立足核心素養 考查關鍵能力

一線教師和學生通過對高考題的品味、研究、思考、交流，不斷從中汲取營養，充分發揮出高考試題的效果和效益.2025年新高考I卷第18題是一道直線與圓錐曲線相交產生的最值問題，承載著對考生的選拔功能，對學生的關鍵能力和核心素養要求較高.本文先從多個切入點分析解答，然后對試題進行多角度拓展，最后回到教材和高考中追本溯源，從而發揮出典型高考題的教學引導功能.

1真題呈現

（2025年新高考Ⅰ卷第18題）設橢圓 c gt;bgt;0AA ，記 A 為橢圓的下頂點， B 為橢圓的右頂點， |AB|= ，且橢圓 c 的離心率為

（1）求橢圓 c 的標準方程；

（2）已知動點 P 不在 y 軸上，點 R 在射線 AP 上，且滿足∣AR∣?∣AP∣=3. （20

（i）設點 P（m，n） ，求點 R 的坐標（用 m，n 表示）；（ii）設 o 為坐標原點， Q 為 c 上的動點，直線 OR 的斜率為直線 oP 的斜率的3倍，求 $| P Q ＼rrangle$ 的最大值.

分析（1）如圖1所示，易得橢圓 C 的標準方程為 y²= 1 ；（2）（i）可從求線段長度、向量數量積、向量共線、三角函數等角度處理此題;

圖1

（ii）可先由條件得動點 P 的軌跡方程為圓，再利用數形結合法、圓的參數方程法、幾何法等角度求解 ∣PQ∣ 的最大值，這里充分利用圖形的幾何性質是解題的關鍵.考題對考生的邏輯推理、數學運算等核心素養要求較高.該考題設計精巧，內涵豐富，是一道值得探究的好試題.

2 解法探究

先探究（2）（i）的解題方法：

思路1 兩向量數量積法

解法1因點 R 在射線 AP 上，故 3，設 ，故 （m，n+1）?（x₀，y₀+1）=3 ，所以 λ_n① 又直線 AP 方程為： ，由 R 在射線 AP 上得， ，即 聯立 ①② 解得 0

點評本法考慮到三點共線，轉化成數量積運算來處理兩條線段的積，再利用點在直線上得方程組.本法運算量較大，需要學生有扎實的數學運算功底.

思路2 共線向量法

解法2 因點 R 在射線 AP 上，故設 ，則 故 從而 又 A（0，-1） ，所以動點

點評本法由共線向量定理引人參數 λ ，計算出 λ 后利用向量間的線性運算可以較快得到答案，它應該是解決該題的通解通法.

思路3 直線的方向向量法

解法3 由題知，直線 AP 的斜率存在，設其為 k ，則直線

AP 的方向向量為 （1，k） ，故可設 ，

μ（1，k），因點R在射線AP上，故λμgt;0，所以AP·AR=

λμ（1+k²）=3 又 ，故

而 m=λ，n+1=λk，x_?R=μ，y_?R+1=μk，λμ（1+k²）=3 3’

以

點評此法利用直線 AP 和直線 AR 的方向向量共線，再利用待定系數法求出參數值，從而得到所求點的坐標.

思路4 三角函數法

解法4如圖1所示，設直線 AP 的傾斜角為 α∝，R（α_x0. y₀， ，由 ∣AP∣?∣AR∣=3 ，則 ∣AP∣cosα?∣AR∣cosα=3cos²α 即 |m|?∣x₀∣=3cos²α①. 而由斜率知，tan 故而 代人 ① 式得 因R 在射線 AP 上，故 mx₀gt;0 ，所以 故 ，進而

點評本法引入直線的傾斜角表示題設所給條件，然后利用三角函數恒等變換化簡可以得到所求點的坐標.

思路5 直線參數方程法

解法5 因直線 AP 過 A（0，-1） ，故可設其參數方程為 （ χ_t 為參數），由 χ_t 幾何意義知， |AP| ：，∣AR∣=t_Pt_R=3. 又 P（m，n） ，故 則 兩式平方并相加得 ，所以 從而 x_R=t_Rcosα= 依題意知 t_Pt_Rgt;0 ，所以 同理 故動點

點評對于兩線段乘積為定值的條件恰好可使用直線參數方程的幾何意義加以表示，較為簡捷的表示可簡化運算，提高解題效率.

