巧用數學思想解決運動型問題

摘 要：運動型問題在初中數學中屢見不鮮，這類問題對學生的數學思維能力要求較高。文章在掌握數學運動型問題類型及特點的基礎上，主要闡述分類討論、轉化思想、數形結合、函數方程、類比、建模等數學思想在解決運動型問題中的應用，并結合具體的實例分析運動型問題的解決方法，旨在充分發揮數學思想的作用，提高學生解決運動型問題的能力，提升學生的解題效率。

關鍵詞：數學思想；初中數學；運動型問題

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）14-0002-03

隨著教育改革的不斷深入，數學領域越來越注重培養學生的綜合素質，運動型問題的考查方向契合教育改革的要求。運動型問題是初中數學中一類特殊問題，它涵蓋代數、幾何等多個數學分支的知識點，因涉及變量多、關系復雜而成為學生學習的難點，要求學生具備良好的空間想象能力、邏輯推理能力和實際問題解決能力。數學思想是現實世界的空間形式和數量關系反映到個體的意識之中，經過思維活動而產生的一種結果，體現了數學發展的普遍規律。因此，探索數學思想在解決運動型問題中的應用，對落實新課程改革要求具有重要意義。

1 數學運動型問題分析

運動型問題是從運動的觀點探究幾何圖形變化規律的一類數學問題。大致可以分為點運動型、線運動型和圖形運動型三類[1]。點運動型問題通常涉及點在特定路徑上的移動，通過點的運動軌跡和速度等條件，探討相關幾何元素之間的變化規律；線運動型問題關注線段或直線的運動，通過線段的伸縮、旋轉或平移等運動方式，研究圖形的形狀和性質的變化；圖形運動型問題更為復雜，涉及整個幾何圖形的旋轉、翻折或平移等運動，要求學生在圖形運動的過程中，捕捉和解析幾何元素之間的變化關系。運動型問題具有以下幾個顯著特點：第一，涉及的知識點多，綜合性較強。不僅涉及函數與方程、相似三角形、圖形面積等知識，還與相似三角形及解直角三角形等知識有關。第二，蘊含豐富的數學思想。運動型問題的解決過程涉及方程思想、分類討論思想、數形結合思想等多種數學思想。第三，關注學生的運算能力。運動型問題通常涉及多個變量和復雜的幾何關系，因此要求學生具備較強的運算能力[2]。第四，問題設計循序漸進，難度起伏適度。運動型問題通常包含多個小問題，這些小問題之間存在內在的聯系，從簡單到復雜，從基礎到進階，逐步引導學生深入探究。

2 數學思想在解決運動型問題中的應用

2.1 分類討論思想的應用

分類討論思想強調，在面對復雜問題時，根據問題的不同情況或條件，將其分成若干個子問題或類別，然后分別對每個子問題或類別進行研究和討論，最后綜合各個子問題或類別的結果，得出原問題的解。在運動型問題中，圖形的運動伴隨著多種可能情況或條件變化，因此分類討論思想成為解決這類問題的有效工具[3]。利用分類討論思想解決運動型問題，關鍵在于準確識別問題的分類依據，并合理劃分出各個子問題或不同類別。

2.2 類比分析思想的應用

類比分析思想強調的是基于事物之間的相似性，通過比較不同對象或情境的共同點和差異點，推導出新的結論或解決問題的方法。在數學、物理、化學、生物等多個學科中都有顯著的體現。數學運動型問題通常涉及幾何圖形的動態變化，如點的移動、線段的伸縮、圖形的旋轉或平移等，這些變化伴隨著復雜的數學關系，導致問題變得復雜且難以直接解決。類比分析思想是解決這類問題的有效工具。在運動型問題中，通過類比已知的簡單情境，可以將復雜問題轉化為更易于理解的形式，從而為問題解決創造條件。

為了有效利用類比分析思想解決運動型問題，首先需要仔細審題，既要明確問題的類型和特點，又要明確有關運動狀態和數學關系。其次需要搜索與問題相似的已知情境，并確定兩者之間的共同點和差異點。在找到相似情境后，需要確定類比對象之間的對應關系、數學關系及解題方法的類比，將已知信息和規律應用到未知問題中。最后需要將答案代入原問題中進行檢驗，如果答案與預期結果相符，則說明類比分析正確；如果答案有誤，則需要重新審視類比關系和解題過程，找出錯誤的原因并進行修正，從而得到完整的解題過程。

2.3 函數方程思想的應用

函數方程思想是將實際問題中的關系抽象為函數或方程的形式，揭示出數學問題的本質和規律的一種思想，它能夠將運動型問題中的變量關系轉化為函數或方程，從而簡化問題的求解過程。在利用函數方程思想解決運動型問題時，首先需要明確問題中的變量及變量之間的關系，變量包括點的坐標、線段的長度、圖形的面積等；變量之間的關系包括比例關系、函數關系等。其次，根據問題的實際情況，選擇合適的函數或方程形式，描述變量之間的關系。例如，在描述點的移動軌跡時，可以選擇一次函數或二次函數；在描述圖形的面積變化時，需要建立不等式或方程。在確定變量及變量關系后，根據已知條件和變量關系，建立函數或方程準確地反映問題中的實際情況。最后，運用代數運算、方程求解、不等式分析等方法，求解函數或方程問題，最終找到問題的答案。

