換元法在高中數學解題中的應用

在高中數學的學習和解題過程中，方法的選擇和運用至關重要.隨著數學教育的不斷發展和深化改革，對學生數學思維和解題能力的培養越發受到重視.在實際教學中，學生在解決各類數學問題時常常面臨困難，需要更有效的解題方法來提高解題效率和準確性[1].換元法作為一種有效的解題策略，具有重要的研究價值.換元法能夠簡化問題、轉化思路，其應用場景廣泛，但在教學和實踐中仍存在一些問題和挑戰，如學生對換元法的理解和運用不夠熟練，教學方法的針對性和有效性有待提升等.因此，對換元法在高中數學解題中的應用研究具有重要的現實意義.

1從一道高考改編題的多種解法講起

本文從一道高考改編題出發，探究二元變量最值問題的多種解法，重點研究換元法的實施策略.

題目 （2022年新高考數學Ⅱ卷第12題改編）若實數 ^x，y 滿足 x²+y²-xy=1 ，求 x+y 的取值范圍.

解法1（目標換元）：設 x+y=t ，代入已知得3x²-3tx+t²-1=0 ，由判別式 Δ_x=9t²-12（t²-1） （204號?0 ，解得 - 2?t?2 ，則 x+y∈[-2，2] ·

法2（均值換元）：設 ，則 -xy= 由 x²+y²?2|xy| 解得 則 ，則 x+ y∈[-2，2]

法3（比值換元）：設 ，代人已知求得 x²= 當 t≠0 時， （2

4]；當 ?_t=?₀ 時 ?_x+y=?_±1 ；當 x=0 時 ，x+y=±1. 綜上， （x+y）²∈[0，4] ，則 x+y∈[-2，2] ：

法4（和差換元）：設 x=a+b，y=a-b ，代入已知得 a²+3b²=1 ，由橢圓性質可知 - 1?a?1 ，則x+y=2a∈[-2，2]

法5（乘積換元）：設 xy=t ，則 x²+y²=1+t ，由x²+y²?2|xy| 解得 ，所以 （x+y）²= x²+y²+2xy=3t+1∈[0，4] ，則 x+y∈[-2，2]

法6（對偶換元）：設 x²+y²+xy=t ，則 x²+y²= 由 x²+y²?2|xy| 解得 ，所以 ，則 x+y∈[-2，2]

法7（三角換元）：由已知得 μ=1σ ， θ∈[0，2π） ，所以

法8（極坐標換元）：設

0，θ∈[0，2π） ），代入已知得 ，所

以

，所以 x+y∈[-2，2] 法9（重要不等式）：由已知得 （x+y）²-1=3xy

2，解得 x+y∈[-2，2] 法10（齊次化）：因為（+y）2=（x+y）2 x2+y2-xy

同解法3可得 x+y ：

法11（權方和不等式）：由權方和不等式得 1= ，所以 x+y∈[-2，2]

法12（柯西不等式）：由柯西不等式得 ，解得 x+y ，當且僅當 x=y=1 時取最大值， x=y= -1時取最小值

本題的解法相當豐富，換元法是解決這類題目的常用方法，而且換元的方式非常靈活，下文就換元法在高中數學解題中的應用展開研究.

2 換元法的理論基礎

2.1 換元法的概念與分類

一般地，換元法也稱為變量替換法，是一種通過引入新的變量（稱為“元”）來替換原有的變量（稱為“式”），從而簡化問題的解題策略.換元的實質是等價轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究結構和研究對象，將問題遷移至新的結構和對象中去研究.從分類的角度來看，常見的換元法包括：代數換元、三角換元和極坐標換元.其中代數換元情境豐富、手段多樣，主要包括：整體換元、局部換元、目標換元、均值換元、比值換元、和差換元、乘積換元、常數換元和對偶換元.三角換元和極坐標換元特點鮮明，能解決一些復雜的問題.

