明晰思路，突破初中數學一次函數動點問題

一次函數動點問題是初中數學中重要的應用題型之一，涉及動點在坐標平面中的運動軌跡.動點問題不僅能加深學生對一次函數概念的理解，還能提高其空間想象力和分析能力.在解答這類問題時，學生通常面臨兩種情形：單個動點問題和多個動點問題.單個動點問題通常涉及一個動點在一次函數圖象上的運動，解題的關鍵在于通過代數與幾何的結合，分析動點的位置與函數參數的關系，從而揭示函數的性質.相較之下，多個動點問題則更加復雜，要求學生在分析各個動點之間的相對關系時，綜合運用更多的數學工具，如代數方法與幾何推理.通過對這兩類問題的深人探討，可以幫助學生形成系統的解題思路，提升其邏輯推理與綜合分析的能力.因此，明確不同動點問題的解法，不僅有助于學生突破一次函數的學習難點，也為他們提供了更為高效的解題策略[1].

1單個動點問題

（2025合肥中考模擬）如圖1所示，正方形ABCD的邊長為 6cm ，動點 P 從點 A 出發，在正方形的邊上沿 運動，設運動的時間為 χ_t （單位：s），三角形 APD 的面積為 S （單位： cm²），S 與 Ψ_tΨ_t 的函數圖象如圖2所示，請回答下列問題：

（1）點 P 在 AB 上運動的時間為 s，在 CD 上運動的速度為 cm/s ，三角形 APD 的面積 s 的最大值為 cm² ：

1.1明確運動過程與變量關系

第一步是明確題目所給的運動過程，并通過運動軌跡與時間建立變量之間的關系.在本題中，動點 P 從點 A 出發，沿 依次運動，題目要求我們研究三角形 APD 的面積如何隨時間變化.首先要注意的是，動點 P 的運動路徑是分段的.在 AB .BC，CD 這三段中，點 P 的運動方式可能會有所不同.因此，我們需要根據運動路徑和邊長來計算各段運動所需的時間和速度.例如，點 P 從點 A 到點 B 的時間為 6s ，速度為 1cm/s. 明確每段運動的時間和速度后，可以進一步分析如何由這些變量推導出三角形APD 的面積.

1.2運用幾何關系和函數關系進行分析

解決動點問題的關鍵在于通過幾何知識分析出動點位置與所求量之間的關系，然后利用函數知識來建立表達式.在本題中，求解的主要是三角形 APD 的面積S.三角形的面積與底邊和高有關.三角形的底邊AD 是固定的，且為 6cm ，而高則隨著動點 P 在各段運動時的位置變化而變化，因此，面積 s 也會隨著時間 Ψ_t 變化.當動點 P 在 AB 上運動時，三角形的高是點P 到 AD 的垂直距離，與時間 χ_t 呈線性關系.根據圖形的變化，面積 s 與 Ψ_tΨ_t 之間形成一個線性關系，隨著點 P 的運動， s 逐漸增大.當點 P 從點 c 到點 D 運動時， s 與 Ψ_tΨ_t 之間的關系發生變化，S隨著時間的增大而變小.因此，分析每段運動時的幾何關系，能夠幫助我們準確地找到 s 與 Ψ_t 之間的函數關系.

（2）求出點 P 在 CD 上運動時，S與 Ψ_tΨ_t 之間的函數解析式；

（3）當 χ_t 為何值時，三角形 APD 的面積為 10cm² ？

1.3建立解析式并求解具體問題

一旦明確了運動的軌跡和幾何關系，接下來就是將這些關系轉化為解析式.通過推導函數表達式，我們能夠進一步解決實際問題.

總體而言，解決單個動點問題的關鍵步驟包括：（1）明確動點的運動過程和相關變量之間的關系；（2）運用幾何關系與函數性質分析出動點與所求量之間的關系；（3）建立函數解析式并結合實際問題進行求解.在實際解題過程中，學生不僅需要具備良好的幾何直覺，還需要熟練掌握函數的應用和推導技巧.通過這樣的分析與步驟，學生能夠更好地解決一次函數動點問題，并為類似問題的解決提供普遍的解法指導.

2多個動點問題

（2025合肥中考模擬）如圖3，平面直角坐標系中， O 是坐標原點，直線 y=kx+15（k≠0） 經過點C（3，6） ，與 x 軸交于點 A ，與 軸交于點 B ，線段 CD 平行于 x 軸，交直線 4α于點D，連接OC，AD

（1）求證：四邊形OADC是平行四邊形.