下面再對（2）（ii）進行解析：

思路1 軌跡法 + 數形結合法

解法1 因直線 OR 的斜率為 oP 的斜率的3倍，由（i）結論知， 化簡整理得， m² ．故動點 P 的軌跡是以E（0，--4） 為圓心， 為半徑的圓.觀察圖1知， |PQ|? .設橢圓上點 Q（x，y） ，故 ，當且僅 時取等，所以 |PQ| 的最大值為 思路2 軌跡法 + 三角換元法

解法2前同解法1知，動點 P 軌跡為以 E（0，--4） 為圓心， 為半徑的圓．又 .設橢圓上點Q（3cosθ，sinθ） ，則 當且僅當 或 5π 時取等.所以 ∣PQ∣ 的最大值為

點評這里（ii）的兩種解法均是先根據斜率比值得到動點 P 的軌跡，再利用數形結合法或三角代換法來求距離的最大值，充分觀察并發現圖形的幾何性質是解題的關鍵.

3一般化推廣

波利亞曾說：“在你找到第一個蘑菇時，繼續觀察，就能發現一堆蘑菇.”當我們幸運地發現第一朵蘑菇后，可以通過推廣、類比、變換條件結論等數學方法發現周圍更大的蘑菇.細品解題過程及結論，筆者思考該題的結論是巧合還是必然呢？探究第（2）問能否推廣至一般情形呢？

結論1 已知橢圓 c 的下頂點為 A ，且點 P（m，n） 點 R 在射線 AP 上，滿足 |AR|?|AP|=μ 則點

結論2 已知橢圓 ，平面內一定點 A（s，t） ，點 P（m，n） 點 R 在射線 AP 上，且滿足 ∣AR∣ |AP|=μ 則點

證明 因點 R 在射線 AP 上，故設 ，則 ，故 （m-s）2+（n-t）2，從而AR=λAP= 又 A（s，t） ，所以動點

結論3 已知橢圓 的下頂點為 A ，點 P（m，n） 不在 y 軸上，點 R 在射線 AP 上，且滿足 ∣AR∣ ：|AP|=μ .直線 OR 的斜率為直線 oP 的斜率的 Φ_t 倍， Φ_t 滿足 tgt; μ（t²-1） ．則點 P 的軌跡方程為圓 m²+

證明 由結論1知，動點 P 的坐標為 A 因直線 OR 的斜率為直線 oP 的斜率的χ_t ，化簡并整理得， μ（μ-μt2+t），因tgt;μ（t²-1） .故點 P 軌跡為一個圓，且 m≠0

4拓展探究

該題所涉及到的模型較為典型，還可以拓展得到下面結論：

結論4已知點 A 是橢圓 C 上

的一個動點，點 P 在線段 oA 的延長線上，且 ∣OA∣?∣OP∣=

μ，則點P橫坐標的最大值為 1

證明 因點 P 在線段 oA 的延長線上，故設 ，由 ，可得 λ 設 A（x，y），P（m，n） ，則 當且僅當x=± 時取等.所

以點 P 橫坐標的最大值為

5考題溯源

5.1 教材溯源

該題第（2）小問對思維有著較高要求，但它也不是無本之源，而是與教材有著緊密的聯系.上面（i）解法中解法5較為新穎，即利用直線的參數方程解決該題.而事實上直線的參數方程現行教材早有滲透，它來源于人教版（2019）選擇性必修1第68頁的探究與發現，“方向向量與直線的參數方程”中，如圖2，設直線 ξ_l 經過點 P（x₀，y₀），ν= Ξ（m，n） 是它的一個方向向量， P（x，y） 是直線 ξ_l 上的任意一點，則稱 {x =xo+mt，（t為參數）為直線l的參數方程.并提出想一想：直線的參數方程中 Ξ（m，n） 的幾何意義和 χ_t 的幾何意義是什么？平時教學中只要教師稍微引申點撥一下即可理解直線的參數方程形式.另外，對于（ii） $| P Q ＼rrangle$ 最值問題，本文介紹的解析中把問題轉化為橢圓上動點到定圓上點距離最大問題，使用了熟悉的三角換元解法，相似于人教版（2019）選擇性必修1第116頁14題，已知橢圓 直線 l：4x-5y+40=0 ，橢圓上是否存在一點，使得：（1）它到直線 l 的距離最小？最小距離是多少？（2）它到直線 ξ_l 的距離最大？最大距離是多少？［因此筆者在平時教學中重視對課本例習題的挖掘，尤其是對教材中那些蘊含豐富的數學思想、開闊思路的例習題的挖掘，針對這些好題，挖掘其中的高等數學背景，剖析背后的數學本質，感悟試題設計所蘊含的數學思想等，為高考打好基礎[2].