2.2 換元法的數學原理

換元法的背后蘊含著深刻的數學原理.從函數的角度來看，換元法基于函數的復合與反函數的概念.通過替換變量，改變函數的形式，使得原本難以處理的函數關系變得清晰明了.在代數運算中，換元法利用等量代換的思想，將復雜的代數式用新的變量表示，簡化運算過程，降低計算難度.從方程的角度，換元法可以將高次方程、分式方程、無理方程等轉化為低次方程或整式方程，便于求解.在多元不等關系的求解中，恰當的換元能夠使式子的結構更加規整，有利于運用已知的不等式定理和常見方法進行求解.

2.3 換元法的適用條件

當所給問題中的變量關系較為復雜、直接求解困難時，換元法往往能發揮作用.對于具有特定結構的數學表達式，如含有平方和、倒數關系等，換元法能夠簡化運算.當問題中存在多個變量相互制約，通過換元可以減少變量個數，降低問題的復雜度.在一些不等式證明和求最值的問題中，如果原表達式的形式適合通過換元轉化為常見的函數形式，如二次函數、三角函數等，也可以考慮使用換元法.

3換元法在高中數學解題中的應用

典型換元法解題案例，如下.

3. 1 換元法在代數問題中的應用

在代數運算中，通過巧妙地運用換元法，可以將復雜的式子簡化，從而更輕松地解決問題

例1 已知 ，且 ，則 的最小值為

分析：如何溝通目標式和條件之間的關系是解決本題的關鍵.目標式過于復雜，可從條件入手采用“局部雙換元”對本題等價轉化

解 令 ，則 x+y=1（xgt;0，ygt; 0），解得 所以 當且僅當 x= 時等號成立），所以 時， 的最小值為

評注：本題解法很多，“局部雙換元”的運算量相對較小，結合“常數換元”轉化為熟悉模式求解

例2求方程 的實數根.

分析：對其中兩個無理式進行換元，嘗試變無理方程為整式方程

解令 （204號 gt;0，ngt;0? ，則 2x²-x+4=m² ， x²+2x+2=n²

用待定系數法求得 3x²-9x+6=3m²-3n² ，則 原方程等價為 ，解得 m=2n ，即 ，求得 或 x= -4，經檢驗 和－4是原方程的根

評注：本題利用“目標雙換元”，將 表示為兩個“元”的式子，通過恒等變形轉化為整式方程求實數根（要驗根）.

3.2 換元法在幾何問題中的應用

換元法在幾何問題中的應用主要體現在立體幾何和解析幾何中.立體幾何綜合問題往往可以設元轉變為函數問題或建立空間直角坐標系解決，解析幾何問題往往涉及復雜的方程和圖形關系，很多時候換元法可以解決這些綜合問題

例3 已知 ΔF₂MN 的面積為 s ，且 s= ，則 s 的最大值為

分析：用換元法改變 s 的結構，將問題轉變為熟悉形式.

解法1：設 ，則 tgt;0 且 m²=t²+ 2.所以 X

法2：設 ，則 · 當且僅當 時等號成立），所以 s 的最大值為

評注：在圓錐曲線的優化問題中，類似的分式結構最值問題，一般都可以考慮對分子或分母換元

例4（多選題）設曲線 L 的方程為 y⁴+（2x²+ 2）y²+（x⁴-2x²）=0 ，則（ ）.

A. L 是軸對稱圖形

B. L 是中心對稱圖形

C.L?{（x，y）∣x²+y²?1}

分析：條件看成以 y² 為元的一元二次方程或對條件進行配方，轉變條件結構.

解由條件解得 ，易知_A，B 正確;

對于C項，原方程中令 y=0 得 x²=2 或 x²=0 取 x²=2 ，則 x²+y²=2 ，故C項錯誤;

由 可設 2x=tanθ ，則 ，令 sec θgt;0 ，解得 + sec 由 sec 得 ，則 0?x²+y²?2 ，故C項錯誤;

所以當sec θ=2 時， 所以 故D項正確.

另，對于C、D項，設 x=ρcosθ，y=ρsinθ（ρ? 0），將條件化為 （x²+y²）²=2（x²-y²） ，則 ρ⁴= 2ρ²cos2θ ，即 ρ²=2cos 2θ. 所以 ρ²?2 ，即 x²+y²? 2，所以C項錯誤;

因為 所以 故D項正確.

綜上，此題答案為ABD.