（2）動點 P 從點 O 出發，沿對角線 OD 以每秒1個單位長度的速度向點 D 運動，到點 D 為止；動點 Q 同時從點 D 出發，沿對角線 DO 以每秒1個單位長度的速度向點 O 運動，到點 o 為止.設兩個點的運動時間均為 χ_t s.當點 P，Q 運動至四邊形CPAQ為矩形時，請求此時 t 的值.

2.1明確問題中的運動軌跡與幾何關系

在多個動點問題中，首要任務是清晰地分析題目給出的幾何圖形和動點的運動軌跡.通過分析直線、平面圖形及動點在這些圖形上的運動，我們可以明確各個動點之間的關系.在本題中，動點 P 和 Q 沿對角線OD與 DO 運動，并且四邊形 OADC 是一個平行四邊形.這種幾何關系為后續的推導提供了基礎.

首先要確定的是動點 P 和 Q 的運動軌跡.在本題中，點 P 從點 O 出發沿對角線 OD 運動，點 Q 從點 D 出發沿對角線 DO 運動.由于點 P 和 Q 的運動速度相同，且它們沿對角線運動，這意味著它們在運動過程中的位置變化具有對稱性.通過分析點 P，Q 的運動方向及速度，學生可以更好地理解它們如何相互作用并影響所求的幾何形狀.這個步驟是解題的前提，幫助學生明確問題的幾何背景和動點之間的相對位置.

2.2利用平行四邊形性質和動點關系建立函數關系

多個動點問題通常涉及一些幾何圖形的性質，如平行四邊形、矩形等.在本題中，我們知道四邊形OADC是平行四邊形，因此可以利用平行四邊形的性質，分析動點 P 和 Q 的運動對四邊形形狀的影響.

首先，四邊形OADC的平行性提供了一個重要線索.平行四邊形的對角線互相平分.因此， OD 和 AC 互相平分，點 P 和點 Q 的運動將使得四邊形CPAQ變成一個平行四邊形.這一性質是解答此類問題的關鍵，幫助學生從幾何角度理解動點之間的關系.通過平行四邊形的性質，可以進一步推導出動點 P 和 Q 在運動過程中的相對位置關系，從而確定 PQ 與 AC 之間的關系.通過這種方法，學生能夠理解動點之間的相互作用，并推導出解析式.

2.3結合實際問題求解與應用

在多個動點問題中，實際問題的求解通常是通過求解時間、距離或面積等來完成的.在本題中，要求求出點 P 和點 Q 運動至四邊形CPAQ為矩形時的時間t.此時， PQ 的長度需要滿足某一特定條件（即 PQ= AC）.通過對 PQ 長度與時間 Ψ_t 關系的推導，學生可以求解出相應的 χ_t 值.

PQ的長度隨著時間 Ψ_t 的變化呈現不同的規律.在不同時間段內， PQ 與 AC 的關系可能有所不同.通過分別討論 Ψ_tΨ_Ψ 的不同取值范圍.總體而言，解決多個動點問題的關鍵步驟包括：（1）明確動點的運動軌跡和幾何關系；（2）運用幾何圖形的性質分析動點之間的相對關系；（3）根據實際問題的需求推導出相應的函數關系，并求解實際問題.在解答過程中，學生不僅需要具備良好的幾何直覺，還要能夠靈活運用數學工具進行函數推導和解題.

解決多個動點問題，特別是涉及平行四邊形、矩形等幾何圖形的動點問題，要求學生具備清晰的幾何直覺和扎實的數學基礎.通過明確動點的運動軌跡，利用幾何圖形的性質建立函數關系，再結合實際問題求解，學生能夠從多個維度全面分析問題.在分析過程中，平行四邊形與矩形等幾何形狀的特性為解題提供了重要線索，幫助學生理解在運動過程中動點之間的相互關系，并通過函數推導找出時間或距離等量化指標.通過這樣的方法，不僅提升了學生的空間想象能力和邏輯推理能力，也強化了他們將抽象數學知識與實際問題相結合的能力[2].

參考文獻：

[1]肖學軍.動點圖象類問題的求解策略[J].中學生數理化（初中版.中考版），2022（8）：9-10.

[2]左加亭.一次函數中的動點問題[J].中學生數理化（八年級數學）（配合人教社教材），2024（Z2）：24-25.