.這道習(xí)題的變式探究顯現(xiàn)出了它在知識鞏固、思維培養(yǎng)等多方面的價(jià)值.在今后的教學(xué)中，教師應(yīng)更加重視教材習(xí)題的開發(fā)利用，引導(dǎo)學(xué)生積極參與探究活動.與此同時(shí)，學(xué)生也應(yīng)學(xué)會主動思考、勇于創(chuàng)新，從教材習(xí)題中汲取營養(yǎng)，不斷提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和綜合素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1］梅鵬.一道教材習(xí)題的多解探究與教學(xué)價(jià)值[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2024（6）：25-27.

[2]華興恒.有趣的月形定理[J].數(shù)理天地（初中版），2020（7）：34-35.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]