評注：對無理式 進行三角換元 2x= tan θ ，將問題轉變為求三角函數的范圍.對于伯努利雙紐線 （x²+y²）²=2（x²-y²） ，利用極坐標換元比較容易求解問題.

4換元法解題的常見錯誤

在高中數學解題中應用換元法時，常見的錯誤有以下情況.

4.1 錯誤選擇換元變量

學生可能會在選擇換元變量時出現失誤，導致新變量的引入無法有效簡化問題，反而使問題更加復雜.未能準確把握原問題中變量之間的關系，隨意選擇換元變量，使得后續的計算和推理陷入困境.

4.2 換元過程中忽略新變量的取值范圍

由于換元后變量發生了變化，其取值范圍也可能隨之改變，如果忽略這一點，可能會得出錯誤的結果.

4.3 計算或推理錯誤

在換元后的計算和推理環節，可能會出現運算錯誤，如符號錯誤、公式運用不當等，從而影響最終的解題結果.

4.4 未檢驗取等號的條件

此外，有些學生在完成換元后的求解后，未能正確還原到原變量，導致答案不符合原問題的要求.

5小結：換元法解題的優化策略

換元法解題的優化策略對于提高解題效率和準確性具有關鍵意義，優化策略可以從下幾個方面入手

5.1 注重對換元變量的合理選擇

根據條件和問題的特點，選取能夠簡化問題、降低計算難度的變量進行換元.例如，對于復雜的代數表達式，選擇能夠消除根式、分式或高次冪的變量如前文例2，需對兩個根式換元

5.2 加強對換元范圍的精確把控

在進行換元時，要充分考慮原問題中變量的限制條件，確保換元后的表達式在新的變量下仍然滿足這些條件.前文中多處有體現“對換元范圍的精確把控”，現再舉例如下：若正實數 x，y 滿足 2，設 ，則 z 的最小值為

解條件 轉化為 x+2y=2xy ，則 ，設 x+2y=2xy= t m 由 得 xy?2 ，所以 t?4. 令 4），則 所以 f（t） 在 [4，+∞] ）上單調遞增，所以 z=f（t）?f（4）=4- 6ln2 （當且僅當 x+2y=2xy=4 ，即 時等號成立）.

點評：要注重對換元變量的合理選擇，本題最合理的是整體換元，設 x+2y=2xy=t. 在引入新的變量時，一定要注意變量的范圍.例如本題中，若由 tgt; 0，則 z=f（t） 的最小值為 ，這個顯然是錯誤的.

5.3 靈活運用多種換元方式的組合

有時單一的換元方式可能無法完全解決問題，此時可以嘗試將不同類型的換元方法結合使用，以達到更好的解題效果，例如前文例1先后用到“局部換元”和“黨數換元”.

5.4 注重換元法與其它方法的結合

換元法是一種很基礎的方法，通常需與基本不等式、柯西不等式等方法結合使用.再舉例如下：已知 xgt;1，ygt;2 ，求 的最小值.

解令 （204

0），貝 法

由柯

西不等式， 所以

法2：由閔可夫斯基不等式得 ，則 （當且僅當 即 時等號成立），所以 時 的最小值為6.

6 變式練習

以下練習供讀者們練手，體會換元法的巧妙和靈活，感受換元法之強大.

（1）已知 agt;bgt;0 且 ，則 2a 的最小值為

（2）已知 agt;3，bgt;2 ，則 的 最小值為

（3）（多選題）設曲線 C 的方程為 （x²+y²）³= 4x²y² ，則.

A. C 是關于原點對稱

B. C 只有兩條對稱軸

C.C?{（x，y）∣x²+y²?1}

正 日

（4）求方程 的實數根.

參考答案：（1）12；（2）10；（3）ACD;和

參考文獻

[1]曾麗.變式訓練教學模式在高中數學解題中的有效應用[J].數理化解題研究，2023（24）：17-19.

作者簡介閔啟蒙（1977—），男，湖北黃岡人，中學高級教師，任惠州市高中數學兼職教研員；曾榮獲“惠州市優秀思想政治者”榮譽稱號；主要研究方向為高中數學教學；主持市級課題一個，參與市縣級課題多個，發表論文6篇.