明晰思路，突破初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題

一次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)中重要的應(yīng)用題型之一，涉及動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)平面中的運(yùn)動(dòng)軌跡.動(dòng)點(diǎn)問題不僅能加深學(xué)生對(duì)一次函數(shù)概念的理解，還能提高其空間想象力和分析能力.在解答這類問題時(shí)，學(xué)生通常面臨兩種情形：?jiǎn)蝹€(gè)動(dòng)點(diǎn)問題和多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題.單個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題通常涉及一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在一次函數(shù)圖象上的運(yùn)動(dòng)，解題的關(guān)鍵在于通過代數(shù)與幾何的結(jié)合，分析動(dòng)點(diǎn)的位置與函數(shù)參數(shù)的關(guān)系，從而揭示函數(shù)的性質(zhì).相較之下，多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題則更加復(fù)雜，要求學(xué)生在分析各個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)關(guān)系時(shí)，綜合運(yùn)用更多的數(shù)學(xué)工具，如代數(shù)方法與幾何推理.通過對(duì)這兩類問題的深人探討，可以幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的解題思路，提升其邏輯推理與綜合分析的能力.因此，明確不同動(dòng)點(diǎn)問題的解法，不僅有助于學(xué)生突破一次函數(shù)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，也為他們提供了更為高效的解題策略[1].

1單個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題

（2025合肥中考模擬）如圖1所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 6cm ，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，在正方形的邊上沿 運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 χ_t （單位：s），三角形 APD 的面積為 S （單位： cm²），S 與 Ψ_tΨ_t 的函數(shù)圖象如圖2所示，請(qǐng)回答下列問題：

（1）點(diǎn) P 在 AB 上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 s，在 CD 上運(yùn)動(dòng)的速度為 cm/s ，三角形 APD 的面積 s 的最大值為 cm² ：

1.1明確運(yùn)動(dòng)過程與變量關(guān)系

第一步是明確題目所給的運(yùn)動(dòng)過程，并通過運(yùn)動(dòng)軌跡與時(shí)間建立變量之間的關(guān)系.在本題中，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿 依次運(yùn)動(dòng)，題目要求我們研究三角形 APD 的面積如何隨時(shí)間變化.首先要注意的是，動(dòng)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)路徑是分段的.在 AB .BC，CD 這三段中，點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)方式可能會(huì)有所不同.因此，我們需要根據(jù)運(yùn)動(dòng)路徑和邊長(zhǎng)來計(jì)算各段運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間和速度.例如，點(diǎn) P 從點(diǎn) A 到點(diǎn) B 的時(shí)間為 6s ，速度為 1cm/s. 明確每段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和速度后，可以進(jìn)一步分析如何由這些變量推導(dǎo)出三角形APD 的面積.

1.2運(yùn)用幾何關(guān)系和函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析

解決動(dòng)點(diǎn)問題的關(guān)鍵在于通過幾何知識(shí)分析出動(dòng)點(diǎn)位置與所求量之間的關(guān)系，然后利用函數(shù)知識(shí)來建立表達(dá)式.在本題中，求解的主要是三角形 APD 的面積S.三角形的面積與底邊和高有關(guān).三角形的底邊AD 是固定的，且為 6cm ，而高則隨著動(dòng)點(diǎn) P 在各段運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置變化而變化，因此，面積 s 也會(huì)隨著時(shí)間 Ψ_t 變化.當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P 在 AB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三角形的高是點(diǎn)P 到 AD 的垂直距離，與時(shí)間 χ_t 呈線性關(guān)系.根據(jù)圖形的變化，面積 s 與 Ψ_tΨ_t 之間形成一個(gè)線性關(guān)系，隨著點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)， s 逐漸增大.當(dāng)點(diǎn) P 從點(diǎn) c 到點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)時(shí)， s 與 Ψ_tΨ_t 之間的關(guān)系發(fā)生變化，S隨著時(shí)間的增大而變小.因此，分析每段運(yùn)動(dòng)時(shí)的幾何關(guān)系，能夠幫助我們準(zhǔn)確地找到 s 與 Ψ_t 之間的函數(shù)關(guān)系.

（2）求出點(diǎn) P 在 CD 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與 Ψ_tΨ_t 之間的函數(shù)解析式；

（3）當(dāng) χ_t 為何值時(shí)，三角形 APD 的面積為 10cm² ？

1.3建立解析式并求解具體問題

一旦明確了運(yùn)動(dòng)的軌跡和幾何關(guān)系，接下來就是將這些關(guān)系轉(zhuǎn)化為解析式.通過推導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式，我們能夠進(jìn)一步解決實(shí)際問題.

總體而言，解決單個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題的關(guān)鍵步驟包括：（1）明確動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程和相關(guān)變量之間的關(guān)系；（2）運(yùn)用幾何關(guān)系與函數(shù)性質(zhì)分析出動(dòng)點(diǎn)與所求量之間的關(guān)系；（3）建立函數(shù)解析式并結(jié)合實(shí)際問題進(jìn)行求解.在實(shí)際解題過程中，學(xué)生不僅需要具備良好的幾何直覺，還需要熟練掌握函數(shù)的應(yīng)用和推導(dǎo)技巧.通過這樣的分析與步驟，學(xué)生能夠更好地解決一次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題，并為類似問題的解決提供普遍的解法指導(dǎo).

2多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題

（2025合肥中考模擬）如圖3，平面直角坐標(biāo)系中， O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 y=kx+15（k≠0） 經(jīng)過點(diǎn)C（3，6） ，與 x 軸交于點(diǎn) A ，與 軸交于點(diǎn) B ，線段 CD 平行于 x 軸，交直線 4α于點(diǎn)D，連接OC，AD

（1）求證：四邊形OADC是平行四邊形.