2.4 轉化化歸思想的應用

在運動型問題中，點線面的動態變化使問題本身呈現出復雜性和不確定性。在解決此問題時，可以利用轉化思想，將動態問題靜態化。在將動態問題靜態化的過程中，首先需要明確動態問題的特征，包括圖形變化方式、變量變化規律及問題的具體要求。其次，選擇特定的狀態，固定動態問題中的圖形關系，形成靜態的幾何圖形。利用已知的靜態幾何知識和方法分析靜態圖形，找出其中的幾何關系，建立數學模型。最后，求解模型，得到問題的答案。例如，在解決涉及圖形旋轉的動態幾何問題時，可以選擇特定的旋轉角，固定旋轉后的圖形，再利用靜態幾何中的角度、邊長、面積等關系，建立數學模型并求解。

2.5 數形結合思想的應用

數形結合思想強調將數學中的抽象概念、數量關系與直觀圖形相結合，利用更加直觀的圖形輔助理解和解決數學問題，其核心在于利用圖形的直觀性和形象性揭示數學問題的本質，從而簡化問題，提高學生的解題效率。例如，對于點的移動問題，可以選擇軌跡圖；對于線段的伸縮問題，可以選擇長度變化圖，以此找到問題的關鍵信息。在觀察和分析圖形結構特征的基礎上，建立數學模型，描述問題的動態變化過程，利用數學模型進行求解，驗證結果的正確性和合理性。在求解過程中，利用數形結合思想可以簡化計算過程，提高解題效率。

3 運動型問題例舉

例1 如圖1，已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（-2，0），B（-3，3）及原點O，頂點為C。

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以A，O，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標；

（3）P是拋物線上的第一象限內的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P，M，A為頂點的三角形與三角形BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

分析 對于問題（1），根據已知條件，拋物線y=ax2+bx+c經過A（-2，0），B（-3，3），O（0，0）。將A（-2，0），B（-3，3），O（0，0）分別代入y=ax2+bx+c，得4a-2b+c=0，9a-3b+c=3，c=0，解得a=1，b=2，c=0。即拋物線的解析式為y=x2+2x。

對于問題（2），根據平行四邊形的性質和拋物線的解析式，可以通過構建關于點D坐標的方程，求解點D的坐標。但因題目的已知條件中只說明點E在拋物線的對稱軸上，并未說明點E在x軸上方還是x軸下方，具體位置不確定。因此，在求解此問題的過程中，需要采用分類討論思想。

第1種情況：當OA為邊時，根據平行四邊形的性質可得DE=OA=2，進而得出點D在x軸上方。因為拋物線的解析式為y=x2+2x，所以拋物線的對稱軸為x=-1，進而求得點D的橫坐標為1或-3，將點D的橫坐標代入拋物線的解析式可得點D的坐標為（-3，3）或（1，3）。

第2種情況：當OA為平行四邊形的對角線時，由平行四邊形的性質可知DE與OA互相平分。因為A（-2，0），O（0，0）的中點在對稱軸上，點E在對稱軸上，所以點E的橫坐標也為-1。因為DE與OA互相平分，點D也在對稱軸上，所以點D的橫坐標為-1，將其代入拋物線的解析式可得點D的縱坐標為-1，所以點D的坐標為（-1，-1）。

綜上所述，點D的坐標分別為（-3，3），（1，3），（-1，-1）。

對于問題（3），判斷是否存在點P，使得△PMA與△BOC相似，兩個三角形相似需要滿足對應角相等或對應邊成比例，因此需要考慮△PMA與△BOC的相似條件。根據相似三角形的判定，構建關于點P的坐標的方程。因為點P在拋物線y=x2+2x上，可以利用拋物線的解析式進一步限制點P的可能位置。又因為相似三角形的對應點不固定，所以需要分別討論，最終得到點P的可能坐標。

根據三角形三個頂點的坐標判斷△BOC的性質。根據拋物線的解析式易求得C（-1，-1），從而可求得BO2=18，CO2=2，BC2=20，根據勾股定理的逆定理可判斷△BOC為直角三角形。假設存在點P（x，y），使得△PMA與△BOC相似，易得點M坐標為（x，0）。

第1種情況：當△PMA∽△BOC時，根據對應邊的比例關系可得32（x2+2x）=2（x+2），解得x1=13，x2=-2（不合題意，舍去），將x=13代入y

=x2+2x，易求得y=79。

第2種情況：當△PMA∽△COB時，根據對應邊的比例關系可得2（x2+2x）=32（x+2），解得x1=3，x2=-2（不合題意，舍去），將x=3代入y=x2+2x，易求得y=15。

綜上所述，存在點P，使得△PMA與△BOC相似，點P的坐標為（13，79）或（3，15）。

4 結束語

數學思想在解決運動型問題的過程中扮演著至關重要的角色。教師通過引導學生從不同角度思考問題，不僅能夠幫助學生更好地理解數學概念，還能激發學生的學習興趣，培養學生解決問題的能力。未來，教師應當更加注重數學思想的應用，為學生提供更多元、更高效的解題方法。同時，學生應該主動探索和實踐，將數學知識與實際問題相結合，真正做到學以致用，同步提升綜合素養，為未來的發展奠定基礎。

參考文獻：

［1］ 吳震。突破中考之運動型數學問題研究[J]。數理天地（初中版），2024（18）：10-11。

[2] 張穎。特殊四邊形運動型問題探究[J]。初中生學習指導，2023（12）：36-39。

[3] 韓詩貴，龐彥福。運動型問題[J]。中學數學教學參考，2019（Z2）：121-125。

［責任編輯：李慧嬌］