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巧用數學思想解決運動型問題

2025-08-24 00:00:00蔡龍斌
數理化解題研究·初中版 2025年5期
關鍵詞:數學思想初中數學

摘 要:運動型問題在初中數學中屢見不鮮,這類問題對學生的數學思維能力要求較高。文章在掌握數學運動型問題類型及特點的基礎上,主要闡述分類討論、轉化思想、數形結合、函數方程、類比、建模等數學思想在解決運動型問題中的應用,并結合具體的實例分析運動型問題的解決方法,旨在充分發揮數學思想的作用,提高學生解決運動型問題的能力,提升學生的解題效率。

關鍵詞:數學思想;初中數學;運動型問題

中圖分類號:G632"" 文獻標識碼:A"" 文章編號:1008-0333(2025)14-0002-03

隨著教育改革的不斷深入,數學領域越來越注重培養學生的綜合素質,運動型問題的考查方向契合教育改革的要求。運動型問題是初中數學中一類特殊問題,它涵蓋代數、幾何等多個數學分支的知識點,因涉及變量多、關系復雜而成為學生學習的難點,要求學生具備良好的空間想象能力、邏輯推理能力和實際問題解決能力。數學思想是現實世界的空間形式和數量關系反映到個體的意識之中,經過思維活動而產生的一種結果,體現了數學發展的普遍規律。因此,探索數學思想在解決運動型問題中的應用,對落實新課程改革要求具有重要意義。

1 數學運動型問題分析

運動型問題是從運動的觀點探究幾何圖形變化規律的一類數學問題。大致可以分為點運動型、線運動型和圖形運動型三類[1]。點運動型問題通常涉及點在特定路徑上的移動,通過點的運動軌跡和速度等條件,探討相關幾何元素之間的變化規律;線運動型問題關注線段或直線的運動,通過線段的伸縮、旋轉或平移等運動方式,研究圖形的形狀和性質的變化;圖形運動型問題更為復雜,涉及整個幾何圖形的旋轉、翻折或平移等運動,要求學生在圖形運動的過程中,捕捉和解析幾何元素之間的變化關系。運動型問題具有以下幾個顯著特點:第一,涉及的知識點多,綜合性較強。不僅涉及函數與方程、相似三角形、圖形面積等知識,還與相似三角形及解直角三角形等知識有關。第二,蘊含豐富的數學思想。運動型問題的解決過程涉及方程思想、分類討論思想、數形結合思想等多種數學思想。第三,關注學生的運算能力。運動型問題通常涉及多個變量和復雜的幾何關系,因此要求學生具備較強的運算能力[2]。第四,問題設計循序漸進,難度起伏適度。運動型問題通常包含多個小問題,這些小問題之間存在內在的聯系,從簡單到復雜,從基礎到進階,逐步引導學生深入探究。

2 數學思想在解決運動型問題中的應用

2.1 分類討論思想的應用

分類討論思想強調,在面對復雜問題時,根據問題的不同情況或條件,將其分成若干個子問題或類別,然后分別對每個子問題或類別進行研究和討論,最后綜合各個子問題或類別的結果,得出原問題的解。在運動型問題中,圖形的運動伴隨著多種可能情況或條件變化,因此分類討論思想成為解決這類問題的有效工具[3]。利用分類討論思想解決運動型問題,關鍵在于準確識別問題的分類依據,并合理劃分出各個子問題或不同類別。

2.2 類比分析思想的應用

類比分析思想強調的是基于事物之間的相似性,通過比較不同對象或情境的共同點和差異點,推導出新的結論或解決問題的方法。在數學、物理、化學、生物等多個學科中都有顯著的體現。數學運動型問題通常涉及幾何圖形的動態變化,如點的移動、線段的伸縮、圖形的旋轉或平移等,這些變化伴隨著復雜的數學關系,導致問題變得復雜且難以直接解決。類比分析思想是解決這類問題的有效工具。在運動型問題中,通過類比已知的簡單情境,可以將復雜問題轉化為更易于理解的形式,從而為問題解決創造條件。

為了有效利用類比分析思想解決運動型問題,首先需要仔細審題,既要明確問題的類型和特點,又要明確有關運動狀態和數學關系。其次需要搜索與問題相似的已知情境,并確定兩者之間的共同點和差異點。在找到相似情境后,需要確定類比對象之間的對應關系、數學關系及解題方法的類比,將已知信息和規律應用到未知問題中。最后需要將答案代入原問題中進行檢驗,如果答案與預期結果相符,則說明類比分析正確;如果答案有誤,則需要重新審視類比關系和解題過程,找出錯誤的原因并進行修正,從而得到完整的解題過程。

2.3 函數方程思想的應用

函數方程思想是將實際問題中的關系抽象為函數或方程的形式,揭示出數學問題的本質和規律的一種思想,它能夠將運動型問題中的變量關系轉化為函數或方程,從而簡化問題的求解過程。在利用函數方程思想解決運動型問題時,首先需要明確問題中的變量及變量之間的關系,變量包括點的坐標、線段的長度、圖形的面積等;變量之間的關系包括比例關系、函數關系等。其次,根據問題的實際情況,選擇合適的函數或方程形式,描述變量之間的關系。例如,在描述點的移動軌跡時,可以選擇一次函數或二次函數;在描述圖形的面積變化時,需要建立不等式或方程。在確定變量及變量關系后,根據已知條件和變量關系,建立函數或方程準確地反映問題中的實際情況。最后,運用代數運算、方程求解、不等式分析等方法,求解函數或方程問題,最終找到問題的答案。