（2）動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) O 出發(fā)，沿對(duì)角線 OD 以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn) D 為止；動(dòng)點(diǎn) Q 同時(shí)從點(diǎn) D 出發(fā)，沿對(duì)角線 DO 以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn) o 為止.設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為 χ_t s.當(dāng)點(diǎn) P，Q 運(yùn)動(dòng)至四邊形CPAQ為矩形時(shí)，請(qǐng)求此時(shí) t 的值.

2.1明確問題中的運(yùn)動(dòng)軌跡與幾何關(guān)系

在多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題中，首要任務(wù)是清晰地分析題目給出的幾何圖形和動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.通過分析直線、平面圖形及動(dòng)點(diǎn)在這些圖形上的運(yùn)動(dòng)，我們可以明確各個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系.在本題中，動(dòng)點(diǎn) P 和 Q 沿對(duì)角線OD與 DO 運(yùn)動(dòng)，并且四邊形 OADC 是一個(gè)平行四邊形.這種幾何關(guān)系為后續(xù)的推導(dǎo)提供了基礎(chǔ).

首先要確定的是動(dòng)點(diǎn) P 和 Q 的運(yùn)動(dòng)軌跡.在本題中，點(diǎn) P 從點(diǎn) O 出發(fā)沿對(duì)角線 OD 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) D 出發(fā)沿對(duì)角線 DO 運(yùn)動(dòng).由于點(diǎn) P 和 Q 的運(yùn)動(dòng)速度相同，且它們沿對(duì)角線運(yùn)動(dòng)，這意味著它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)過程中的位置變化具有對(duì)稱性.通過分析點(diǎn) P，Q 的運(yùn)動(dòng)方向及速度，學(xué)生可以更好地理解它們?nèi)绾蜗嗷プ饔貌⒂绊懰蟮膸缀涡螤?這個(gè)步驟是解題的前提，幫助學(xué)生明確問題的幾何背景和動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置.

2.2利用平行四邊形性質(zhì)和動(dòng)點(diǎn)關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系

多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題通常涉及一些幾何圖形的性質(zhì)，如平行四邊形、矩形等.在本題中，我們知道四邊形OADC是平行四邊形，因此可以利用平行四邊形的性質(zhì)，分析動(dòng)點(diǎn) P 和 Q 的運(yùn)動(dòng)對(duì)四邊形形狀的影響.

首先，四邊形OADC的平行性提供了一個(gè)重要線索.平行四邊形的對(duì)角線互相平分.因此， OD 和 AC 互相平分，點(diǎn) P 和點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)將使得四邊形CPAQ變成一個(gè)平行四邊形.這一性質(zhì)是解答此類問題的關(guān)鍵，幫助學(xué)生從幾何角度理解動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系.通過平行四邊形的性質(zhì)，可以進(jìn)一步推導(dǎo)出動(dòng)點(diǎn) P 和 Q 在運(yùn)動(dòng)過程中的相對(duì)位置關(guān)系，從而確定 PQ 與 AC 之間的關(guān)系.通過這種方法，學(xué)生能夠理解動(dòng)點(diǎn)之間的相互作用，并推導(dǎo)出解析式.

2.3結(jié)合實(shí)際問題求解與應(yīng)用

在多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題中，實(shí)際問題的求解通常是通過求解時(shí)間、距離或面積等來完成的.在本題中，要求求出點(diǎn) P 和點(diǎn) Q 運(yùn)動(dòng)至四邊形CPAQ為矩形時(shí)的時(shí)間t.此時(shí)， PQ 的長(zhǎng)度需要滿足某一特定條件（即 PQ= AC）.通過對(duì) PQ 長(zhǎng)度與時(shí)間 Ψ_t 關(guān)系的推導(dǎo)，學(xué)生可以求解出相應(yīng)的 χ_t 值.

PQ的長(zhǎng)度隨著時(shí)間 Ψ_t 的變化呈現(xiàn)不同的規(guī)律.在不同時(shí)間段內(nèi)， PQ 與 AC 的關(guān)系可能有所不同.通過分別討論 Ψ_tΨ_Ψ 的不同取值范圍.總體而言，解決多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題的關(guān)鍵步驟包括：（1）明確動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和幾何關(guān)系；（2）運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)分析動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)關(guān)系；（3）根據(jù)實(shí)際問題的需求推導(dǎo)出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，并求解實(shí)際問題.在解答過程中，學(xué)生不僅需要具備良好的幾何直覺，還要能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行函數(shù)推導(dǎo)和解題.

解決多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，特別是涉及平行四邊形、矩形等幾何圖形的動(dòng)點(diǎn)問題，要求學(xué)生具備清晰的幾何直覺和扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).通過明確動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用幾何圖形的性質(zhì)建立函數(shù)關(guān)系，再結(jié)合實(shí)際問題求解，學(xué)生能夠從多個(gè)維度全面分析問題.在分析過程中，平行四邊形與矩形等幾何形狀的特性為解題提供了重要線索，幫助學(xué)生理解在運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)點(diǎn)之間的相互關(guān)系，并通過函數(shù)推導(dǎo)找出時(shí)間或距離等量化指標(biāo).通過這樣的方法，不僅提升了學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，也強(qiáng)化了他們將抽象數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題相結(jié)合的能力[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]肖學(xué)軍.動(dòng)點(diǎn)圖象類問題的求解策略[J].中學(xué)生數(shù)理化（初中版.中考版），2022（8）：9-10.

[2]左加亭.一次函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問題[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級(jí)數(shù)學(xué)）（配合人教社教材），2024（Z2）：24-25.