試題解構，解法生成，思維生長

1試題呈現

（2024·浙江·中考真題）如圖，在圓內接四邊形ABCD中， AD

（1）若 ∠AFE=60^° CD 為直徑，求 ∠ABD 的度數.（2）求證： ①EF / BC ②EF=BD

2 試題分析

2. 1 梳理條件

（1）條件信息分類

① 構圖關系：圓內接四邊形 ABCD ：

② 邊關系： AD

③ 角關系： ∠ADClt;∠BAD ∠AFE=∠ADC

（2）條件信息整合與聯想

由條件 ① 中的圓內接四邊形 ABCD ，可以聯想到圓內接四邊形的性質；由條件 ② 中邊相等，可以聯想等邊之間的轉換、邊角轉換，構造等腰三角形、全等三角形或者相似三角形等；單看條件 ③ 的角相等，無法聯系到已學知識，若把條件 ① 和 ③ 進行組合，則聯想到等角轉換，例如圓內接四邊形任意一個外角等于它的內對角、圓周角相等等結論.

2.2 分析結論

第一小題是要求 ∠ABD 的度數，這個角是圓周角，學生會聯想到圓周角定理，順著這個思路學生很快可以求出 ∠ABD 的度數.

第二小題第 ① 問求 EF//BC ，證明平行要用到平行線的判定與性質，涉及角度問題.此時學生可通過角度轉換，聯想圓內接四邊形中有關角的一些性質進行證明.例如，利用圓內接四邊形的外角等于它的內對角以及平行線的判定方法即可得出結論，且證明方式有多種.

第二小題第 ② 問要證明 EF=BD ，證明邊相等時，若兩邊在一個三角形中，可證明這個三角形為等腰三角形；若不在一個三角形中，可通過構造全等三角形或相似三角形等方法，從多維度思考.

2.3 圖形分析

本題主要以圓、圓內接四邊形以及三角形為背景.圓是軸對稱圖形，具有無數條對稱軸和一個中心點，其特殊性使得圓的性質對其內接四邊形產生了影響，衍生出了一些特殊性質，例如圓內接四邊形對角互補、外角等于內對角等.

圓周角也有其特性，圓內的三角形可以利用這些特性和定理進行相關證明，特別是三角形相似性證明會經常用到，這些相似模型包括A字型相似、子母型相似、8字型相似等.如果同學們能夠熟練掌握這些模型的應用，那么在考試中就可以快速分析這類題目，進而完成問題的解答.

3解法生成

根據以上三個角度的分析，這道中考題的解法自然呈現出來.因第（1）題主要考查圓的基本性質，學生解決起來比較容易，本文就不再贅述.我們從第（2）題開始探究解法的生成.

3.1 試題第（2）題第 ① 問解法

利用求證結論 EF//BC ，逆推生成解題思路，即：證明兩直線平行找角的關系，結合圓內接四邊形性質以及“ ∠AFE=∠ADC ”這一條件進行推導，解答如下：

證法1 如圖2，延長 AB 至 M

因為四邊形ABCD是圓內接四邊形，所以 ∠CBM=∠ADC .

又因為 ∠AFE=∠ADC

所以 ∠AFE=∠CBM

所以 EF//BC

此題也可不添加輔助線，利用圓內接四邊形對角互補性質證明兩直線平行.

證法2 如圖3，因為四邊形ABCD是圓內接四邊形，

所以 ∠ADC+∠ABC=180^° 又因為 ∠AFE=∠ADC ，所以 ∠AFE+∠ABC=180^° 所以 EF//BC

3.2 試題第（2）題第 ② 問解法

該問難度較大，與前題形成難度梯度，對學生的圖形構造能力、知識聯想遷移能力及多維度分析能力要求較高.在教學中，教師可引導學生進行綜合分析，分別從結論、條件、知識建構能力等多維度進行思考，探究多種證明方法以解決問題，最終使思維得到生長.

（1）從結論思考生成解法

從平行線出發，通過延長平行線，構造8字型或者A字型相似三角形.從需證的結論 EF=BD 進行思考，可以構造相似三角形證明比例相等，然后利用AE=AC 進行轉換，從而得到結論.

生成1 證明兩次相似

如圖4，延長 EA，CB 交于點 G ，由 EF//BC ，得到 1

（2

如圖5，易證 ΔACG～ΔBDG ，得到0

又因為 AE=AC ，所以 （204號 即 EF=BD

生成2 構造A字型相似，旋轉型相似如圖6，過點 D 作 DM//EF ，交 AF 于點 M ，則

如圖7，易證 ΔMDB～ΔDAC ，得到 ，結合 ①② ，可證 EF=BD ：

（2）從條件出發生成解法

構造平行線，利用夾在平行線間的弦長相等，得到四邊形DHBC為等腰梯形，從而 CH=BD .再構造全等三角形，進而得到結論.

生成3 構造全等三角形

如圖8，過點 D 作 DH//EF ，交圓于點 H ，連接AH，CH ，則 BH=CD （夾在平行線間的弦長相等），故四邊形BCDH為等腰梯形，則 CH=BD ：

如圖9，易證 ΔAEF?ΔACH ，則 EF=CH ，可證 EF=BD

（3）利用三角函數生成解法

在中學階段，對于銳角或直角三角形，可以利用三角函數求邊的長度，以及使用正弦函數、余弦函數或正切函數得到相等的比例式，再通過等量轉換進行求解.

如圖10，在 ΔAEF 中，由正弦定理： .因為 AE=AC ∠AFE=∠ADC 所以 因為 . ，其中 R 為圓的半徑，所以 sin∠EAF，而 sin∠BAD = ，可證 EF=BD

4結語

中考中的幾何題，素材一般來自教材母題，往往以學生熟悉的幾何模型為模板進行拓展.因此，追根溯源本身就是一種思維生長，解答幾何題時，可從條件、結論、圖形三個方面入手分析相關知識點，進行信息整合、知識串聯，從而尋求破解之路.通常情況下，以圓為背景構建的幾何綜合題，常與相似三角形模型結合.在解題時，要關注模型特征，將問題轉化為幾何中的邊、角等基本要素進行推導，化繁為簡.在平時教學中，要結合實例解析歸納，思考圓在幾何證明中，常常遇到的一些相似問題，總結出同類問題的本質和解題思路.通過對同類問題的總結與歸納，不僅可以幫助學生掌握解題方法，還可以發現它們之間的聯系和共性，從而更好地理解幾何知識的本質，培養學生的思維能力和創新能力.

參考文獻：

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