2.4 轉化化歸思想的應用

在運動型問題中,點線面的動態變化使問題本身呈現出復雜性和不確定性。在解決此問題時,可以利用轉化思想,將動態問題靜態化。在將動態問題靜態化的過程中,首先需要明確動態問題的特征,包括圖形變化方式、變量變化規律及問題的具體要求。其次,選擇特定的狀態,固定動態問題中的圖形關系,形成靜態的幾何圖形。利用已知的靜態幾何知識和方法分析靜態圖形,找出其中的幾何關系,建立數學模型。最后,求解模型,得到問題的答案。例如,在解決涉及圖形旋轉的動態幾何問題時,可以選擇特定的旋轉角,固定旋轉后的圖形,再利用靜態幾何中的角度、邊長、面積等關系,建立數學模型并求解。

2.5 數形結合思想的應用

數形結合思想強調將數學中的抽象概念、數量關系與直觀圖形相結合,利用更加直觀的圖形輔助理解和解決數學問題,其核心在于利用圖形的直觀性和形象性揭示數學問題的本質,從而簡化問題,提高學生的解題效率。例如,對于點的移動問題,可以選擇軌跡圖;對于線段的伸縮問題,可以選擇長度變化圖,以此找到問題的關鍵信息。在觀察和分析圖形結構特征的基礎上,建立數學模型,描述問題的動態變化過程,利用數學模型進行求解,驗證結果的正確性和合理性。在求解過程中,利用數形結合思想可以簡化計算過程,提高解題效率。

3 運動型問題例舉

例1 如圖1,已知拋物線y=ax2+bx+c經過A(-2,0),B(-3,3)及原點O,頂點為C。

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點D在拋物線上,點E在拋物線的對稱軸上,且以A,O,D,E為頂點的四邊形是平行四邊形,求點D的坐標;

(3)P是拋物線上的第一象限內的動點,過點P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在點P,使得以P,M,A為頂點的三角形與三角形BOC相似?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由。

分析 對于問題(1),根據已知條件,拋物線y=ax2+bx+c經過A(-2,0),B(-3,3),O(0,0)。將A(-2,0),B(-3,3),O(0,0)分別代入y=ax2+bx+c,得4a-2b+c=0,9a-3b+c=3,c=0,解得a=1,b=2,c=0。即拋物線的解析式為y=x2+2x。

對于問題(2),根據平行四邊形的性質和拋物線的解析式,可以通過構建關于點D坐標的方程,求解點D的坐標。但因題目的已知條件中只說明點E在拋物線的對稱軸上,并未說明點E在x軸上方還是x軸下方,具體位置不確定。因此,在求解此問題的過程中,需要采用分類討論思想。

第1種情況:當OA為邊時,根據平行四邊形的性質可得DE=OA=2,進而得出點D在x軸上方。因為拋物線的解析式為y=x2+2x,所以拋物線的對稱軸為x=-1,進而求得點D的橫坐標為1或-3,將點D的橫坐標代入拋物線的解析式可得點D的坐標為(-3,3)或(1,3)。

第2種情況:當OA為平行四邊形的對角線時,由平行四邊形的性質可知DE與OA互相平分。因為A(-2,0),O(0,0)的中點在對稱軸上,點E在對稱軸上,所以點E的橫坐標也為-1。因為DE與OA互相平分,點D也在對稱軸上,所以點D的橫坐標為-1,將其代入拋物線的解析式可得點D的縱坐標為-1,所以點D的坐標為(-1,-1)。

綜上所述,點D的坐標分別為(-3,3),(1,3),(-1,-1)。

對于問題(3),判斷是否存在點P,使得△PMA與△BOC相似,兩個三角形相似需要滿足對應角相等或對應邊成比例,因此需要考慮△PMA與△BOC的相似條件。根據相似三角形的判定,構建關于點P的坐標的方程。因為點P在拋物線y=x2+2x上,可以利用拋物線的解析式進一步限制點P的可能位置。又因為相似三角形的對應點不固定,所以需要分別討論,最終得到點P的可能坐標。

根據三角形三個頂點的坐標判斷△BOC的性質。根據拋物線的解析式易求得C(-1,-1),從而可求得BO2=18,CO2=2,BC2=20,根據勾股定理的逆定理可判斷△BOC為直角三角形。假設存在點P(x,y),使得△PMA與△BOC相似,易得點M坐標為(x,0)。

第1種情況:當△PMA∽△BOC時,根據對應邊的比例關系可得32(x2+2x)=2(x+2),解得x1=13,x2=-2(不合題意,舍去),將x=13代入y

=x2+2x,易求得y=79。

第2種情況:當△PMA∽△COB時,根據對應邊的比例關系可得2(x2+2x)=32(x+2),解得x1=3,x2=-2(不合題意,舍去),將x=3代入y=x2+2x,易求得y=15。

綜上所述,存在點P,使得△PMA與△BOC相似,點P的坐標為(13,79)或(3,15)。

4 結束語

數學思想在解決運動型問題的過程中扮演著至關重要的角色。教師通過引導學生從不同角度思考問題,不僅能夠幫助學生更好地理解數學概念,還能激發學生的學習興趣,培養學生解決問題的能力。未來,教師應當更加注重數學思想的應用,為學生提供更多元、更高效的解題方法。同時,學生應該主動探索和實踐,將數學知識與實際問題相結合,真正做到學以致用,同步提升綜合素養,為未來的發展奠定基礎。

參考文獻:

[1] 吳震。突破中考之運動型數學問題研究[J]。數理天地(初中版),2024(18):10-11。

[2] 張穎。特殊四邊形運動型問題探究[J]。初中生學習指導,2023(12):36-39。

[3] 韓詩貴,龐彥福。運動型問題[J]。中學數學教學參考,2019(Z2):121-125。

[責任編輯:李慧嬌]

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