探究“瓜子形曲線”的幾何性質

陌生曲線幾何性質的探究，有助于考查學生高階思維能力的水平.試題講評時讓學生暢所欲言，有助于激發學生的創造性思維使數學問題得到解決，

例（海淀區2024—2025學年第一學期期末練習第15題）

已知曲線 給出下列四個結論：

① 曲線 C 關于直線 x=1 對稱;

② 曲線 C 上恰好有4個整點（即橫、縱坐標均是整數的點）;③ 曲線 C 上存在一點 P ，使得 P 到點（1，0）的距離小于1;

④ 曲線 c 所圍成區域的面積大于4.

其中，所有正確結論的序號為

曲線 c 的方程形式比較陌生，問題解決策略為：首先類比橢圓 T 的幾何性質研究曲線 C 的幾何性質，然后確定正確結論的序號，從而使學生數學理解的水平從工具性理解上升到關系性理解、創造性理解和文化性理解的水平.下面我們給出具體的研究內容及過程

1類比橢圓的范圍研究曲線 C 的范圍

由橢圓 T 的方程可知 ，因此 ε-ε_a ?x?a 且 -b?y?b 這說明橢圓 T 位于直線 x= 圍成的矩形內.

類比上述方法，將曲線 c 的方程配方為 ，可知 ，因此 ， -1?y?1. 由 1，可知 ，因此 0?x?4

這說明，曲線 C 位于直線 x=0，x=4，y=-1，y=

1圍成的矩形內

2 類比橢圓的對稱性研究曲線 C 的對稱性

如果 （x，y） 是橢圓 T 方程的一組解，則不難看出， （-x，y），（x，-y），（-x，-y） 都是方程的解，這說明橢圓 T 關于 y 軸 ?^x 軸、坐標原點對稱.因此， x 軸 ?^y 軸是橢圓 T 的對稱軸，坐標原點是對稱中心.

類比上述方法，如果 （x，y） 是曲線 C 方程的一組解，則不難看出， （x，-y） 是方程的解，這說明曲線 C 關于 x 軸對稱.

由于曲線 c 方程中的 0?x?4 ，其范圍關于原點不對稱，這說明曲線 C 關于 y 軸、坐標原點不對稱

又由于曲線 C 方程中的 0?x?4 ，其范圍關于點（1，0）不對稱，這說明“ ① 曲線 C 關于直線 x=1 對稱”是錯誤的.

3 類比橢圓的頂點研究曲線 C 與橫、縱軸的交點

在橢圓 T 方程中，令 y=0 ，得 x=-a 或 x=a ，可知橢圓 T 與 x 軸有兩個交點 （Φ-a，0），（a，0） ；令 x= 0，得 或 y=b ，可知橢圓 T 與 y 軸有兩個交點（0，-b），（0，b）

類比上述方法，在曲線 C 方程中令 y=0 ，得 或 x=4 ，可知曲線 C 與 x 軸有兩個交點 O（0，0），A（4，0） ；令 x=0 ，得 y=0 ，可知曲線 C 與 y 軸有一個交點 O（0，0） .因此曲線 c 與橫、縱軸共有兩個交點 O（0，0），A（4，0） ，且這兩個點為整點.

在曲線 c 方程中，令 x=1 ，得 y=±1 ，因此點B₁（1，1），B₂（1，-1） 是曲線 C 上的兩個整點.

在曲線 c 方程中，令 x=2 ，得 但點 ， 不是曲線 c 上的整點.

在曲線 c 方程中，令 x=3 ，得 但點 ！ 不是曲線 c 上的整點.

綜上，曲線 c 上的整點為 O（0，0），A（4，0） ，B_?1（1，1） B₂（1，-1） ，這說明“ ② 曲線 C 上恰好有4個整點”是正確的.

4作出曲線 c 的草圖

根據前述研究得出的曲線 c 的范圍、對稱性以及過的點 O，A，B₁，B₂，C₁，C₂，D₁，D₂ 作出曲線 C 的草圖（如圖1），學生說曲線像雞蛋、子彈頭、樹葉，但更像是自然界中“美麗”的瓜子形狀（如圖2），最后將曲線 C 命名為“瓜子形曲線”.容易看出四邊形OB₁AB₂ 所圍成區域除 o，A，B₁，B₂ 這四個點在曲線c 上，其它點都在曲線 C 內部（嚴格論證略）.

設點 Q（1，0） ，可知曲線 c 所圍成區域的面積大于 ，因此“ ④ 曲線 C 所圍成區域的面積大于4”是正確的.

