初中數學中條件求值問題的解法探討

條件求值問題是初中數學中的一種常見題型，常出現在數學中考題、競賽題中.條件求值問題一般可通過消元、降次、換元、賦值等手段實現問題的巧妙解決，下面通過舉例探討一下這種題型的解法.

1利用根與系數的關系

例1若 2a²+1=6a，2b²+1=6b ，且 a≠b ，則 a²+b² 的值為

解：因為 2a²+1=6a . 2b²+1=6b ，且 a≠b ，所以a，b 是方程 2x²+1=6x 的兩個根.

于是，有 所以

點評：抓住條件式的結構特征，判斷 a，b 是一元二次方程 2x²+1=6x 的根，利用根與系數的關系求出 a+b 與 ab 的值，再利用 a²+b² 與 a+b，ab 的關系求 a²+b² 的值.

2利用乘法公式

例2已知 （a+b）²=9，a²-b²=6 ，求 ab 的值.解：由 a²-b²=6 ，得 （a+b ） （a-b）=6 ，則（a+b）² （20 （a-b）²=36 又 （a+b）²=9 ，所以 （a-b）²=4 所以 （204號

點評：根據條件式，可求出 （a-b）² 的值，根據完全平方公式，找出 ab 與 （a+b）²，（a-b）² 之間的關系，再利用它們的關系求 ab 的值.

3利用非負數的性質

例3若 ，則 x- s=_-

解：由 ，變形可得 2所以 解得

所以 x-y=4

點評：運用配方法將條件式變形為兩個非負數的和為零的形式，利用非負數的性質求出 x 與 的值，再進一步求出 x-y 的值.

4利用消元法

例4若 x-y-2=0，2y²+y-4=0 ，則 y=?

解：由 x-y-2=0 ，得 x=y+2 由 2y²+y-4=0 得

點評：將條件式變形，用變量 表示變量 x ，消去求值式一y中的變量，將二元變量問題轉化為一元變量問題，再通過化簡求值.

5利用整體代換法

例5 已知 ，則 的值為

解：由 ，知 xy≠0 所以，原式 .

點評：先將求值式變形，再將分子、分母同除以 xy 出現 ，最后將 整體用3來代換，進而 化簡求值.

6利用降次法

例6已知 x²-x-1=0 ，求 x³-2x²+2 021 的值.

解：由 x²-x-1=0 ，得 x²=x+1 ，所以

x³-2x²+2 021

點評：將條件式變形為 x²=x+1 ，通過將求值式中的 x² 用 _x+1 來代換，實現由高次多項式向低次多項式的轉化，再化簡求值.

7利用換元法

例7若 x 滿足 （70-x）（x-50）=30 ，求 （70-x）²+（x-50）² 的值.

解：設 a=70-x，b=x-50 ，則 ab=30，a+b= 70-x+x-50=20

所以 a²+b²=（a+b）²-2ab=20²-2×30= 340，即 （70-x）²+（x-50）²=340

點評：將 70-x 與 50-x 都看作整體，進行換元，能實現條件式、求值式的簡化，有利于發現 （70-x） ·（x-50） 與 （70-x）²+（x-50）² 之間的關系，從而有利于解題.

8利用逆代法

例8 已知 abc=1 ，則 （20 的值為

解：由 abc=1 ，可得

點評：將求值式中的某些常數1用變量abc逆代后，能使分式的分子、分母出現公因式，從而能夠約分，實現分母的轉化統一.

9利用設參數法

例9 已知 的值.

解：設 =k，則{x+x=ky，于 是可得 2（x+y+z）=k（x+y+z）

當 x+y+z=0 時， x+y=-z，k=-1 ，此時

當 x+y+z≠0 時， k=2，x+y=2z ，此時

綜上， 的值為 ^-1 或

點評：對于等比問題，通常設比值為參數，建立分子與分母的關系式，通過適當變形求出比值，再化簡求值.

10利用賦值法

例10 已知 a+b+c=0 ，則

解：取 a=-2，b=c=1 ，則可得

點評：對于恒等式，在選填題中可以通過給變量賦特殊值的方法求值.

當兩個未知數滿足相同結構的方程時，利用根與系數的關系能有效避免分別求解未知數的繁瑣過程；面對多元條件求值問題，通過變量表示和消元，將多元問題轉化為一元問題；整體代換法通過對求值式變形，使其出現與已知條件相關聯的整體結構，再整體代入已知條件；降次法則適用于已知高次方程求低次或相關表達式值的問題，通過將高次方程變形為低次方程的形式，降低求值式的次數；換元法通過引入新變量替換原式中的復雜部分或關聯結構，簡化問題并便于觀察變量關系；逆代法在分式求值問題中效果顯著，通過將常數或已知量用變量關系式逆向代入，改變分式結構；設參數法常用于等比類或比例關系的條件求值題，通過設定比值為參數，建立變量間的等式關系，再通過代數變形和分類討論求解；對于恒等式求值問題，賦值法簡單直接，在選擇填空題中賦予變量特殊值，滿足條件后直接計算求值.

初中數學條件求值問題解法多樣，各有優勢.解題時需仔細分析題目條件和所求式子的結構特點，靈活選擇或組合使用多種方法.