圖2

5.2 高考溯源

題1（2019年全國 I 卷22題）在直角坐標系 _xOy 中，以坐標原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C₁ 的方程為pcos θ=4.M 為曲線 C₁ 上的動點，點 P 在線段 oM 上，且滿足 ∣OM∣?∣OP∣=16 ，求點 P 軌跡 C₂ 的直角坐標方程.

解析因 ρcosθ=4 ，故 C₁ 的直角坐標方程為 x=4. 設M（4，t），P（x，y） ，則可得 ，所以 又 兩式相除得 消去 Φ_t 得 x²+y²=4. 故軌跡 C₂：x²+y²=4

題2（2022年全國聯賽一試11題）如圖3，在直角坐標系 xOy 中，菱形ABCD的邊長為4，且 ∣OB∣=∣OD∣=6. （20（1）求證： |OA|?|OC 為定值.（2）當點A在半圓 M （x-2）²+y²=4（2?x?4） 上運動時，求點 c 的軌跡.

圖3

解析（1）因 ∣OB∣=∣OD∣ ， |AB|=|AD| ，故 ΔOAB ?ΔOAD ， ，同理 ∠COB=∠COD ，所以 o ，^A，C 三點共線.如圖3，連接 BD ，則 BD 中垂線為 AC ，設垂足為K ， ∣OK∣²-∣AK∣²=∣OB∣²-∣AB∣²=20（ （定值）.

（2）設 ，其中 α=∠xMA 則 因 ∣OA∣²=（2+2cosα）²+ 所以 ，又由 ∣OA∣ |OC|=20 知， ，所以 從而 .所以 c 的軌跡是一條線段，其兩個端點的坐標分別為（5，5），（5，－5）.

6 教學建議

圓錐曲線內容兼具代數與幾何的特征，是歷年高考壓軸命題的熱點板塊.2025年的高考全國卷此內容的考查中，以往常見的定點定值等問題出現較少，考查呈現出新特點，即圓錐曲線與三角形面積、函數最值問題深度結合.

6.1突出數學運算能力，注重算法和算理

從今年這道高考圓錐曲線解答題中發現，試題對運算能力的要求較高.可以預測今后這塊內容的考查仍然會重視計算能力，因此考生在圓錐曲線復習備考過程中，除了加強“四基”訓練外，還要抓住核心問題一運算能力的提升，時刻注重強化數學運算，一步一個腳印.在計算的時候要注重算理、算法和技巧，不斷在解題中滲透強化，長期不解的加強數學運算的訓練.只有這樣，考生自己才可以提升數學運算能力，從而不再“畏懼”解析幾何的計算[3].

6.2 發揮幾何性質作用，有效減少運算量

對于第二問，無論是利用兩直線的斜率比值得到點P（m，n） 的軌跡為圓，還是求解橢圓上任意一點 Q 到圓上點 P 的最大值所用的數形結合，都需要充分挖掘圖形的幾何性質，為問題的解決帶來思路和運算的便捷.從而啟發我們解析幾何的運算是帶有幾何特征的代數運算，解答時要充分利用圖形要素及相互之間的關系，這樣才能有效減少運算量，提高效率.

參考文獻

[1]王東海.一道創新性多選題的解法探究及高考溯源［J].高中數理化，2023（13）：33-36.

[2]王東海.多措并舉拓寬視野背景探究體現本質[J].中學數學雜志，2024（9）：48-51.

[3]王東海.多方視角覓思路推廣引申探本質[J].廣東教育，2024（9）：31-35.

作者簡介王東海（1974—），合肥肥東人，中學一級教師，合肥市高中數學骨干教師；安徽省高考優秀閱卷員，任教班級中有多人次在全國高中數學聯賽安徽賽區榮獲一、二、三等獎；主要研究方向是高中數學教學；發表論文多篇.