圖1

圖2

5探究曲線 C 上的點 P 到點 Q（1，0） 的距離的最值設曲線 上的點 P（x，y） （ 0? ，則 ，因此 |PQ|= 二

令 ，得 0?t?2，x=t² ，因此 （20

f^′（t）=4t³-6t+2=2（2t³-3t+1）=2[

因為 0?t?2 ，得 ，因此 f^′（t） 與 符號一致，所以，當 時 Ω_{，f^′（t）}gt;0Ω_，f（t） 在 上單調遞增;當 時 在 上單調遞減;

當 1′（t）gt;0，f（t） 在（1，2）上單調遞增.

因此，當t= 時 ，f（t） 取得極大值

當 t=1 時 I（t） 取得極小值 f（1）=1⁴-3?1²+ 2?1+1=1

又 f（0）=0⁴-3?0²+2?0+1=1，f（2）=2⁴- 3?2²+2?2+1=9.

所以

因此，當 t=0 或 t=1 時 ，

此時 x=0²=0 或 x=1²=1 ，點 P 在 B₁，B₂ 處， ，所以 |PQ|_min?1

這說明“ ③ 曲線 C 上存在一點 P ，使得 P 到點（1，0）的距離小于1”是錯誤的.

當 t=2 時 ?_f（t）max=9 ，此時 x=2²=4 ，點 P 在

A 處，

至此，該題的正確選項水到渠成為 ②④

6 探究曲線 C 與圓的公共點個數

將曲線 C 的方程配方為 ，發現該方程與圓 的形式結構極其相似，那么它們有幾個公共點？

由方程組 {（x-1）2+γ2=1，消去y得x2-3x

令 ，則 t⁴-3t²+2t=0

即 ，得 t=0，t=1 或t=-2 （舍），所以 或 或 x=1

因此方程組的解為 因此它們的公共點共有3個，分別為 O（0，0） B₁（1，1） ， B₂（1 ，-1）（如圖1所示）.這也說明曲線 c 除了 O（0，0） ，B_?1（1，1） B₂（1，-1） 三個點在圓上，其它點都在圓外，因而曲線 C 上任意一點 P 到點 Q（1，0） 的距離大于或等于圓 Q 半徑1，也從另外一個視角說明選項③ 是錯誤的.

點評學生數學理解可劃分為工具性理解、關系性理解、創造性理解、文化性理解4個水平[].如果只會用孤立的知識解決給定的數學問題，這只達到工具性理解水平；本題找到了陌生曲線與橢圓的方程有相似結構，類比橢圓去研究陌生曲線的幾何性質，這就達到了關系性理解水平；在原有問題的基礎上又創造性提出曲線 c 與圓的公共點個數有幾個的問題并加以解決，這就達到了創造性理解水平的問題；觀察數學中陌生曲線的形狀與自然界中瓜子形狀頗為相似，覺得這個圖很美，驚嘆一個曲線方程居然能夠刻畫出瓜子模型，學生能夠欣賞、陶醉這種和諧美，這就達到了文化性理解的水平，同時也將數學建模素養落位到了數學探究之中[2]，提高了學生的審美情趣.已有教學實踐表明[3]，學生在教師的引導下，能夠自主研究陌生曲線的幾何性質，并結合曲線的結構特征，為陌生曲線冠名[4].該問題就將未知曲線冠名為“瓜子形曲線”，生動形象，提高了學生探究數學問題的積極性、創造性.

參考文獻

[1]李春雷，于鳳來.數學理解水平的劃分[J].數學教育學報，2022，31（4） ：68-73.

[2]李春雷.數學建模素養落位課堂：以“數據調整模型”的教學為例[J].中國數學教育，2022（10）：3-8.

[3]李春雷.到三角形三頂點距離之和為定值的點存在的條件及軌跡[J].數學教學，2022（2）：42-44.

[4]王春輝，王乙琛.探索適合超常兒童發展的數學教育[J].數學通報，2011，50（3）：26-28，47.

作者簡介李春雷（1967—），男，河北香河人，正高級教師（三級），特級教師，博士（北京師范大學教育學部教育方向），北京師范大學、陜西師范大學的兼職教授、研究員，北京師范大學“基于學生發展需求的課堂教學提升項目”專家，北京師范大學教育集團課程與教學研究中心學科教研室輪值主任;獲河北省科研成果一等獎、北京市人民政府頒發的基礎教育教學成果獎、北京師范大學優秀教育成果一等獎、全國“紫金杯”數學創新教育獎、全國青年初等數學研究獎、國際丘成桐數學獎；主要從事數學教育研究、學生創新能力發展研究；發表論文100余篇，30余篇文章被人大報刊復印中心全文轉載或索引.